广西壮族自治区河池市2024-2025学年高一上学期期末学业水平质量检测数学试题（解析版）

这是一份广西壮族自治区河池市2024-2025学年高一上学期期末学业水平质量检测数学试题（解析版），共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的.
1. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】命题“”的否定是.
故选：D.
2. 已知点是角终边上的一点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】根据三角函数的定义，可得.
故选：A.
3. 若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】，在上单调递减，，故，所以，
又，在上单调递增，，故，
即，所以.
故选：A.
4. 若扇形面积为4，圆心角为2，那么该扇形的弧长为（ ）
A B. 2C. D. 4
【答案】D
【解析】由扇形的面积公式，可得，解得，
所以弧长为.
故选：D.
5. 使成立的一个充分不必要条件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】对于A，取时，可知，但，故是的不充分条件，故A错误；
对于B，取，可知，但，故是的不充分条件，故B错误；
对于C，由，所以，反之不成立，故C正确；
对于D，当时，由，得，故是的不充分条件，故D错误.
故选：C.
6. 一元二次不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由已知可知，所以要一元二次不等式对一切实数恒成立，
则，即，解得，
所以的取值范围为.
故选：A.
7. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20～79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg/mL.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶?（ ）（参考数据：，，）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】设经过个小时才能驾驶，则，即，
由于在定义域上单调递减，
∴，
∴他至少经过小时才能驾驶.
故选：C.
8. 已知函数（，），满足，将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则的取值可以为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】因为，即，所以，
又因为，所以，所以，
函数的图象向右平移个单位得到，
的图象关于直线对称，，，
即，，令，得.
故选：B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 与表示同一个函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】定义域为，且.
对于A：，定义域也为，故A正确；
对于B：的定义域为，定义域不一样，故B错误；
对于C：，定义域与解析式都相同，故C正确；
对于D：的定义域为，定义域不一样，故D错误.
故选：AC.
10. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，且，则的最小值为18
B. 函数的零点为
C. 已知，则的最小值为3
D 已知函数，则
【答案】ACD
【解析】对于A. ，且，即，
，
当且仅当时取到等号，故A正确.
对于B：函数的零点是其图象与轴交点的横坐标，
即函数的零点为，故B错误.
对于C：，当且仅当时取等号，故C正确.
对于D：由，所以，故D正确.
故选：ACD.
11. 如图，某池塘里浮萍的面积y(单位：m2)与时间t(单位：月)的关系为y=at.关于下列说法正确的是（ ）
A. 浮萍每月的增长率为1
B. 第5个月时，浮萍面积就会超过30m2
C. 浮萍每月增加的面积都相等
D. 若浮萍蔓延到2m2，3m2，6m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1+t2=t3
【答案】ABD
【解析】图象过(1，2)点，∴2=a1，即a=2，∴y=2t.
∵，∴每月的增长率为1，A正确.
当t=5时，y=25=32>30，∴B正确.
∵第二个月比第一个月增加y2-y1=22-2=2(m2)，第三个月比第二个月增加y3-y2=23-22=4(m2)≠y2-y1，∴C不正确.
∵2=，3=，6=，∴t1=lg22，t2=lg23，t3=lg26，∴t1+t2=lg22+lg23=lg26=t3，D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知幂函数经过点，则______．
【答案】
【解析】设幂函数，所以，解得，
所以，所以.
13. 在中，若，则值为__________.
【答案】2
【解析】在三角形ABC中，因为，
所以
.
14. 定义在上的偶函数满足对任意，有，且当时，，若函数且在上至少有个零点，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】根据函数为偶函数，
令得，
即，故函数是周期为的周期函数.
根据偶函数图像关于轴对称，画出函数的图像如下图所示：
当时，画出和的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像没有交点，不符合题意.
当时，画出和的图像如下图所示，由图可知，
两个函数图像有至少有个交点，则需，即，解得.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合.
（1）求；
（2）若集合，是否存在实数，使得？若存在，试求出实数的值；若不存在，请说明理由.
解：（1），
，
，.
（2）存在.
，
①当时，，满足，所以；
②当时，，要满足，则，
因为，所以或5；
综上所述，或3或5.
16. 某地因地制宜，大力发展“生态水果特色种植”.经调研发现：某珍稀水果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）元.已知这种水果的市场售价大约为18元/千克，且销路畅通供不应求.记该水果树的单株利润为（单位：元）.
（1）求的函数关系式；
（2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？
解：（1）由已知
（2）由（1）得
当时，；
当时，，
当且仅当时，即时等号成立.
因为，所以当时，.
∴当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是1152元.
17. 函数在区间上的最大值为6.
（1）求常数的值；
（2）求函数的单调递增区间；
（3）把函数图象上各点向右平移个单位长度得到函数，求函数的对称中心坐标.
解：（1）
，
因为，所以，
所以，所以，
所以，
所以函数的最大值为，
所以，得.
（2）由（1）得.
由，解得.
所以函数的单调递增区间为.
（2）由（1）得，把函数的图象上各点向右平移个单位长度得函数.
令，解得，
所以，函数的对称中心坐标为.
18. 已知定义域为的函数是奇函数.
（1）求的值；
（2）判断函数在上的单调性，并证明你的结论.
（3）是否存在实数，对于任意，不等式恒成立，若存在，求出实数的取值范围，若不存在，说明理由.
解：（1）因为为上的奇函数，所以，
，.
（2）为上的减函数．
任取，，
，，，，，
，所以为上的减函数．
（3）若不等式恒成立，
，又为上的奇函数，
所以，
又为上的减函数，所以对恒成立．
即对恒成立．，，
设，其对称轴为，
时是增函数，所以，所以．
19. 已知函数的图象过点.
（1）求函数的解析式；
（2）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（3）设，若对于任意，都有，求的取值范围.
解：（1）函数的图象过点，
所以，解得，所以函数的解析式为.
（2）判断：函数为奇函数.
理由如下：由（1）知，，
.
由，解得函数的定义域为，
定义域关于原点对称，
，
函数为奇函数.
（3）因为且，所以且，
因为，
所以的最大值可能是或，
因为
=m-1mm+1m-2=m-1m⋅(m-1)2m>0，
所以，所以对于任意，都有成立，
只需，即，
设hm=m2-2m+lnm-1m>1，易知在上单调递增，且，
，即，所以，
所以的取值范围是.