广东省中山市共进联盟2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

这是一份广东省中山市共进联盟2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列中国品牌新能源车车标中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 用配方法解一元二次方程，配方后的方程可能是（ ）
A. B.
C. D.
3. 在下列事件中，必然事件是（ ）
A. 掷一次骰子，向上一面的点数是3
B. 篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中
C. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
D. 任意画一个三角形，其内角和是180°
4. 如图，一个几何体的主视图与左视图都是边长为4的等边三角形，则这个几何体的侧面展开图的面积为（ ）.

A. B. C. D.
5. 如图，点是外一点，，分别与相切于点，，点在上．已知，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，在等腰中，，将绕点C逆时针旋转得到，当点A对应点D落在上时，连接，则的度数是（ ）
A B. C. D.
7. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2，当时，x的取值范围是（ ）
A. 或B. 或
C. 或D. 或
8. 电影《志愿军：雄兵出击》于2024年国庆档上映，该电影讲述了中国人民志愿军抗美援朝的故事，一上映就获得全国人民的追捧．据不完全统计，某市第一天票房约200万元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达728万元，将增长率记作x，则方程可以列为（ ）
A.
B.
C
D.
9. 已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A. 0B. －10C. 3D. 10
10. 如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，线段在抛物线的对称轴上移动（点在点下方），且．当四边形的周长最小时，点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.
11. 求值：________．
12. 如图，河堤横断面迎水坡的坡比是，堤高，则坡面的长度为______m．
13. 以原点为旋转中心，将点旋转得到点，则点的坐标为_____.
14. 如图，在正方形中，，以为圆心，为半径作圆弧，交的延长线于点，连结．则图中阴影部分的面积为__________．
15. 如图，在中，轴，，，反比例函数的图象经过点，且与交于点．若，则点的坐标为_______．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分.
16. 解方程：．
17. 如图，在中，，．
（1）利用尺规在上找到一点，使得（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）连接，并求的值．
18. 如图1，平底烧瓶是实验室中使用的一种烧瓶类玻璃器皿，主要用来盛液体物质，可以轻度受热．如图2，它的截面图可以近似看作是由去掉两个弓形后与矩形组合而成的图形，其中，若的半径为，，，，求该平底烧瓶的高度．

四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分.
19. 一只不透明袋子中装有3个大小、质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有数字1、2、3，搅匀后先从袋子中任意摸出1个球，记下数字后放回，搅匀后再从袋子中任意摸出1个球，记下数字．
（1）第一次摸到标有偶数的乒乓球的概率是______；
（2）用画树状图或列表等方法求两次都摸到标有奇数的乒乓球的概率．
20. 如图，在中，点在边上，，，，的角平分线交于点．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，求的长度．
21. 综合与实践
如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点．
（1）【观察感知】如图2，通过观察，线段与的数量关系是_____；
（2）【问题解决】如图3，连接并延长交的延长线于点，若，，求的面积；
（3）【类比迁移】在（2）的条件下，连接交于点，则_____；
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分.
22. 如图，在中，，，以为直径的交于点，点是边上一点（点不与点、重合），的延长线交于点，，交于点.
（1）求证：；
（2）连接，，求证：；
（3）若，，求的长.
23. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，点D是抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当点D在直线下方的抛物线上时，过点D作y轴的平行线交于点E，设点D的横坐标为t，的长为l，请写出l关于t的函数表达式，并写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，连接，交于点F，求的最大值．
九年级三月数学单元练习试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.
