广东省深圳市龙华区2024-2025学年下学期八年级期中 数学试题（含解析）

这是一份广东省深圳市龙华区2024-2025学年下学期八年级期中 数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了全卷共6页，考试结束后，请将答题卡交回等内容，欢迎下载使用。
说明：
1．答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡定的位置上，并将条形码粘贴好．
2．全卷共6页．考试时间90分钟，满分100分．
3．作答选择题1-8，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．作答非选择题9-20，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案（含作辅助线）写在答题卡指定区域内．写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效．
4．考试结束后，请将答题卡交回．
第一部分 选择题
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1. 若，则下列不正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了不等式的基本性质：（1）不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；（2）不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，熟记不等式的基本性质是解题的关键．
【详解】解：A. 若，则，故该选项正确，不符合题意；
B. 若，则，故该选项正确，不符合题意；
C. 若，则，故该选项正确，不符合题意；
D. 若，则，故该选项不正确，符合题意；
故选：D．
2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，是中心对称图形，故A选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故C选项不合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D选项不合题意．
故选：A．
3. 下列分解因式正确的一项是（ ）
A. B.
C D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了因式分解的含义，因式分解的方法，根据因式分解是恒等变形可判断 A，先提取公因数3，再利用完全平方公式分解因式；可判断B，利用平方差公式分解因式可判断C，先提取公因式，再利用平方差公式分解因式可判断D．
【详解】解：A、，原式因式分解不正确，不符合题意；
B、，原式因式分解正确，符合题意；
C、，原式因式分解错误，不符合题意；
D、，原式因式分解不彻底，分解错误，不符合题意；
故选：B．
4. 一天，小明和爸爸一起到建筑工地去，看见了一个如图所示的人字架，爸爸说：“小明，我考考你，这个人字架中的，你能求出比大多少吗？请你帮小明计算一下，正确的答案为（ ）
A. B. C. D. 不能确定
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查三角形外角的性质，关键是由掌握三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，由邻补角的性质求出，由三角形外角的性质得到．
【详解】解：如图：
∵，
∴，
∴，
故选：B．
5. 乘坐轨道交通出行绿色低碳、舒适便捷．如图1是我市一个地铁站入口双翼闸机的示意图，它是轴对称图形．如图2，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，当双翼收起时，可以通过闸机的物体最大宽度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】过点A作于点N，过点B作于点M，利用直角三角形的性质解答即可．
本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】解：过点A作于点N，过点B作于点M，
∵，，，
∴，
∴，
故选：C．
6. 若是完全平方式，则m的值是（ ）
A. 4B. 8C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了完全平方式．利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值．
【详解】解：是完全平方式，
．
故选：D．
7. 多项式分解因式为，其中为整数，则的值不可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，根据题意可得，进而将进行分解，即可求解．
【详解】解：∵
∴
∴时，；
时，；
时，；
的取值不可能是
故选：D．
8. 一个正整数若能表示成两个正整数的平方差，则称这个数为c．例，3和8都是一个．所有的“流星数”从小到大排列后，第13个“流星数”是（ ）
A. 18B. 19C. 20D. 21
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了平方差公式，有一定的难度，主要是对题中新定义的理解与把握．如果一个数是“流星数”，就能表示为两个正整数的平方差，设这两个数分别m、n，设，即杨梅数，因为m，n是正整数，因而和就是两个自然数．要判断一个数是否是“流星数”，可以把这个数分解因数，分解成两个整数的积，看这两个数能否写成两个正整数的和与差．
【详解】解 ∶1不能表示为两个正整数的平方差，所以1不是“流星数”，对于大于1的奇正整数，有
所以大于1的奇正整数都是“流星数”，
对于被4整除的偶数，有，
即大于4的被4整除的数都是”流星数”，而4不能表示为两个正整数平方差，所以4不是“流星数”，
对于被4除余2的数，
设，其中，为正整数，
当，奇偶性相同时，被4整除，而不被4整除；
当，奇偶性相异时，为奇数，而为偶数，矛盾，
所以不存在自然数，使得．即形如的数均不为“流星数”，
因此，在正整数数列中前四个正整数只有3为“流星数”，
此后，每连续四个数中有三个“流星数”．
∴第4个“流星数”，
第7个“流星数”为，
第10个“流星数”为，
∴第个流星数为，
故选：C．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9. 分解因式：___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平方差公式因式分解，根据平方差公式进行因式分解，即可求解．
【详解】解：
故答案为：．
10. 在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点，则点的坐标为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形变化－平移．利用点平移的坐标规律，把A点的横坐标加2，纵坐标加3即可得到点B的坐标．
【详解】解：∵点向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点B，
∴点B的坐标为，即．
故答案为：．
11. 在中，，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点：再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．若，则的长为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了作角平分线，含角的直角三角形的性质，根据题意得出平分，根据，进而可得，，根据含角的直角三角形的性质，即可求解．
【详解】解：依题意，平分，
∴
又∵，
∴
∴
∴
又∵
∴
∴
故答案为：．
12. 如图，已知点的坐标为，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转得到，则点坐标是___________．

【答案】
【解析】
【分析】过点B作轴于点E，过点C作轴于点F，证明即可得证．
本题考查了旋转的性质，三角形全等的判定和性质，坐标与图形，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：如图，过点B作轴于点E，过点C作轴于点F，
∵轴于点E，过点C作轴，线段绕点顺时针旋转得到，
∴，，

∴，
∴，
∴，
∴，
由点的坐标为，点的坐标为，
∴，
∴，
故，
故答案为：．
13. 如图，四边形中，，，，，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】过点A作于点E，求得，，，，，，过点B作，交的延长线于点G，求得，解答即可．
本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握定理和性质是解题的关键．
【详解】解：过点A作于点E，
∵，，，，
∴，
∴，，，
，
∴，
∴，
∴，
过点B作，交的延长线于点G，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本题共7小题，其中第14题6分，第15题7分，第16题8分，第17题8分，第18题8分，第19题12分，第20题12分，共61分）
14. 解不等式：，把它的解集表示在数轴上．
【答案】，见解析
【解析】
【分析】本题考查求不等式的解集，并在数轴上表示解集，去分母，去括号，移项，合并，系数化1，求出不等式的解集，然后在数轴上表示出解集即可.
