广东省深圳市龙岗区百合外国语学校2024-2025学年八年级下学期期中考试 数学试题（含解析）

这是一份广东省深圳市龙岗区百合外国语学校2024-2025学年八年级下学期期中考试 数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每题3分，共8小题）
1. 《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【详解】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2. 下列各式是最简分式的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．也考查了整式．
根据最简分式的定义进行判断即可．
【详解】解：A、不是最简分式，所以A选项不符合题意；
B．不是最简分式，所以B选项不符合题意；
C．，是最简分式，所以C选项符合题意；
D．不是最简分式，所以D选项不符合题意．
故选：C．
3. 如图是某幼儿园附近道路对汽车的限速标志，表示汽车在该路段行驶的速度不得超过．用表示汽车的速度，v与30应满足的关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了不等式的概念，用不等号将两个整式连结起来所成的式子，在一个式子中的数的关系，不全是等号，含不等符号的式子，那它就是一个不等式，即用“大于号”、“小于号”、“不等号”、“大于等于”或“小于等于”连接并具有大小关系的式子，叫做不等式，根据题意可知汽车的速度v不超过，即汽车的速度v小于等于，然后用符号表示即可．
【详解】解：根据题意v与30应满足不等关系为，
故选：A．
4. “方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等的正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为的正方形沿对角线方向平移得到正方形A，B，C，D，形成一个“方胜”图案，则点D与之间的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查平移性质、正方形的性质，熟练掌握平移性质是解答的关键．先求出，再根据平移性质得，然后由求解即可．
【详解】解：∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
由平移性质得，
∴点D，之间的距离为，
故选：D．
5. 如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出的大小，则图中与相等的角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查同角的余角，对顶角相等，根据同角的余角相等，得到，对顶角相等，得到，进行判断即可．
【详解】解：由图可知：，
∴，
∵，
∴；
故选B．
6. 2024年5月24日-26日，中国图象图形大会（CCIG 2024）在陕西省西安市曲江国际会议中心召开了主题为“图聚智生，象合慧成”的文化图像大数据可视化论坛，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为，腰长为，则腰上的高是（ ）
A. B. 6mC. D. 4m
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等．作于点 D，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，再根据含30度角的直角三角形的性质求出，利用勾股定理求出，利用等腰三角形的性质求出，最后根据含30度角的直角三角形的性质即可得出答案．
【详解】解：如图，过A作于D，过B作于E，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即腰上的高是，
故选：A．
7. 若关于的不等式组的解集只有个整数解，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先解不等式组得到，根据不等式组有3个整数解得到a的取值范围，进而求解．
【详解】∵，
解得，，
∴关于的不等式组的整数解为：3，4，5，
∴，
解得，，
故选A．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组与一元一次不等式组的整数解，确定不等式组的整数解是解题的关键．
8. 如图，在和中，，，于点，的反向延长线与交于点，连接，则线段，，三者之间的关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，线段的垂直平分线的性质，证是本题的关键．由题意可得，由可得，由，可得是的垂直平分线，可得，根据勾股定理可求的值．
【详解】解：如图连接，，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
故选：C．
二、填空题（每题3分，共5小题）
