2022-2023学年江苏省南通市崇川区高一上学期期末数学试题（解析版）

2022~2023学年（上）高一期末质量监测

数学

一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知角终边经过点，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据三角函数的定义计算即可.

【详解】因为角终边过点,所以,,,所以,

故选：D.

【点睛】本题考查三角函数的定义，是基础题.

2. 已知集合，则等于（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】分别求出集合，再根据交集的定义即可得解.

【详解】解：，

，

所以.

故选：A.

3. 若，则“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】结合三角函数性质，根据充分不必要条件的定义判断即可.

【详解】解：当，时，；

反之，当时，或，.

所以，“”是“”的充分不必要条件.

故选：A

4. 心理学家有时用函数测定在时间t（单位：min）内能够记忆的量L，其中A表示需要记忆的量，k表示记忆率．假设一个学生需要记忆的量为200个单词，此时L表示在时间t内该生能够记忆的单词个数．已知该生在5min内能够记忆20个单词，则k的值约为（，）

A. 0.021 B. 0.221 C. 0.461 D. 0.661

【答案】A

【解析】

【分析】由题意得出，再取对数得出k的值.

【详解】由题意可知，所以，解得

故选：A

5. 已知，则的值为（    ）

A. 3 B.  C. 2 D.

【答案】C

【解析】

【分析】结合同角三角函数的基本关系式，先求得，然后求得，进而求得.

【详解】由于，

所以，

两边乘以并化简得，

由于，所以解得，

所以，

所以.

故选：C

6. 将函数的图象向右平移个长度单位，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则的解析式为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据三角函数图象变换以及诱导公式求得正确答案.

【详解】函数的图象向右平移个长度单位得到，

再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到

.

故选：D

7. 已知函数的定义域为为偶函数，在上单调递增，则不等式的解集为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据函数为偶函数，可得函数关于对称，从而可得出函数在上单调递减，再根据函数得单调性解不等式即可.

【详解】解：因为函数为偶函数，

所以函数关于对称，则，

因为在上单调递增，

所以函数在上单调递减，

由不等式，

得或，解得或，

所以不等式的解集为.

故选：C.

8 设，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据基本不等式，结合指数函数的单调性、函数单调性的性质进行判断即可.

【详解】因为，且，

所以，即，

因为函数是单调递增函数，

所以函数是单调递增函数，

所以当时，有，

因为，

所以有，

由，

因为函数是单调递减函数，

所以函数是单调递减函数，

因为，所以，

因此，

故选：A

【点睛】关键点睛：根据等式的形式构造函数，利用指数函数的单调性是解题的关键.

二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 已知幂函数的图象经过点，则（    ）

A.

B. 的定义域为

C. 的值域为

D. 的解集为

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据幂函数的定义，结合幂函数的性质逐一判断即可.

【详解】设，因为的图象经过点，

所以，显然选项A不正确；

因为只有非负实数有算术平方根，所以定义域为，因此选项B正确；

因为，所以有，因此选项C正确；

由，所以选项D正确，

故选：BCD

10. 下列命题正确的是（    ）

A. 若，则

B. 若，则

C. 若，则

D. 若，则

【答案】AC

【解析】

【分析】根据不等式得性质即可判断ABC，再利用作差法即可判断D.

【详解】解：对于A，若，则，故A正确；

对于B，当时，，

若，则，故B错误；

对于C，若，则，故C正确；

对于D，，

当时，，此时，故D错误.

故选：AC.

11. 关于的不等式的解集可能是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】分类讨论的值，再按照二次不等式求解集可.

【详解】解：当时，则，

当时，则，

①若时，则，

②若时，则，

③若时，则，

当时，则，故或

综上，当，不等式的解集为，

当时，不等式的解集为，

当时，不等式的解集为，

当时，不等式的解集为，

当时，不等式的解集为，

故选：ACD．

12. 对于任意两个正数，记曲线与直线轴围成的曲边梯形的面积为，并约定和，德国数学家莱布尼茨（Leibniz）最早发现．关于，下列说法正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据所给新定义运算即可判断AB，取特殊值判断C，根据曲边梯形与梯形面积大小判断D.

【详解】由题意，所以，

当时，，

当时，，

当时，，

当或时，也成立，

综上，，

对A，，，即，故A正确；

对B，，而，所以，故B正确；

对C，取，则，故C错误；

对D，如图，

因为，所以，

即，故D正确.

故选：ABD

三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知扇形的周长为6，圆心角为，则该扇形的面积为__________．

【答案】

【解析】

【分析】设扇形的弧长为，半径为，然后根据已知建立方程求出，，进而可以求解．

【详解】解：设扇形的弧长为，半径为，

则，且，则，，

所以扇形面积为.

故答案为：．

14. 已知函数若，则的值为__________．

【答案】或

【解析】

【分析】利用换元法，结合函数的解析式进行代入求解即可.

【详解】令，即.

当时，，即，

当时，，符合题意；

当时，，符合题意；

当时，，不符合题意，

故答案为：或

15. 已知，且，则的值为__________．

【答案】##

【解析】

【分析】由，结合已知即可求解．

【详解】解：且，

，

，

则．

故答案为：．

16. 设函数，则在上的最小值为__________；若的定义域与值域都是，则__________．

【答案】    ①.     ②. 或或

【解析】

【分析】将表示为分段函数的形式，画出的图象，结合二次函数的知识求得在上的最小值.对进行分类讨论，根据定义域与值域都是列式，化简求得.

【详解】

，

画出的图象如下图所示，结合图象以及二次函数的性质可知：

在上的最小值为.

