2022-2023学年江苏省南通市如皋市高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省南通市如皋市高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合且，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】直接根据集合的定义得到答案.

【详解】，， 且.

故选：C

2．已知扇形的圆心角为，半径为，弧长为，面积为，有下列四个命题：甲：，乙：，丙：，丁：.若这四个命题中有且只有一个是假命题，则该假命题为（    ）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

【答案】B

【分析】根据面积公式和弧长公式得到甲丁是真命题，确定乙是假命题，得到答案.

【详解】，故乙丙丁有一个是假命题，故甲是真命题；

，故甲乙丙有一个假命题，故丁是真命题；

，故甲乙丁有一个假命题，故乙是假命题.

故选：B

3．的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】使用换底公式及对数运算性质求解.

【详解】

故选：C

4．已知函数则方程的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】考虑和两种情况，代入解方程得到答案.

【详解】当时，，故，解得或（舍去）；

当时，，故，解得或（舍去）.

综上所述：或.

故选：B

5．若，则下列命题不一定正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】D

【分析】根据不等式的性质一一判断即可求解.

【详解】对于A, 因为,所以,故A一定正确;

对于B,因为 ,所以,所以,故B一定正确;

对于C, 因为,所以,

所以,所以,故C一定正确;

对于D,因为,所以,所以,

所以,

若则不等式成立,

但若,则,

故D不一定成立.

故选:D.

6．关于的方程在上有两个不相等的实根，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据二次函数零点的分布列不等式组求解.

【详解】令，要满足在上有两个不相等的实根，则

，解得

故选：D

7．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解.例如，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.年月日，日本东北部海域发生里氏级地震，它所释放出来的能量是2013年4月20日在四川省雅安市芦山县发生7.0级地震级地震的（    ）倍.

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据给定条件，利用对数运算性质计算作答.

【详解】令日本东北部海域发生里氏级地震释放出来的能量为，芦山县发生7.0级地震释放出来的能量为，

则有，即，

所以所求结果为倍.

故选：A

8．已知定义在的函数是奇函数，且对任意两个不相等的实数，都有.则满足的的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据函数为奇函数得到，确定函数的定义域和单调性，将不等式转化为，根据函数的单调性结合定义域得到答案.

【详解】时，，

是奇函数，故，

函数关于点中心对称，取得到得到.

，故，

故函数在上单调递减，根据中心对称知函数在上单调递减.

，即，

故，故，解得；

考虑定义域：，解得.

综上所述：

故选：B

二、多选题

9．已知与是终边相同的角，且，那么可能是第（    ）象限角.

A．一 B．二 C．三 D．四

【答案】BD

【分析】确定，考虑的奇偶两种情况，分别计算得到答案.

【详解】与是终边相同的角，且，故，

故，

当时，，是第四象限角；

当时，，是第二象限角.

综上所述：可能是第二或四象限角.

故选：BD

10．已知，，且，则下列结论正确的是（    ）

A． B．的最小值为16

C．​的最小值为8 D．​的最小值为2

【答案】ABD

【分析】变换得到，得到A正确，利用均值不等式得到B正确，变换得到，展开利用均值不等式得到C错误，消元结合均值不等式得到D正确，得到答案.

【详解】，即，，故，A正确；

，解得，当，即，时等号成立，B正确；

，当，即，时等号成立，C错误；

，故，，当，即，时等号成立，D正确.

故选：ABD

11．函数与函数在同一坐标系中的图象可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AB

【分析】确定函数的平移方向，考虑和两种情况，对比选项得到答案.

【详解】，函数是由向上平移个单位，向左平移个单位.

根据图像知，

当时，AC满足一次函数图像，C不满足反比例函数图像；

当时，BD 满足一次函数图像，D不满足反比例函数图像；

故选：AB

12．已知函数若方程有四个不等实根.下列说法正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【分析】确定函数解析式，画出函数图像，根据函数得到，化简得到A正确，根据图像知B正确，利用均值不等式得到C错误，计算得到D正确，得到答案.

【详解】当时，，，

画出函数图像，如图所示：

根据图像知：，即，，A正确；

 ，B正确；

，，，即，

即，展开得到，

解得，由于，等号不成立，故C错误；

，故，，D正确.

故选：ABD

三、填空题

13．已知集合，则___________.

【答案】

【分析】计算得到，，再计算交集得到答案.

