贵州省贵阳市第六中学2024-2025学年高一下学期4月联考数学试卷（原卷版+解析版）

这是一份贵州省贵阳市第六中学2024-2025学年高一下学期4月联考数学试卷（原卷版+解析版），共18页。试卷主要包含了 设i虚数单位，若，则， 下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。
2025.4
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择）两部分，第Ⅰ卷第1页至第3页，第1卷第3页至第4页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟．
第Ⅰ卷（选择题，共58分）
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 设i是虚数单位，集合中的元素由复数的实部和虚部组成，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 设i虚数单位，若，则（ ）
A 1B. C. 2D.
3. 中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，下列选项中是同一个函数的是（ ）
A. 与B. 与
C. 与D. 与
4. 如图所示，三个边长为的正方形相连，若，，则（ ）
A. B. C. D. 1
5. 已知平面向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 既不充分也不必要条件D. 充要条件
6. 在中，内角的对边分别为，已知，为的中点，且，则（ ）
A. 3B. 5C. 6D. 12
7. 设是正六边形中，，的交点，为正六边形所在平面内任意一点，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A B. C. D.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18方．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列结论正确的是（ ）
A. 已知向量，实数，则
B. 若、均为单位向量，且，则在上的投影向量为
C. 若，则
D. 已知是虚数单位，，若复数是纯虚数，则
10. 已知是锐角三角形，且，则的长度可以是（ ）
A. 1B. C. D.
11. 下列说法正确的是（ ）
A. 已知，则
B. 已知正实数满足，则的最小值为8
C. 若直角三角形，则
D. 已知是三个非零向量，则成立充要条件是与共线
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
注意事项：
第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 计算______.
13. 已知向量，，若与垂直，则的值为______．
14. 在中，点是线段上任意一点（不包含端点），点为线段的中点，点为线段上靠近点的三等分点，若，则的最小值为______．
四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 在中，内角、、的对边分别为、、，已知，，向量，向量，且与共线．
（1）求；
（2）求的面积．
16. 已知向量满足．
（1）若，求向量与的夹角；
（2）若．求的值．
17. 已知函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求出的解析式和对称轴．
18. 在中，内角的对边分别为，已知．
（1）求角；
（2）若，求周长的取值范围．
19. “函数的图象关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意，都有”．若函数的图象关于点对称，且当时，．
（1）求的值；
（2）设函数．
①证明函数的图象关于点对称；
②若实数，则命题“，使得成立”是否为真命题？若是，请给出证明；若不是，请说明理由．
贵阳市六中2024-2025学年4月联考卷
高一数学卷
2025.4
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择）两部分，第Ⅰ卷第1页至第3页，第1卷第3页至第4页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟．
第Ⅰ卷（选择题，共58分）
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 设i是虚数单位，集合中的元素由复数的实部和虚部组成，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由复数的实部和虚部的概念可得，结合交集的计算可得结果.
【详解】由题意，，，则.
故选：C.
2. 设i是虚数单位，若，则（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出，再根据模长公式计算即可.
【详解】由，则，即，
所以.
故选：B.
3. 中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，下列选项中是同一个函数的是（ ）
A. 与B. 与
C. 与D. 与
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的定义域和对应法则逐项判断后可得正确的选项.
【详解】对于A，的定义域为，而的定义域为，
故两者不是同一函数；
对于B，由得，故定义域为，
由得，
故的定义域为，故两者不是同一函数；
对于C，，两者定义域均为，对应法则相同，故为同一函数，
故C正确；
对于D，的定义域为，的定义域为，
故两者不是同一函数；
故选：C.
4. 如图所示，三个边长为的正方形相连，若，，则（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根据图形先求出的正切值，再利用两角差的正切公式计算即得.
【详解】由图知，
则.
故选：A.
5. 已知平面向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 既不充分也不必要条件D. 充要条件
【答案】B
【解析】
【分析】由坐标计算向量夹角与共线时的情况再结合必要不充分条件的判定可得.
【详解】若与的夹角为钝角，则，解得且，
时不能得出与的夹角为钝角，与的夹角为钝角时可以得出，
所以“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件.
故选：B
6. 在中，内角的对边分别为，已知，为的中点，且，则（ ）
A. 3B. 5C. 6D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量的数量积公式及运算律计算即可.
【详解】已知，所以，
因为为的中点，所以
且，则.
故选：B.
7. 设是正六边形中，，的交点，为正六边形所在平面内任意一点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据正六边形的性质及向量线性运算可得解.
【详解】
如图所示，易知点为，，的中点，
所以，，，
所以，
故选：D.
8. 已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据是定义域为的奇函数，可得时，分和两种情况分别求解不等式，即可求解.
【详解】当时，则，所以，
因为函数是定义域为的奇函数，所以，
所以，则，
所以，
当时，即，，
所以，即，
因为二次函数的判别式为，
所以恒成立，所以，
当时，即，，所以，
解得，所以，
综上.
故选：.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18方．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列结论正确的是（ ）
A. 已知向量，实数，则
B. 若、均为单位向量，且，则在上的投影向量为
C. 若，则
D. 已知是虚数单位，，若复数是纯虚数，则
【答案】BC
【解析】
【分析】利用平面向量的数乘运算可判断A选项；利用投影向量的定义可判断B选项；利用不等式的基本性质可判断C选项；利用复数的概念可得出关于的等式与不等式，解出的值，可判断D选项.