依题意，的定义域与值域都是，

（1）当时，在上递减，

所以，

即，两式相减并整理得.

（2）当时，在上的最小值为，

因为的值域为，所以与矛盾.

（3）当时，在递增，，

所以，，两式相减并整理得与矛盾.

（4）当时，在的最大值为，

所以，区间为，所以的最小值为，

所以，所以.

（5）当时，在递减，，

，两式相减并整理得，与矛盾.

（6）当，递减，，

，两式相减并整理得与矛盾.

（7）当时，在的最小值为，

所以，，

所以的最大值为，解得（负根舍去），

所以.

（8）当时，在递增，，

所以，由于，所以，与矛盾.

综上所述，的值为或或.

故答案为：；或或

【点睛】本题的难点有两个，一个是是含有绝对值的函数，在处理时，利用零点分段法去绝对值，将表示为分段函数的形式，由此可画出的图象并研究其性质.第二个难点在于在上的值域为，解决的办法是分类讨论.

四､解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步聚．

17. 求值：

（1）；．

（2）．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据指数运算求得正确答案.

（2）根据对数运算求得正确答案.

【小问1详解】

【小问2详解】

.

18. 已知，．

（1）若，求；

（2）从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并进行解答．

问题：若__________，求实数的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）解不等式可分别求得集合，由补集和交集定义可求得结果；

（2）根据条件中的交集、并集结果都可以确定，分别在、和的情况下，根据包含关系可构造不等式求得结果.

【小问1详解】

由得：，即；

当时，由得：，即，，

.

【小问2详解】

由（1）知：；

若选条件①，，

若，则，即；

当时，，不合题意；

当时，，则，解得：；

当时，，则，解得：（舍）；

综上所述：实数的取值范围为；

若选条件②，，；

当时，，不合题意；

当时，，则，解得：；

当时，，则，解得：（舍）；

综上所述：实数的取值范围为；

若选条件③，，；

当时，，不合题意；

当时，，则，解得：；

当时，，则，解得：（舍）；

综上所述：实数的取值范围为.

19. 求解下列问题：

（1）已知，求的值．

（2）已知，求的值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用诱导公式和同角三角函数的基本关系式求得正确答案.

（2）求得，从而求得正确答案.

【小问1详解】

.

【小问2详解】

由两边平方得，

由于，所以，

所以

，

所以.

20. 已知函数．

（1）求函数的最小正周期､图象的对称中心及其单调减区间；

（2）求函数在上的最值及其对应的的值．

【答案】（1）答案见解析   

（2）当或时，函数有最小值为，当时，函数有最大值为.

【解析】

【分析】（1）根据正弦函数的性质求解即可；

（2）根据三角函数在给定区间上的最值分布求解即可.

【小问1详解】

最小正周期为,

由解得，

所以对称中心为，

由，解得，

所以函数的减区间为，

【小问2详解】

因为，所以，

所以，

所以当或，即或时，

函数有最小值，

当，即时，

函数有最大值为.

21. 已知函数是奇函数．

（1）求实数的值；

（2）已知不等式对任意都成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据函数的奇偶性求得正确答案.

（2）根据的单调性化简不等式，对进行分类讨论，结合二次函数的性质求得的取值范围.

【小问1详解】

依题意可知是定义在上的奇函数，

所以.经检验满足题意.

【小问2详解】

由（1）得，由于，所以在上单调递减，

，

所以不等式对任意都成立，

所以对任意都成立，

对任意都成立，

当时，，不符合，

当时，，

由解得；由解得或

当时，要使对任意都成立，

则需，此不等式组无解.

当，函数的开口向上，对称轴，

要使对任意都成立，

则需或，

解得或，

综上所述，的取值范围是.

【点睛】根据函数的奇偶性求参数，如果函数是奇函数，可以用来求解，如果函数是定义在上的奇函数，则可用来求解.如果函数是偶函数，可以用来求解.一元二次不等式在某区间上恒成立问题，要注意对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏.

22. 已知指数函数满足．

（1）求的解析式；

（2）设函数，若方程有4个不相等的实数解．

（i）求实数的取值范围；

（i i）证明：．

【答案】（1）   

（2）（i）；（i i）证明详见解析

【解析】

【分析】（1）根据指数函数的知识求得的解析式.

（2）利用换元法，结合指数函数二次函数的性质以及基本不等式求得的取值范围.结合图象、对称性以及放缩法证得.

【小问1详解】

设（且），

由于，所以，

由于且，所以解得，

所以.

【小问2详解】

（i），

方程有4个不相等的实数解．

即①有4个不相等的实数解．

令，则，

，

当且仅当时等号成立.

所以①化为②，

对于函数，，

所以是偶函数，图象关于轴对称，

当时，令，，，

任取，，

其中，

，所以在上递增，

根据复合函数单调性同增异减可知在上递增；

由于是偶函数，所以在上递减.

所以的最小值是.

所以方程②在上有两个不同的实数根，

所以，解得，

所以的取值范围是.

（i i）由于是偶函数，图象关于轴对称，

所以不妨设，

所以要证明，

即证明，即证明.

设方程②的两个不同的实数根为，则，

，

由整理得，

解得（对应，所以舍去），

所以，

则，

，

由于，

所以，

即，所以．

【点睛】本题的主要难点有两个，一个是根据方程的根的个数求参数的取值范围，涉及到了二次函数的性质、指数型复合函数以及函数的奇偶性.第二个难点是不等式的证明，首先根据奇偶性将所证明的不等式简化，然后通过解复杂的指数方程，再结合基本不等式、放缩法等知识来证得结论成立.基本不等式的变形：，右侧部分还可变形为.