【详解】，，

故.

故答案为：

14．已知幂函数的图象经过点，则该函数的单调区间为___________.

【答案】，

【分析】根据幂函数的定义，结合代入法进行求解即可.

【详解】设幂函数的解析式为，

因为幂函数的图象经过点，

所以有，

因此该函数的单调区间为，，

故答案为：，

15．已知，，，则，，由小到大的顺序为___________.

【答案】

【分析】根据得到，计算，得到大小关系.

【详解】，故，，，

即.

故答案为：

16．已知函数的最小值为，则实数的取值范围为___________.

【答案】

【分析】根据基本不等式，结合二次函数的单调性进行求解即可.

【详解】当时，，当且仅当时取等号，即取等号；此时函数的最小值为；

当时，，

当时，，

要想函数的最小值为，只需，而，所以；

当时，，显然，符合题意，

综上所述：实数的取值范围为，

故答案为：

【点睛】关键点睛：利用二次函数的性质分类讨论是解题的关键.

四、解答题

17．化简：

(1)；

(2).

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据指数幂的运算法则，化简得到答案.

（2）根据指数和对数的运算法则，计算得到答案.

【详解】（1），则，故.

（2）.

18．已知集合，集合.

(1)当时，求；

(2)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据指数函数的单调性、绝对值的性质，结合集合交集的运算性质进行求解即可；

（2）根据充分条件的定义，结合集合子集的性质进行求解即可.

【详解】（1）由，所以

当时，，或，所以或

所以；

（2）因为若是的充分条件，所以.

当时，，符合题意；

当时，或，

因为，所以，解得.

综上实数a的取值范围是.

19．已知二次函数，，只能同时满足下列三个条件中的两个：①的解集为；②的最小值为；③在区间上是增函数.

(1)请写出满足题意的两个条件的序号，并求，，的值；

(2)求关于的不等式的解集.

【答案】(1)① ②，，，

(2)答案见解析

【分析】（1）条件① ②需要满足，条件③需要满足，故选① ②，确定，计算最小值得到答案.

（2）化简得到，考虑，和三种情况，解不等式得到答案.

【详解】（1）条件①②需要满足，条件③需要满足，故选①②

设，，

因为，解得，

，，.

（2），，

化简得，

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；.

当时，不等式的解集为.

20．已知函数.

(1)证明：是奇函数；

(2)若不等式成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）利用换元法，结合奇函数的定义进行证明即可；

（2）利用奇函数的性质，结合数形结合思想进行求解即可.

【详解】（1）令，则.

所以

的定义域为R，关于原点对称，

.

所以是奇函数；

（2）因为不等式，且是奇函数.

所以.

，

图象如下：

①当，即时，则有，解得；

②当时，即时，则有，

解得；.

③当，即时，不成立，

综上，的取值范围是.

21．已知奇函数和偶函数的定义域均为，且.

(1)证明：函数在上单调递增；

(2)求函数在区间上的最大值.

【答案】(1)证明见解析

(2)答案见解析

【分析】(1)根据函数的奇偶性结合已知条件建立方程组即可求的解析式，再利用函数单调性的定义即可证明； (2)根据的单调性和奇偶性分类讨论即可求解.

【详解】（1）因为，①

所以.②

因为奇函数和偶函数，

所以.③

②+③得，.

设任意，且，

因为，所以，，

所以，所以函数在上的单调递增.

（2）因为是偶函数，且在上的单调递增，

所以在上的单调递减.

①当即时，

在上的最大值为；

②当即时，

在上的最大值为.

22．已知，函数.

(1)若，且对任意，任意，恒有，求的取值范围；

(2)若关于的方程的解集是单元素集，求的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）由题意得在上的最大值与最小值之差小于等于1，时，在上单调递增，

即对任意恒成立，即对任意恒成立，求在给定区间的最大值即可

（2）由题意得只有一解，即在上有且只有一解，利用即可求出答案.

【详解】（1）因为对任意，任意，恒有，

所以在上的最大值与最小值之差小于等于1.

时，在上单调递增，

所以对任意恒成立，

即对任意恒成立，

所以对任意恒成立，

因为在上的最大值为，

所以的取值范围是.

（2）因为若关于的方程的解集中是单元素集，

所以只有一解，

即在上有且只有一解，

①当时即时，，，舍去；

②当时即时，

解得，

综上，的取值范围是.