1. 下列中国品牌新能源车的车标中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查中心对称图形的识别，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
【详解】解：A．该图不是中心对称图形，故不符合题意；
B．该图是中心对称图形，故符合题意；
C．该图不是中心对称图形，故不符合题意；
D．该图不是中心对称图形，故不符合题意；
故选：B．
2. 用配方法解一元二次方程，配方后的方程可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了配方法，熟练掌握配方法的基本步骤是解题的关键．
先把常数移到右边，再两边加上一次项系数一半的平方，把左边转化为完全平方式即可判断．
【详解】解：可变形为：，
再变形可得：，
所以方程的左边一定是，选项中符合题意得只有D选项，
故选：D．
3. 在下列事件中，必然事件是（ ）
A. 掷一次骰子，向上一面的点数是3
B. 篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中
C. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
D. 任意画一个三角形，其内角和是180°
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是随机事件，熟知在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件是解题的关键．根据必然事件、随机事件的意义进行判断即可．
【详解】解：A．掷一次骰子，向上一面的点数是3，是随机事件，不符合题意；
B．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中，是随机事件，不符合题意；
C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意；
D．任意画一个三角形，其内角和是，是必然事件，符合题意．
故选：D．
4. 如图，一个几何体的主视图与左视图都是边长为4的等边三角形，则这个几何体的侧面展开图的面积为（ ）.

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了圆锥的计算，也考查了三视图．根据三视图得到这个几何体为圆锥，且圆锥的母线长为4，底面圆的直径为4，圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，然后根据扇形的面积公式求解．
【详解】解：这个几何体为圆锥，圆锥的母线长为4，底面圆的直径为4，
所以这个几何体的侧面展开图的面积．
故选：B．
5. 如图，点是外一点，，分别与相切于点，，点在上．已知，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，连接，由切线的性质得，进而由四边形的内角和得，再根据圆周角定理即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：连接，
∵，分别与相切于点，，
∴，
∵，
∴，
∵点在上，
∴，
故选：．
6. 如图，在等腰中，，将绕点C逆时针旋转得到，当点A的对应点D落在上时，连接，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键．由等腰三角形的性质和三角形内角和定理，得，根据旋转的性质，得，，再由等腰三角形和三角形内角和定理得，由 即可求得答案．
【详解】解：，，
，
由旋转得，，，
，
，
故选：B．
7. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2，当时，x的取值范围是（ ）
A. 或B. 或
C. 或D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的交点问题，由题意可得A，B两点关于原点对称，从而可得点的横坐标为，再结合函数图象即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：∵正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，
∴A，B两点关于原点对称，
∵点A的横坐标为2，
∴点的横坐标为，
∴由图象可得，当时，x的取值范围是或，
故选：B．
8. 电影《志愿军：雄兵出击》于2024年国庆档上映，该电影讲述了中国人民志愿军抗美援朝的故事，一上映就获得全国人民的追捧．据不完全统计，某市第一天票房约200万元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达728万元，将增长率记作x，则方程可以列为（ ）
A.
B.
C.
D
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设平均每天票房增长率为x，根据三天后累计票房收入达728万元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设平均每天票房的增长率为x，
故第一天为：200
第二天为：
第三天为：
三天累计为：．
故选：C
9. 已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A. 0B. －10C. 3D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次方程根与系数关系得出mn=－5，把x=m代入方程得m2+2m-5=0，即m2+2m=5，代入即可求解．
【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个根，
∴mn=－5，m2+2m-5=0，
∴m2+2m=5，
∴=5－5=0，
故选：A．
【点睛】本题考查代数式求值，一元二次方程根与系数关系，方程解的意义，根据一元二次方程根与系数关系和方程解的意义得出mn=-5，m2+2m=5是解题的关键．
10. 如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，线段在抛物线的对称轴上移动（点在点下方），且．当四边形的周长最小时，点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将点沿轴向下平移3个单位，得到点，设点是抛物线与轴的另一个交点，连接，，，易证得四边形是平行四边形，于是可得，由轴对称的性质可得，于是得到，即点是直线与抛物线对称轴的交点时，的值最小，利用待定系数法可求得直线的解析式，然后求得抛物线的对称轴，通过求解两条直线的交点即可得出答案．
【详解】解：如图，将点沿轴向下平移3个单位，得到点，设点是抛物线与轴的另一个交点，连接，，，
由题意得：，
而，则，
抛物线的对称轴平行于轴，
且线段在抛物线的对称轴上，线段在轴上，
，
四边形是平行四边形，
，
抛物线是轴对称图形，
，
，
当、、三点共线，即点是直线与抛物线对称轴的交点时，的值最小，
∵四边形的周长，且都是定长，
∴的值最小时，即四边形的周长最小，
则在抛物线中，令，则，
，
令，则，
解得：或，
，，
由平移的性质可得：
点的纵坐标，
，
设直线的解析式为，
将，代入，得：
，
解得：，
直线的解析式为，
在抛物线中，其对称轴为直线，
要使的值最小，则点的坐标应满足，
解得：，
，
∵点在点下方，且．
∴
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平移的性质，二次函数的图象与性质，平行四边形的判定与性质，轴对称的性质，三角形三边之间的关系，求抛物线与轴的交点坐标，求抛物线与轴的交点坐标，因式分解法解一元二次方程，待定系数法求一次函数解析式，解二元一次方程组，两直线的交点与二元一次方程组的解等知识点，巧妙添加辅助线并运用数形结合思想是解题的关键．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.