9. 分解因式：________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式的方法，解决本题的关键是熟练掌握完全平方公式的方法因式分解．利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】解：
故答案为：．
10. 已知关于的不等式的解集为，则的值是______．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查解一元一次不等式，根据题意，得到，进行求解即可．
【详解】解：∵的解集为，
∴，
∴；
故答案为：2
11. 若分式的值为0，则的值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了分式值为0的条件；一元二次方程的解法，根据分式的值为0，则分母不为0，分子为0进行计算即可．
【详解】解：∵的值为0，
，
解得，
∴x的值为，
故答案为：
12. 如图为一块光学直棱镜，其截面为，所在的面为不透光的磨砂面，现将一束单色光从AC边上的O点射入， 折射后到达边上的点 D处，恰有 再经过反射后（即），从点E垂直于射出，则光线在棱镜内部经过的路径的总长度为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了含角的直角三角形三边的关系、等边三角形判定与性质、勾股定理等知识点，掌握含角的直角三角形三边的关系是解题的关键
由得，又，运用勾股定理可得，而，然后求得证明是等边三角形即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
，
，，
在中，,
∵，
，
，，
，
，
∴是等边三角形，
，
．
故答案为．
13. 如图，中，，CD平分，于点E，于点D，且与BE交于点H，于点F，且与CD交于点G．则下面的结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是______________．
【答案】①③④．
【解析】
【分析】根据∠ACB＝45°，BE⊥AC可得出BE＝CE，利用AAS判定Rt△ABE≌Rt△HCE，从而得出EH＝AE，AB＝CH．则CE＝AE+BH；再利用AAS判定Rt△BCD≌Rt△ACD，得出AD＝DB＝AB．
【详解】解：∵BE⊥AC，∠ACB＝45°，
∴∠ACB＝∠EBC＝45°，
∴BE＝CE．故①正确；
在Rt△ABE和Rt△HCE中，
∵∠ABE＝90°﹣∠DHB，∠DCA＝90°﹣∠EHC，且∠BHD＝∠EHC，
∴∠ABE＝∠DCA．
又∵∠AEB＝∠CEH＝90°，BE＝CE，
∴△ABE≌△CHE．
∴CH＝AB；EH＝AE．
∵BE＝EH+BH，
∴；故④正确；
在Rt△ACD和Rt△BCD中
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠DCB．
又∵CD＝CD，∠BDC＝∠ADC＝90°，
∴Rt△ACD≌Rt△BCD（ASA）．
∴BD＝AD＝AB．
∵CH＝AB，
∴；故③正确；
∵CG≠CH
故②错误，
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，解题关键是准确把握已知条件，证明三角形全等．
三、解答题（共61分）
14. 解不等式组：并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】；数轴见解析
【解析】
【详解】解：
解不等式①，得
解不等式②，得
,
∴原不等式组的解集为：
把解集表示在数轴上，如图所示：
15. 先化简： 再从中选合适的数求值．
【答案】，2
【解析】
【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则．先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的值代入计算可得．
【详解】解：
，
∵且，
且，
∴，
当时，原式
16. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上．
（1）将向右平移6个单位长度得到，请画出；
（2）画出关于点O的中心对称图形；
（3）若将绕某一点旋转可得到，请直接写出旋转中心的坐标．
【答案】（1）作图见解析
（2）作图见解析 （3）
【解析】
【分析】本题主要考查作图—旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，平移变换的性质．
（1）利用平移变换的性质分别作出的对应点，再顺次连接即可；
（2）利用中心对称的性质分别作出的对应点，再顺次连接即可；
（3）结合图形并根据平移的性质、中心对称的性质求出点的坐标，连接，则的交点，即为旋转中心的坐标．
【小问1详解】
如图所示，
【小问2详解】
如图所示，
【小问3详解】
由图可知，，，
，，
则的中点为，即，
则的中点为，即，
的中点均为，
与 是以点为对称中心的中心对称图形，
旋转中心的坐标为．
17. 如图，中，点在边延长线上，的平分线交于点，过点作，垂足为，且．
（1）的度数是 ；
（2）求证：平分；