【详解】对于A选项，已知向量，实数，则，A错；
对于B选项，若、均为单位向量，且，则在上的投影向量为，B对；
对于C选项，若，则，由不等式的基本性质可得，C对；
对于D选项，已知是虚数单位，，若复数是纯虚数，
则，解得，D错.
故选：BC.
10. 已知是锐角三角形，且，则的长度可以是（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】先根据三角形是锐角三角形，确定角的取值范围，再结合正弦定理用角的三角函数表示边，利用三角函数的性质可求的取值范围.
【详解】因为三角形为锐角三角形，且，所以，.
由正弦定理，可得：，又，
所以，
由，所以，所以.
故选：CD
11. 下列说法正确的是（ ）
A. 已知，则
B. 已知正实数满足，则的最小值为8
C. 若为直角三角形，则
D. 已知是三个非零向量，则成立的充要条件是与共线
【答案】AB
【解析】
【分析】根据指数和对数函数的性质，得到，可判定A正确；由，利用基本不等式，求得，可判定B正确；当为锐角时，求得，可判定C不正确；当时，满足，可判定D不正确.
【详解】对于A，因，而，即，故A正确；
对于B，正实数满足，可得，
由，当且仅当时，即时，等号成立，
则，可得，即的最小值为，故B正确；
对于C，在直角中，若为锐角时，可得，
则，故C不正确；
对于D，由是三个非零向量，若时，可得，
满足，此时不能判断与共线，故充分性不成立，
即与共线不是成立的充要条件，故D不正确.
故选：AB
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
注意事项：
第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 计算______.
【答案】4
【解析】
【分析】由对数的运算化简可得结果.
【详解】
.
故答案为：4.
13. 已知向量，，若与垂直，则的值为______．
【答案】##
【解析】
【分析】利用向量垂直的表示式结合向量的坐标计算即得.
【详解】因向量，，则，
则，解得：.
故答案为：.
14. 在中，点是线段上任意一点（不包含端点），点为线段的中点，点为线段上靠近点的三等分点，若，则的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用向量的共线运算及平面向量基本定理找到的关系，再用代换法求最小值即可.
【详解】
由已知可得：，
又因为在线段上，所以有，且，
根据平面向量基本定理可知：，
所以有，且，即
则，
当且仅当，即时取等号，
故答案为：.
四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 在中，内角、、的对边分别为、、，已知，，向量，向量，且与共线．
（1）求；
（2）求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用平面向量共线的坐标表示可得出关于的等式，结合可求出的值；
（2）求出角的值，利用三角形的面积公式可求得的面积.
【小问1详解】
因为向量，向量，且与共线，
则，整理可得，因为，解得.
【小问2详解】
因为，，则，
所以，的面积为.
16. 已知向量满足．
（1）若，求向量与的夹角；
（2）若．求的值．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用数量积的运算律，结合向量夹角公式求解.
（2）利用数量积的运算律求解.
【小问1详解】
由，得，，
因此，而，则，
所以向量与的夹角为.
小问2详解】
由，得，则，解得，
所以.
17. 已知函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）将函数图象向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求出的解析式和对称轴．
【答案】（1）函数的最小正周期；
（2），对称轴为.
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用正弦型函数的周期性求最小正周期；
（2）根据题意变换图象得到函数的解析式，利用正弦型函数的对称性求对称轴.
【小问1详解】
由题意，
，
故函数的最小正周期.
【小问2详解】
将函数的图象向右平移个单位长度，得到，
再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数.
故的解析式，
令，可得，
则的对称轴为.
18. 在中，内角的对边分别为，已知．
（1）求角；
（2）若，求周长的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理可得，根据三角形内角和定理及两角和的正弦公式即可求解；
（2）由正弦定理可得，，根据三角形内角和定理及三角恒等变换可得，再根据角的范围和三角函数的性质即可求解.
【小问1详解】
因，所以，
因为，
所以，
所以，
因为，所以，所以，
因为，所以；
【小问2详解】
由（1）知，因为，
所以，
所以，，
所以
，
因，所以，
所以 ，所以，
即，所以周长的取值范围为.
19. “函数的图象关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意，都有”．若函数的图象关于点对称，且当时，．
（1）求的值；
（2）设函数．
①证明函数的图象关于点对称；
②若实数，则命题“，使得成立”是否为真命题？若是，请给出证明；若不是，请说明理由．
【答案】（1）4 （2）①证明见解析；②不是，证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据对称的充要条件，令即可求解；
（2）①根据对称的充要条件计算即可证明；②设在上的值域为，则命题“，使得成立”，即，讨论二次函数的对称轴，求出在上的值域，进行求解即可.
【小问1详解】
函数的图象关于点对称，
所以，
令，得.
【小问2详解】
①，
所以
，即满足，
所以函数的图象关于点对称.
②命题“，使得成立”不是真命题，
证明：在上单调递增，
所以，
设在上的值域为，
对，使得成立，
则，
当时，，
，，，
对称轴，
当时，在单调递增，，，
所以，不等式组无解，
当时，在单调递减，在单调递增，
，，
所以，解得，
当时，在单调递减，在单调递增，
，，符合题意；
当时，在单调递减，在单调递增，
，，
所以，解得，
当时，在单调递减，，，
所以，不等式组无解，
综上所述：当时，对，使得成立，
故命题“，使得成立”不是真命题.