江苏省南通市如东县、通州区、启东市、崇川区2024-2025学年高一上学期期末数学试题（解析版）

这是一份江苏省南通市如东县、通州区、启东市、崇川区2024-2025学年高一上学期期末数学试题（解析版），共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】根据交集含义知.
故选：C.
2. 已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由，可得或；
由可得且，
所以由不能推出，但由能推出，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
3. 式子的值为（ ）
A．B．10C．11D．12
【答案】C
【解析】.
故选：C.
4. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意得，所以.
故选：B.
5. 若将函数的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，再将图象向右平移个长度单位，则所得到的曲线的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】将函数的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，得，
再将图象向右平移个长度单位，得.
故选：A.
6. 设，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【解析】因为，
所以
.
故选：A.
7. 已知函数在上满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以，
因为，所以由图象可得，解得.
故选：D.
8. 若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为函数的值域为，
可知在内单调递减，则，解得，
可得当时，，即在内值域为，符合题意；
且在内不单调递减，
若在内单调递增，则，解得，
此时，符合题意；
若在内为常函数，则，解得，
此时，符合题意；
综上所述：实数的取值范围是．
故选：A．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列四个函数中，周期为，且在区间上单调递增的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【解析】对于A：当时，，所以，
但是在上单调递减，所以在上单调递减，故A错误；
对于B：函数的最小正周期，
当时，，又在上单调递增，
所以在上单调递增，故B正确；
对于C：函数的最小正周期且在上单调递增，故C正确；
对于D：函数的最小正周期，故D错误.
故选：BC.
10. 已知函数，则下列结论中正确的有（ ）
A．函数在区间上单调递增
B．直线是函数的一条对称轴
C．函数的图象关于点中心对称
D．若函数的图像关于轴对称，则正数的最小值为
【答案】BCD
【解析】对于A，由，得，得，
因为在上不单调，所以在上不单调，所以A错误；
对于B，因为，所以直线是函数的一条对称轴，所以B正确；
对于C，因为，所以函数的图象关于点中心对称，所以C正确；
对于D，因为，所以，
因为的图像关于轴对称，所以为偶函数，
所以，得，所以正数的最小值为，所以D正确.
故选：BCD.
11. 若函数是上的奇函数，且，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．
C．函数的最大值为1
D．若正实数满足，则的最小值为6
【答案】AC
【解析】奇函数满足，
则，比较分子得，解得，故A正确；
代入，得，解得，故，设，
则
，
因为，所以，，，
所以，所以在单调递增，
所以在时单调递增，
因为，所以，故，故B错误；
当时，，
因为，当且仅当，即时等号成立，
所以，当时，，，
因为，当且仅当，即时等号成立，
所以，所以最大值为，故C正确；
因为，所以，其中，
令，所以，所以，
所以，所以或，
当时，此时且，
因为，在单调递增，所以，
当且仅当，即，时等号成立，
当时，令，则，，所以，故D错误.
故选：AC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知幂函数经过点，则的值是 ．
【答案】
【解析】因为函数为幂函数，
所以，得，所以，
因为幂函数的图象过点，
所以，则，得，解得，
所以.
13. 已知，则 ．
【答案】
【解析】由，得
.
14. 对于任意实数，符号表示“不超过的最大整数”，如，则 ；若函数，则的值域为 ．
【答案】208
【解析】令，则，
令，则时，；时，；
时，；时，；时，，
所以
；
的定义域为，
因为，所以为偶函数，
所以，
当时，，
当且时，，
当且时，，
所以，
所以当时，，
当时，，
当时，，
所以的值域为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知全集，集合.
（1）当时，求；
（2）若“”是“”成立的必要不充分条件，求的取值范围．
解：（1）当时，，
由，得，所以，
所以，
所以．
（2）因为“”是“”成立的必要不充分条件，则“”是“”的充分不必要条件，
所以是的真子集，为的真子集．
因为，，所以，且等号不同时成立，
解得，
经检验，实数的取值范围是．
16. 已知不等式的解集为．
（1）求的值；
（2）若不等式对于均成立，求实数取值范围．
解：（1）由题意知，1和2是方程的两根，.
由韦达定理可得，解得.
（2）由（1）可知，则不等式对于均成立，
则当时，不等式恒成立；
当时，不等式对于均成立，
等价于，解得，
综上，可得．
17. 某企业拥有一台大功率的耗电设备，每天至少运行1小时，但不超过20小时．假设该设备每天运行小时，且每小时的平均耗电量千瓦与每天的运行时间满足如下函数关系：
（1）当时，若该设备每小时的平均耗电量不超过2千瓦，求的取值范围；
（2）求该设备一天的耗电总量的最小值及设备当天的运行时间．
解：（1）当时，，
由题意得，，
即，解得，
又，所以的取值范围为．
（2）由题意得，设设备一天的耗电总量为，
①当时，，
当且仅当，即时，等号成立；
②当时，，
当时取得最小值15；
因为，所以最小值为．
答：设备一天的耗电总量最小值为8千瓦，设备当天运行6小时．
18. 意大利著名画家达芬奇将两端固定的项链在重力的作用下自然下垂所形成的曲线称为“悬链线”．双曲余弦函数是一种特殊的悬链线函数，其相应的双曲正弦函数为，记函数．
（1）判断函数的奇偶性并予以证明；
（2）讨论函数的单调性；
（3）若对于任意的，不等式成立，求实数的取值范围．
解：（1）由题意得，为奇函数．
任意，都有，
，即为奇函数.
（2），
对于任意的，且，则：
，
因为在上单调递增，，
所以，所以，
即，所以在上单调递增.
（3）在上单调递增，，
，
令，即，
有，当时，等号成立，
综上，．
19. 已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且经过点．
（1）求函数的解析式；
（2）当，方程有解，求实数的取值范围；
（3）若方程在区间上恰有三个实数根，且，求的取值范围．
解：（1）设的最小正周期为，由题意得，得周期，
所以，得，
因为，所以，所以，
因为的图象过点，所以，得，
因为，所以，故．
（2），
即有解，
由，得，所以，所以，
所以，即．
（3），设，则，
由“方程在区间上恰有三个实数根”，
得“方程在区间上恰有三个实数根”，
则的图象如下：
即，
由图得，，，即，
综上．