2024-2025学年七年级下学期第一次月考数学试卷（苏科版2024+含答案解析）

这是一份2024-2025学年七年级下学期第一次月考数学试卷（苏科版2024+含答案解析），共16页。试卷主要包含了考试时间，测试范围，已知，的值是，计算等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．考试时间：100分钟，试卷满分：100分。本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：七年级数学下册第7章-第8章（苏科版2024）。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．可以改写成（ ）
A．B．C．D．
3．已知，，则等于（ ）
A．2B．3C．4D．6
4．用完全平方公式计算的值，下列变形最恰当的是（ ）
A．B．C．D．
5．已知，的值是（ ）
A．B．2C．0.5D．
6．如图，将一个边长为a的正方形，剪掉一个边长为b的小正方形后，剩余部分沿对角线分成Ⅰ和Ⅱ两部分，I和Ⅱ可以拼成一个长方形，此操作过程能验证的公式是（ ）
A．B．
C．D．
7．已知，，，，则a、b、c的大小关系是（）
A．B．C．D．
8．根据整式与整式相乘，可以得到等式：．试利用这个等式解决以下问题：如图，中，，分别以、、为边向外侧作正方形．如果、、的长分别是、、，且，，那么这三个正方形的面积和是（ ）
A．70B．107C．60D．83
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9．计算：．
10．计算．
11．清代震枚的一首诗苔中的诗句“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开”若苔花的花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为．
12．计算的结果是．
13．如图，为了绿化校园，某校准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建两条宽为米的通道，则草坪的面积是．
14．已知，则．
15．若的乘积中不含项和项，则．
16．如图，长方形的面积是96，为上一点，，为上一点，则的面积是．
三、解答题：本题共10小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（6分）计算：
（1）；（2）．
18．（6分）计算：
（1）；（2）．
19．（6分）先化简，再求值：，其中，．
20．（6分）已知．
（1）求的值；
（2）求的值．
21．（6分）已知，求下列代数式的值：
（1）；
（2）．
22．（6分）如图，某长方形商业街区分为五部分，其中两块大小相同的长方形区域为餐饮区，两块大小相同的正方形区域为购物区，中间正方形区域为休息娱乐区．已知区域的边长为米，区域的边长为米．
（1）请用含，的式子表示该长方形商业街区的总面积；
（2）若，，求该长方形商业街区的总面积．
23．（6分）若（且，m、n是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题：
（1）如果，求的值；
（2）如果，求的值．
24．（8分）规定两数a，b之间的一种运算，记作；如果，那么．例如：因为，所以．
（1）根据上述规定，填空：________，________；
（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：，他给出了如下的证明：
设，则，即，
，即，
．
请你尝试运用上述这种方法说明下面这个等式成立的理由．
25．（8分）若一个整数能表示成（，是非零整数）的形式，则称这个数为“完美平方数”．例如，5是“完美平方数”，因为，再如（，是非零整数且），所以也是“完美平方数”．
（1）请你写一个小于30的“完美平方数”：______
（2）请判断32，33是否是“完美平方数”，并说明理由；
（3）已知（是整数，是常数），要使为“完美平方数”，请求出符合条件的一个值．
26．（10分）阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示：
【观察】
【归纳】；
【应用】计算
解：令，，
则
结合上述材料，完成下列问题：
（1）证明等式：；
（2）应用（1）中所证明等式，计算；
（3）若多项式，满足，，用一个含，的式子表示出，之间的数量关系．
参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】解：A、，原选项计算错误，不符合题意；
B、，原选项计算正确，符合题意；
C、，原选项计算错误，不符合题意；
D、，原选项计算错误，不符合题意；
故选：B ．
2．可以改写成（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：．
故选D．
3．已知，，则等于（ ）
A．2B．3C．4D．6
【答案】D
【详解】解：．
故选：D．
4．用完全平方公式计算的值，下列变形最恰当的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：，此时计算最简便；
故选B
5．已知，的值是（ ）
A．B．2C．0.5D．
【答案】B
【详解】解：，
∴，
故选：B．
6．如图，将一个边长为a的正方形，剪掉一个边长为b的小正方形后，剩余部分沿对角线分成Ⅰ和Ⅱ两部分，I和Ⅱ可以拼成一个长方形，此操作过程能验证的公式是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】解：由题意可知长方形面积为，大正方形减去小正方形后的面积为，
∴，
故选：．
7．已知，，，，则a、b、c的大小关系是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：，
，
故选：A
