广东省梅州市2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试卷(含答案)

这是一份广东省梅州市2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合，，则( )
A.B.C.D.
2．已知命题，，则为( )
A.，B.，
C.，D.，
3．若，则“”是“”的( )条件
A.充分不必要B.必要不充分C.既不充分也不必要D.充分必要
4．小明参加学校篮球协会的面试，通过面试的条件是：首先在三分线外投篮，两次机会，命中一次即通过面试；若均未命中，则接着在罚球点处投篮，一次机会，若命中，也可通过面试.已知小明三分线外投篮命中的概率为，在罚球点处投篮命中的概率为，且每次投篮是相互独立的，则其通过面试的概率为( )
A.B.C.D.
5．展开式中的常数项为( )
A.6B.18C.D.
6．( )
A.B.4C.D.2
7．若制作一个容积为32的无盖正四棱柱容器（不考虑材料的厚度），要使所用材料最省，其底面边长为( )（）
A.2B.C.D.4
8．已知甲、乙两袋中装有大小相同、材质均匀的球，各袋中每个球被取出的概率相等.甲袋中有2个红球和4个蓝球，乙袋中有4个红球和4个蓝球，现从两袋中各取一个球，恰好一红一蓝，则其中红球来自与甲袋的概率为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．某地生产的甲、乙两类水果的质量X,Y（单位：kg）分别服从正态分布，，它们的正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是( )
A.B.
C.D.
10．某中学为了调查学生热爱阅读是否与学生的性别有关，从1200名女生和1500名男生中通过分层抽样的方式随机抽取180名学生进行问卷调查，将调查的结果得到等高堆积条形图如图所示，则
附：.
A.可以估计该校学生中热爱阅读的女生人数比男生多
B.用样本的频率估计总体概率，从该校学生中任选1人，其热爱阅读的概率为0.65
C.根据小概率值的独立性检验，可以认为学生是否热爱阅读与性别有关
D.根据小概率值的独立性检验，可以认为学生是否热爱阅读与性别无关
11．已知函数，当且仅当，取得最小值，则下列说法正确的有( )
A.的最大值为37
B.的最小值为
C.在处导数等于0
D.当x和y取遍所有实数时，则所能达到的最小值为4
三、填空题
12．已知离散型随机变量的分布列如下表，则均值________.
13．写出在处的切线方程为的一个二次函数________.
四、双空题
14．摆线，又称旋轮线、圆滚线，是最速降线问题的解.在数学中，摆线的定义为：一个圆沿一条直线滚动时，圆边界上一定点所形成的轨迹.已知一个半径为2的圆，沿着x轴转动，角速度为1，如图，为描述圆边界上从原点出发的点所形成的轨迹，写出其横坐标关于旋转时间的函数表达式________；其纵坐标关于旋转时间t的函数表达式________.
五、解答题
15．已知函数，的图象关于直线对称，且相邻两个零点的距离为.
（1）求ω和φ的值；
（2）若，，求的值.
（3）若，使得关于x的不等式成立，求实数m的取值范围.
16．某网上购物平台为了提高某商品的的销售业绩，对该商品近5个月的月销售单价x（单位：元）与月销量y（单位：个）之间的数据进行了统计，得到如下表数据：
（1）根据以往经验，y与x具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；
（2）若该商品的成本为140元/个，根据（1）中回归方程，求该商品月利润最大时的单价为多少元.（结果精确到1元）
参考公式：，.参考数据：，.
17．已知函数，.
（1）当时，求函数的极值；
（2）函数在区间上为单调函数，求a的取值范围.
18．如图，李明从家里出发到公司有两条主干道，在主干道Ⅰ有，两个易堵点，处出现堵车的概率为，且当出现堵车时，出现堵车的概率为；当不堵车时，出现堵车的概率为；主干道Ⅱ有，，三个易堵点，它们出现堵车的事件相互独立，且概率都是.
（1）若李明从家里出发到公司选择了主干道Ⅱ行驶，求其恰遇到一次堵车的概率；
（2）若李明选择了主干道Ⅰ行驶，求其遇到堵车的概率；
（3）已知李明从家里出发到公司，如遇堵车，主干道Ⅰ中每个易堵点平均拥堵为4分钟，主干道Ⅱ的每个易堵点需平均拥堵为3分钟.若按照“平均拥堵时间短的路线是较优出行路线”的标准，则李明从家里出发到公司走哪一条路线较好？
19．设集合，且P中至少有两个元素，若集合Q满足以下三个条件：
①，且Q中至少有两个元素；
②对于任意，当，都有；
③对于任意，若，则；
则称集合Q为集合P的“耦合集”.
（1）若集合，求集合的“耦合集”；
（2）集合，，，且，若集合存在“耦合集”.
（i）求证：对于任意，有；
（ii）求集合的“耦合集”的元素个数.
参考答案
1．答案：B
解析：因为，则，
所以.
故选：B.
2．答案：D
解析：由题意可知：为，.
故选：D.
3．答案：C
解析：由，得不出，
所以“”是“”的不充分条件，
又，得不出，
所以“”是“”的不必要条件，
所以“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：C.
4．答案：C
解析：记其通过面试为事件A，
若其未通过面试，则在三分线外投篮没有命中，且在罚球点处投篮也没有命中，则，所以.
故选：C.
5．答案：A
解析：由题意可知：展开式中的常数项为.
故选：A.