（3）若，且，求的面积．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质，三角形内角和定理的应用；
（1）先求出，再根据直角三角形的两个锐角互余可得，然后根据即可得；
（2）过点作于点，作于点，先根据角平分线的性质可得，从而可得，再根据角平分线的判定即可得证；
（3）过点作于点，作于点，则，设，再根据和三角形的面积公式可得的值，从而可得的值，然后利用三角形的面积公式即可得．
【小问1详解】
解：，
，
，
，
．
【小问2详解】
证明：如图，过点作于点，作于点，

平分，，
，
由（1）可知，，即平分，
，
，
又点在内部，
平分．
【小问3详解】
解：如图，过点作于点，作于点，

由（2）已得：，
设，
，
，
，即，
又，
，
，
，
的面积为．
18. 【问题背景】综合实践小组准备用长方形木板和弹性系数的轻质弹簧制作一个简易弹簧测力计．
【查阅资料】如图1，弹簧未受力时的长度称为原长，记为．如图2，弹簧受到拉力F后的长度记为L，则弹簧伸长的长度．已知弹簧发生弹性形变时，拉力F的大小跟弹簧伸长的长度x成正比，即，k为弹簧的弹性系数．
【实验操作】综合实践小组利用该弹簧和两个完全一样的钩码设计了如下实验：
如图3，当弹簧末端悬挂一个钩码时，弹簧的长度．如图4，当弹簧末端悬挂两个钩码时，弹簧的长度．
任务1：
（1）①图3中弹簧伸长的长度______；（用含的式子表示）
②图4中弹簧伸长的长度______；（用含的式子表示）
（2）求弹簧的原长．
【确定量程】已知在弹性形变范围内，该弹簧伸长的长度x的最大值是．
任务2：
（3）求该弹簧测力计的量程（测量范围）．
【设计刻度】综合实践小组拟通过以下方式设计刻度，通过刻度直接读取拉力．
任务3：
（4）补全刻度设计方案．将0刻度放在距离木板上端处，每隔标记一次刻度，这样弹簧的长度每增加一个刻度，就代表拉力增加了______N．
【答案】（1）①；②；（2）1；（3）；（4）0.12
【解析】
【分析】本题考查了不等式应用，有理数混合运算的运用，列代数式等，解题的关键是：
（1）①②根据弹簧伸长的长度求解即可；
（2）根据拉力F的大小跟弹簧伸长的长度x成正比，即，得出，，结合，即可求解；
（3）根据弹簧伸长的长度x的最大值是，得出，然后利用不等式的性质求解即可；
（4）用最大拉力F除以弹簧最大伸长x，再乘以0.1即可．
【详解】解：（1）①图3中弹簧伸长长度，
故答案为：；
②图4中弹簧伸长的长度，
故答案为：；
（2）∵拉力F的大小跟弹簧伸长的长度x成正比，即，
∴，，
又，
∴
∴；
（3）∵弹簧伸长的长度x的最大值是
∴，
∴，即，
∴该弹簧测力计的量程为；
（4）∵，
∴弹簧的长度每增加一个刻度，就代表拉力增加，
故答案为：0.12．
19. 知识与方法上的类比是探索发展重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等．
例1：分解因式；
解：将“”看成一个整体，令；
原式；
请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题：
（1）根据材料，请你模仿例1尝试对多项式进行因式分解．
（2）计算： ．
（3）已知，求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）1
【解析】
【分析】本题考查整体思想，完全平方公式，整式的运算，分式运算法则，解题的关键是掌握整体思想，看懂例题．
（1）将看成一个整体，令，代入计算即可；
（2）将看成一个整体，令，将看成一个整体，令，代入计算即可；
（3）将代入求解即可．
【小问1详解】
解：将看成一个整体，令，
则原式．
【小问2详解】
解：将看成一个整体，令，将看成一个整体，令，
则原式
．
【小问3详解】
解：∵，
∴
．
20. 已知：如图，与为等腰直角三角形，，点C，D分别在边上，且，连接，点为线段的中点，连接．
（1）观察猜想：如图①，线段与的数量关系是 ，位置关系是 ．
（2）探究证明：将绕点顺时针旋转到图②的位置，请判断与的数量关系和位置关系，并说明理由．
（3）拓展延伸：若，把绕点在平面内自由旋转，请求出D，O，M三点共线时的长．
【答案】（1），
（2），
（3）
【解析】
【分析】本题考查全等三角形判定和性质，斜边上的中线，勾股定理，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键：
（1）证明，得到，斜边上的中线得到，得到，进而推出，即可得出结论；
（2）延长至点，使，连接，证明，再证明，得到，，推出，即可得出结论；
（3）分在线段上和在上，两种情况进行讨论求解即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴，，
∵是的中点，
∴，
∴，，
∴，
∴，
设交于点，则：，
∴；
故答案为：，；
【小问2详解】
，，理由如下：
延长至点，使，连接，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
故：，；
【小问3详解】
①当在线段上时，如图，
由（2）知：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②当在上时，同理；
综上：．