8．根据整式与整式相乘，可以得到等式：．试利用这个等式解决以下问题：如图，中，，分别以、、为边向外侧作正方形．如果、、的长分别是、、，且，，那么这三个正方形的面积和是（ ）
A．70B．107C．60D．83
【答案】A
【详解】解：由公式得：，
∴这三个正方形的面积和是，
故选：A．
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9．计算：．
【答案】6
【详解】解：，
故答案为：．
10．计算．
【答案】
【详解】解：．
故答案为：．
11．清代震枚的一首诗苔中的诗句“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开”若苔花的花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为．
【答案】
【详解】解：，
故答案为：．
12．计算的结果是．
【答案】/
【详解】解：
；
故答案为：
13．如图，为了绿化校园，某校准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建两条宽为米的通道，则草坪的面积是．
【答案】平方米
【详解】解：由题意可得：
（平方米）；
故答案为：平方米．
14．已知，则．
【答案】8
【详解】解：，
故答案为：8．
15．若的乘积中不含项和项，则．
【答案】16
【详解】解：
，
∵乘积中不含项和项，
∴，，
∴，，
则，
故答案为：16．
16．如图，长方形的面积是96，为上一点，，为上一点，则的面积是．
【答案】45
【详解】设长方形的长为x，宽为y，
∵，，
∴，，
∴的面积
．
故答案为：45．
三、解答题：本题共10小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（6分）计算：
（1）；
（2）．
【详解】（1）解：
；…………………………………………3分
（2）解：
. …………………………………………6分
18．（6分）计算：
（1）；
（2）．
【详解】（1）解；；…………………………………………3分
（2）解：．…………………………………………6分
19．（6分）先化简，再求值：，其中，．
【详解】解：原式
，…………………………………………3分
当，时，原式．
…………………………………………6分
20．（6分）已知．
（1）求的值；
（2）求的值．
【详解】（1）解：∵，
∴；…………………………………………3分
（2）解：∵，
∴．…………………………………………6分
21．（6分）已知，求下列代数式的值：
（1）；
（2）．
【详解】（1）解：因为，
所以．…………………………………………3分
（2）因为，
所以，
所以．………………………………………6分
22．（6分）如图，某长方形商业街区分为五部分，其中两块大小相同的长方形区域为餐饮区，两块大小相同的正方形区域为购物区，中间正方形区域为休息娱乐区．已知区域的边长为米，区域的边长为米．
（1）请用含，的式子表示该长方形商业街区的总面积；
（2）若，，求该长方形商业街区的总面积．
【详解】（1）长方形区域的长为（米），
宽为（米），
该长方形商业街区的长为（米），
宽为（米），
该长方形商业街区的总面积为：
．…………………………………………3分
（2）当，时，
（平方米）．
当，时，该长方形商业街区的总面积为1500平方米．
…………………………………………6分
23．（6分）若（且，m、n是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题：
（1）如果，求的值；
（2）如果，求的值．
【详解】（1）解：
，
，
，
解得；…………………………………………3分
（2），
，
，
．…………………………………………6分
24．（8分）规定两数a，b之间的一种运算，记作；如果，那么．例如：因为，所以．
（1）根据上述规定，填空：________，________；
（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：，他给出了如下的证明：
设，则，即，
，即，
．
请你尝试运用上述这种方法说明下面这个等式成立的理由．
【详解】（1）解：∵，，
∴，，
故答案为：3，2；…………………………………………4分
（2）解：设，，则，
∴，，，
∴．…………………………………………8分
25．（8分）若一个整数能表示成（，是非零整数）的形式，则称这个数为“完美平方数”．例如，5是“完美平方数”，因为，再如（，是非零整数且），所以也是“完美平方数”．
（1）请你写一个小于30的“完美平方数”：______
（2）请判断32，33是否是“完美平方数”，并说明理由；
（3）已知（是整数，是常数），要使为“完美平方数”，请求出符合条件的一个值．
【详解】（1）解：，
是“完美平方数”；
故答案为：10（答案不唯一）；…………………………………………2分
（2）解：依题意，32是为“完美平方数”，33不是为“完美平方数”，理由如下：
，
32是为“完美平方数”，
33找不到满足的a，b的值，
故33不是为“完美平方数”；…………………………………………3分
（3）解：是整数，且为“完美平方数”，
，
由题意可得为一个数的平方，
符合条件的一个值为5．…………………………………………8分
26．（10分）阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示：
【观察】
【归纳】；
【应用】计算
解：令，，
则
结合上述材料，完成下列问题：
（1）证明等式：；
（2）应用（1）中所证明等式，计算；
（3）若多项式，满足，，用一个含，的式子表示出，之间的数量关系．
【详解】（1）解：
……
∴…………………………………………3分
（2）计算
解：令，，
则
…………………………………………6分
（3）解：∵
∴
当时，
∵
∴
当时，
∵，
∴
∴…………………………………………10分