11. 求值：________．
【答案】1
【解析】
【分析】将特殊角的三角函数值代入求解即可.
【详解】解：原式=()2+()2
=+
=1.
故答案为1.
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，识记是关键.
12. 如图，河堤横断面迎水坡的坡比是，堤高，则坡面的长度为______m．
【答案】20
【解析】
【分析】本题考查直角三角形的应用，根据坡比等于铅直高比上水平宽，求出的长，勾股定理求出的长即可．
【详解】解：由题意，得：，，
∴，
∴；
故答案为：20．
13. 以原点为旋转中心，将点旋转得到点，则点的坐标为_____.
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形变化——旋转，建立平面直角坐标系，作出图形，然后根据图形写出点的坐标即可．作出图形，利用数形结合的思想求解更形象直观．
【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系，

依题意，将点逆时针旋转得到点，则点B的坐标为．
则将点顺时针旋转得到点，
此时点和点B是关于原点对称，
则点的坐标为．
故答案为：或．
14. 如图，在正方形中，，以为圆心，为半径作圆弧，交的延长线于点，连结．则图中阴影部分的面积为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了扇形的面积计算方法，将不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差成为解题的关键．
根据进行计算即可解答．
【详解】解：∵在正方形中，，，
，，，
，
∴
．
故答案为．
15. 如图，在中，轴，，，反比例函数的图象经过点，且与交于点．若，则点的坐标为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查坐标与图形、平行四边形的性质及反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握相关性质是解题关键．设，则，根据平行四边形的性质，结合点、坐标可得，，根据反比例函数图象上点的坐标特征得出，解方程求出值即可得答案．
【详解】解：设，
∵，
∴，
∵在中，轴，，，
∴，，，
∵反比例函数的图象经过点，点，
∴，
解得：，
∴．
故答案为：
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分.
16. 解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先移项，然后利用因式分解法求出解即可．
【详解】解：，
，
，
∴或，
∴，．
17. 如图，在中，，．
（1）利用尺规在上找到一点，使得（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）连接，并求的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了尺规作线段的垂直平分线，勾股定理以及求余弦值．
（1）作线段的垂直平分线交边于点，交边于点即可；
（2）由垂直平分，得到，设，则，利用勾股定理求出，再利用余弦的定义即可解答．
【小问1详解】
解：如图，点即为所求：
【小问2详解】
解：如图，连接，
垂直平分，
，
设，则，
由勾股定理得，
，
解得，
则，
．
18. 如图1，平底烧瓶是实验室中使用的一种烧瓶类玻璃器皿，主要用来盛液体物质，可以轻度受热．如图2，它的截面图可以近似看作是由去掉两个弓形后与矩形组合而成的图形，其中，若的半径为，，，，求该平底烧瓶的高度．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是垂径定理的应用，连接，，过点作，交于点，交于点，由垂径定理得出，的长，再根据勾股定理得出，的长，进而可得出结论．
【详解】解：如图，连接，，过点作，交于点，交于点，
，
，
平分，，
，，
，，
的半径为，，
在和中，，
由勾股定理得，
，
该烧瓶的高度为．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分.