6．答案：B
解析：由题意可得：
，
即.
故选：B.
7．答案：A
解析：设容积为32的无盖正四棱柱容器底面边长x，则高为，
则容器的表面积为，
则，令，得，
当，，单调递减，
当，，单调递增，
所以当，取最小值，所以最小值为，
所以底面边长为，所用材料最省.
故选：A.
8．答案：B
解析：记“两袋中各取一个球，恰好一红一蓝”为事件A，
“从两袋中各取一个球，红球来自与甲袋”为事件B，
则,，
所以.
故选：B.
9．答案：AD
解析：对于A，根据正态曲线可知甲类水果的平均质量乙类水果的平均质量,，A正确；
对于B，根据正态曲线可知，甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右，所以，B错误；
对于C，D，根据正态曲线图像可知,所以，C错误，D正确；
故选：AD.
10．答案：AC
解析：由题意可知：抽取的女生人数为，抽取的男生人数为，
对于女生：热爱阅读的人数为，不热爱阅读的人数为；
对于男生：热爱阅读的人数为，不热爱阅读的人数为；
对于选项A：因为，所以可以估计该校学生中热爱阅读的女生人数比男生多，故A正确；
对于选项B：其热爱阅读的频率为，
用样本的频率估计总体概率，从该校学生中任选1人，其热爱阅读的概率为0.63，故B错误；
对于选项CD：根据题意可得列联表
零假设：学生是否热爱阅读与性别无关，
则，
根据根据小概率值的独立性检验，可知零假设不成立，
所以可以认为学生是否热爱阅读与性别有关，故C正确，D错误；
故选：AC.
11．答案：BC
解析：对于A：，
当时，最大值为49，故A错误；
对于B：，
当且仅当时取等号，故B正确；
对于C：因为函数，当且仅当，取得最小值，所以在处导数等于0，故C正确；
对于D：设，所以点的轨迹为直线，
令，则的轨迹方程为，
又表示点M与N的距离的平方，
又，
，故D错误.
故选：BC.
12．答案：0.3/
解析：由题意可得：，解得.
故答案为：0.3.
13．答案：（满足均可）.
解析：设二次函数，则，
由题意可得：，例如取，则.
故答案为：（满足均可）.
14．答案：；
解析：设标记点为A，圆心为C，作，，，如图所示：
旋转时间，则，，则，，
可得，，
所以，.
故答案为：；.
15．答案：（1），
（2）
（3）实数m的取值范围为
解析：（1）因为相邻两个零点的距离为，所以周期为，所以，所以，
所以，函数的图象关于直线对称，
所以，所以,，
所以,，又，所以；
（2）所认，，所以，
所以，因为，所以，
又，所以，
所以，
；
（3）因为，又，
则有，所以，
由，使得关于x的不等式成立，
所以，实数m的取值范围为.
16．答案：（1）；
（2）196
解析：（1）由表中数据求得：，，
则，
故y关于x的回归直线方程为.
（2）设每月的总利润，
因为抛物线的对称轴方程为，
所以该拖把月利润最大时，该商品的单价为196元.
17．答案：（1）函数有极小值，无极大值
（2）
解析：（1）若，则，
可知的定义域为，且，
令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
所以函数有极小值，无极大值.
（2）因为，且，
若函数在区间上为单调函数，则有：
当函数在区间上为单调递增函数，则，可得，
原题意等价于对任意恒成立，
可知在区间上为单调递增函数，
当时，取到最小值1，可得；
当函数在区间上为单调递减函数，则，可得，
原题意等价于对任意恒成立，
可知在区间上为单调递增函数，
当时，取到最大值6，可得；
综上所述：或，
所以a的取值范围为.
18．答案：（1）；
（2）；
（3）选择了主干道Ⅱ行驶较好
解析：（1）若李明选择了主干道Ⅱ行驶，设堵车次数为X，
由题意可知：，
所以其恰遇到一次堵车的概率.
（2）若李明选择了主干道Ⅰ行驶，设，堵车的事件分别为，，
可知，，，
则，，，
可得，，
，，
所以其遇到堵车的概率.
（3）若李明选择了主干道Ⅱ行驶，由（1）可知：，
所以平均拥堵时间为分钟；
若李明选择了主干道Ⅰ行驶，记堵车次数为Y，
由（2）可得：
，，，
则，
所以平均拥堵时间为分钟；
因为，所以选择了主干道Ⅱ行驶较好.
19．答案：（1）或或；
（2）（i）证明见详解；（ii）5
解析：（1）由已知条件②得：的可能元素为：6，8，10；
检验可知均满足条件③，所以，
检验可知：或也符合题意，
所以或或.
（2）（ⅰ）因为，，
由已知条件②得的可能元素为：，，，，，，
由条件③可知，且，
可得，
同理可得，，，，，
所以对于任意，有；
（ⅱ）因为，由（ⅰ）可知：，
则，即，
同理可得：，，则，，
又因为的可能元素为：，，，，，，
即，
假设还存在其他元素p，
因为，可知，，
由集合性质可知：或，
则或，
即或，假设不成立，
所以不存在其他元素p，所以共5个元素.
a
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
1
0
P
0.5
0.3
q
单价x/元
180
190
200
210
220
月销量y/个
57
52
42
32
27
性别
热爱阅读
合计
是
否
女生
64
16
80
男生
50
50
100
合计
114
66
180