【详解】解：
∴
∴
解得：
解集在数轴上表示如下：
15. 解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式①，得___________；
（2）解不等式②，得___________；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为___________．
【答案】（1）
（2）
（3）见解析 （4）
【解析】
【分析】本题主要考查了不等式组的解法，关键是熟练掌握不等式组解集的确定：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
（1）去括号，移项和合并同类项即可求解；
（2）去分母，移项和合并同类项即可求解；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示即可；
（4）联立不等式①和②的解集，即是不等式组的解集．
【小问1详解】
解：
∴
故答案为：．
【小问2详解】
∴
∴
解得：
【小问3详解】
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
【小问4详解】
原不等式组的解集为：
故答案为：．
16. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为、、，直线．
（1）画出关于轴对称的，并写出的坐标；
（2）画出关于直线对称的，并写出的坐标；
（3）能否由绕某一点旋转得到，若能，请直接写出旋转中心的坐标和旋转角度．若不能，请说明理由．
【答案】（1）见解析，、、
（2）见解析，、、
（3）旋转中心的坐标为，旋转角度为
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形，作轴对称图形，找旋转中心与旋转角，熟练掌握轴对称的性质以及旋转的性质，是解题的关键；
（1）根据轴对称的性质找到、、，顺次连接，即可求解；
（2）根据轴对称的性质找到、、，顺次连接，即可求解．
（3）作和的垂直平分线即可得到旋转中心，即旋转中心为点，根据旋转的性质，即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示，即所求，、、
【小问2详解】
解：如图所示，即为所求，、、
【小问3详解】
解：能由绕点逆时针旋转得到，如图
∴旋转中心的坐标为，旋转角度为
17. 如图（1），在△ABC，AB=AC，O为△ABC内一点，且OB=OC，求证：直线AO垂直平分BC．以下是小明的证题思路，请补全框图中的分析过程．
（2）如图（2），在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC上，且BD=CE．请你只用无刻度的直尺画出BC边的垂直平分线（不写画法，保留画图痕迹）．
（3）如图（3），在五边形ABCDE中，AB=AE，BC=DE，∠B=∠E，请你只用无刻度的直尺画出CD边的垂直平分线，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理，只要AB=AC，OB=OC即可说明直线AO垂直平分BC；
（2）连结BE、CD相交于点O，则直线AO为BC边的垂直平分线；
（3）连结BD、CE相交于点O，则直线AO为CD边的垂直平分线．先证明ABC≌△AED得到AC=AD，∠ACB=∠ADE，根据等腰三角形的性质得∠ACD=∠ADC，所以∠BCD=∠EDC，再证明△BCD≌△ECD，则∠BDC=∠ECD，所以OD=OC，于是根据线段垂直平分线定理的逆定理即可判断直线AO为CD边的垂直平分线．
【详解】（1）
（2）如图（2），AO为所作；
（3）如图（3），AO为所作．
在△ABC和△AED中
，
∴△ABC≌△AED，
∴AC=AD，∠ACB=∠ADE，
∴∠ACD=∠ADC，
∴∠BCD=∠EDC，
在△BCD和△EDC中，
，
∴△BCD≌△ECD，
∴∠BDC=∠ECD，
∴OD=OC，
∴AO垂直平分CD．
18. 为表彰先进，某校初二年级计划购买《哪吒之魔童闹海》系列的熊猫哪吒和白龙敖丙毛绒公仔．已知购买3个熊猫哪吒和4个白龙敖丙共需170元，购买2个熊猫哪吒和1个白龙敖丙共需80元．
（1）求1个熊猫哪吒和1个白龙敖丙的售价各是多少元？
（2）初二年级计划购买这两种公仔共个，要求熊猫哪吒的数量不少于白龙敖丙数量的3倍．请设计最省钱的购买方案，并说明理由．
【答案】（1）1个熊猫哪吒的售价为元，1个白龙敖丙的售价为元
（2）购买熊猫哪吒公仔个，白龙敖丙公仔个，费用最少
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，根据题意列出关系式或方程组是解题的关键；