19. 一只不透明的袋子中装有3个大小、质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有数字1、2、3，搅匀后先从袋子中任意摸出1个球，记下数字后放回，搅匀后再从袋子中任意摸出1个球，记下数字．
（1）第一次摸到标有偶数的乒乓球的概率是______；
（2）用画树状图或列表等方法求两次都摸到标有奇数的乒乓球的概率．
【答案】（1）
（2）两次都摸到标有奇数的乒乓球的概率为
【解析】
【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；
（2）画树状图得出所有等可能的结果数和两次都摸到标有奇数的乒乓球的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【小问1详解】
解：∵袋中共有3个分别标有数字1、2、3的小球，数字2为偶数，
∴第一次摸到标有偶数乒乓球的概率是
故答案为：.
【小问2详解】
解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中两次都摸到标有奇数的乒乓球的结果有：，共4种，
∴两次都摸到标有奇数的乒乓球的概率为.
【点睛】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
20. 如图，在中，点在边上，，，，的角平分线交于点．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，求的长度．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）6
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是本题的关键．
（1）由线段长度可得，，即可得；
（2）由（1）的结论得，由相似三角形的判定可证，由相似三角形的性质得，再由角平分线的性质得，再由相似三角形的判定可证；
（3）由（2）的结论得，即可求解．
【小问1详解】
证明：，，
，
，，
；
【小问2详解】
证明：，
，
又∵，
∴，
，
平分，
，
；
【小问3详解】
解：，
，
，
．
21. 综合与实践
如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点．
（1）【观察感知】如图2，通过观察，线段与的数量关系是_____；
（2）【问题解决】如图3，连接并延长交的延长线于点，若，，求的面积；
（3）【类比迁移】在（2）的条件下，连接交于点，则_____；
【答案】（1）
（2）10 （3）
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的性质和判定、解直角三角形知识．
（1）利用“一线三垂直”证即可得证；
（2）先证得，，再证可求长度，然后即可求出的面积；
（3）利用和建立关于的方程，求出的长度，最后利用求值，根据即可得出答案．
【小问1详解】
解：∵线段绕点B逆时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：；
【小问2详解】
解：线段绕点逆时针旋转得到线段，
，，
，
，
，
，，
，，
，，
，
，
，
，
，即，
，
，
；
【小问3详解】
解：如图，过作于点，
由得，，即，
，
由得，，即，
解得，
由得，，
，
故答案为：．
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分.
22. 如图，在中，，，以为直径的交于点，点是边上一点（点不与点、重合），的延长线交于点，，交于点.
（1）求证：；
（2）连接，，求证：；
（3）若，，求的长.
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）8
【解析】
【分析】（1）连接，可得，先根据圆周角定理得到，，证明即可求证；
（2）连接，，根据全等三角形性质可证明是等腰直角三角形，则，由圆周角定理得到，那么，即可证明；
（3）连接，在中，根据勾股定理得，由于为等腰直角三角形，解直角三角形求得，然后证明，得到，求出，再由即可求解．
小问1详解】
解：证明：连接，
在中，，，
，
为圆的直径，
，即，
，，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
；
【小问2详解】
证明：连接，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
；
【小问3详解】
解：如图：连接，
，，
，
在中，，
根据勾股定理得：，
，，
为等腰直角三角形，，
，
，
，
，，
，
，即，
，即，
则．
【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，正确添加辅助线是解题的关键．
23. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，点D是抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当点D在直线下方的抛物线上时，过点D作y轴的平行线交于点E，设点D的横坐标为t，的长为l，请写出l关于t的函数表达式，并写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，连接，交于点F，求的最大值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数及其图象的性质，求一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质等知识．
（1）将点和点坐标代入抛物线的解析式得出方程组，解方程组，进而得出结果；
（2）先求出直线的解析式，进而表示出的长，进一步得出结果；
（3）在（2）的条件下，当时，作，交于，可得出，从而，进而得出，进一步得出结果．
【小问1详解】
解：由题意得，
，
，
抛物线的表达式为：；
【小问2详解】
解：抛物线与y轴交于点，
设直线的函数表达式为：，代入，两点得，
解得，
直线的函数表达式为：，
∵过点D作y轴的平行线交于点E，设点D的横坐标为t，
，
，
；
【小问3详解】
解：如图1，
当时，作，交于，
∴，
，
把代入得，，
，
，
当时，，
，
∴．