（1）设1个熊猫哪吒的售价为元，1个白龙敖丙的售价为元，根据题意，可以列出二元一次方程组，从而可以解答本题；
（2）设购买熊猫哪吒公仔个，则白龙敖丙公仔个，根据题意可以列出相应的不等式，设总费用为，从而根据一次函数的性质得出最省钱的购买方案，即可以解答本题．
【小问1详解】
解：设1个熊猫哪吒的售价为元，1个白龙敖丙的售价为元，根据题意得，
解得：
答：1个熊猫哪吒的售价为元，1个白龙敖丙的售价为元
【小问2详解】
解：设购买熊猫哪吒公仔个，则白龙敖丙公仔个，根据题意得
解得：
设总费用为，则
∵，
∴当时，取得最小值，
最省钱的购买方案为：购买熊猫哪吒公仔个，白龙敖丙公仔个，费用最少．
19. 问题探究：同学们在学习了函数、方程与不等式的关系后，某学习小组同学想要研究不等式组的解集，请按照该组同学的探究思路完成以下问题：首先令，再通过列表、描点、连线的方法作出函数的图象，并对其性质探究：
（1）完成如下列表，在坐标系中描点、连线，画出该函数的图象；
（2）结合你所画的函数图象，写出函数的两条性质：
①___________；
②___________
（3）当时，自变量的取值范围是___________；
（4）一次函数图象与函数的图象只有一个交点，那么的取值范围是___________．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）或
（4）或
【解析】
【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键．
（1）利用函数关系式求出函数值，补全表格，再作出函数图象即可；
（2）根据增减性以及最小值写出两条性质，即可求解；
（3）根据图象即可得到答案；
（4）画出函数和过点的图象，根据图象即可得到答案．
【小问1详解】
解：当时，
当时，
如图
【小问2详解】
根据函数图象，函数的两条性质：
①当时，随的增大而减小，当时随的增大而增大，
②当时，函数有最小值，最小值为
【小问3详解】
解：当时，
当时，
当或时，
根据函数图象，当时，自变量的取值范围是或
故答案为：或．
【小问4详解】
解：如图所示，
当时，
当与平行时，即时，与的图象只有一个交点，
当过点时
，
解得：，
∴与的图象只有一个交点，
∴由图象可知，当或时，一次函数图象与函数的图象只有一个交点
故答案为：或．
20. 李老师在数学课上开展小组活动，同学们将两个全等的含的直角三角板完全重合放置，固定一个顶点．然后将其中一个直角三角板绕这个顶点旋转，来探索图形旋转的奥妙．
已知：如图1，在和中，，，．
【初识图形】
如图2，在绕点旋转过程中，当点恰好落在的边上时，连接、BD．则长为___________，长为___________．
【深度探析】
如图3，在绕点旋转过程中，当时，连接、，延长交于点．
（1）的度数为___________，的度数为___________；
（2）求证：点为线段的中点．
【拓展探究】在绕点旋转过程中，试探究、、二点能否构成以为直角边直角三角形．若能，直接写出线段的长；若不能，请说明理由．
【答案】初识图形：2，4，
深度探析：（1），；（2）见解析；
拓展探究：或或
【解析】
【分析】初始图形：连接，，可求得，然后利用勾股定理求得，接着可证明为等边三角形，从而求得；
深度探析：（1）先通过两直线平行内错角相等，得到，接着求得，，接着利用，那么有，接着利用求得答案；（2）延长、相交于点，先利用两直线平行内错角相等，证明，从而推出，又因为，推出，结合，证明，从而得出结论；
拓展探究：由初识图形，图2可知，时，，在绕点旋转过程中，当点恰好落在的边的延长线上时，连接、BD，；在绕点逆时针时，落在的边的延长线上时，连接、BD，先证明为等边三角形，再证明，接着利用勾股定理求得答案．
详解】解：初识图形：连接，，如图所示：
在和中，，，．
,，，
，
，
，
，，
为等边三角形，
，
故答案为：2，4，
深度探析：（1），，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
故答案为：，；
（2）证明：延长、相交于点，如图所示：
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点为线段的中点．
拓展探究：由初识图形，图2可知，时，，
在绕点旋转过程中，当点恰好落在的边的延长线上时，连接、BD，如图所示：
由题意可知，，
，，
此时；
在绕点逆时针时，落在的边的延长线上时，连接、BD，如图所示：
，
为等边三角形，
，，
综上，或或．
【点睛】本题考查了含的直角三角板，图形的旋转，勾股定理，等边三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，平行的判定与性质，平角的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．