江西省宜春市高安市2024年中考模拟数学试题（解析版）

这是一份江西省宜春市高安市2024年中考模拟数学试题（解析版），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列各数中，最小的数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，
∵，∴最小的数是，
故选：A．
2. 2024年3月30-31日，高安市巴夫洛生态谷举行了“春风作伴放纸鸢”大型风筝放飞活动．以下风筝图案中，不是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A、是轴对称图形，故选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故选项符合题意；
C、是轴对称图形，故选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故选项不符合题意；
故选：B．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A、，故错误，不符合题意；
B、，故错误，不符合题意；
C、，故错误，不符合题意；
D、，故正确，符合题意；
故选：D．
4. 探照灯，汽车灯以及其它很多灯具都与抛物线形状有关，如图所示是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于O点的灯泡发出的两束光线、经灯碗反射以后平行射出．如果图中，，则的度数为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题意得，过点向左作射线，使，则，
，，即．
故选：B．
5. 计算的结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】原式，
故选：A．
6. 小明根据已有的函数学习经验，利用绘图软件绘制了函数的图象如图所示，以下判断错误的是（ ）
A. B. 图象与直线无交点
C. 图象关于点成中心对称D. 当时，y随x的增大而减小
【答案】D
【解析】由函数图象可知，，
所以选项不符合题意．
因为，即，
所以函数图象与直线无交点．
所以B选项不符合题意．
因为，
所以函数的图象可由函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到．
因为函数的图象关于点成中心对称，
所以函数的图象关于点成中心对称．
故选项不符合题意．
由函数图象及上述过程可知，
当时，随的增大而减小，
当时，随的增大而减小，
所以选项符合题意．
故选∶．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 为认真贯彻党中央国务院关于把恢复和扩大消费摆在优先位置的决策部署，全面落实“江西消费促进年”工作要求，高安市将从2024年5月1日起拟发放汽车购车补贴共100万元，以进一步激发乘用车消费潜力．数据100万用科学记数法表示为______．
【答案】
【解析】，
故答案为：．
8. 写出一个使式子有意义的的值：______．
【答案】2（答案不唯一）
【解析】若有意义，则有，解得．
故答案为：2（答案不唯一）．
9. 一元二次方程的两根分别为，，则______．
【答案】
【解析】∵一元二次方程两根分别为，，
∴，
∴，
故答案为：.
10. 如图，平行四边形中，平分交于点E，若，，则______．

【答案】2
【解析】∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：2．
11. 如图，一把直尺的一边与含角的直角三角尺的斜边重合，另一边分别交，于点M，N，若点M，N在直尺上的读数分别为，，且，，，则直尺的宽为______cm．
【答案】
【解析】过作交于，如图所示，
由题意可知，，
，，
，
，
，
又 ，
，
，，，
，
，
，
，，，
，
故答案为：．
12. 正方形的边长为4，E为边上一点，且，M为正方形的边或对角线上一点，连接，交于点F，当时，的长为______．
【答案】或或
【解析】∵四边形为正方形，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
当M在上时，连接，如图所示：
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴；
当M在上时，如图所示：
∵，，∴，
∴，∵，
∴，∴，∴，
∴，∴；
当M在上时，过点M作，交于点Q，如图所示：
则，
∵正方形，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
解得：；
综上分析可知：或或．
故答案为：或或．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. （1）计算：；
（2）如图，矩形中，，，以点D为圆心，为半径画弧，交边于点E，连接，求的长．
解：（1）原式；
（2）∵四边形是矩形，
∴，，，
由作图语句可知，，
∴在中，，
∴，
∴在中，．
14. 以下是甲乙两位同学解不等式过程：
甲解：……①
……②
……③
……④
乙解：……①
……②
……③
……④
（1）甲乙解中步骤①的依据都是（ ）
A．等式的基本性质 B．不等式的基本性质 C．分式的基本性质
（2）甲解在第______步开始出错，乙解在第______步开始出错；
（3）请你正确求解这个不等式．
解：（1）甲乙解中步骤①的依据都是不等式的基本性质．
故选：B；
（2）甲解在第①步开始出错，乙解在第②步开始出错．
故答案为：①，②；
（3），
去分母，可得 ，
去括号，可得 ，
移项、合并同类项，可得 ，
系数化为1，可得 ．
15. 年4月日是第个世界读书日，主题是“阅读改变未来”．人间最美四“阅”天，恰是读书好时节，我市某校开展了“书香为伴，阅见美好”主题活动，包括A创意书签我来做，B荐书海报我来绘，C古诗词集我来诵，D书香伴我成长等活动．
（1）若小明选择报名参加A，B，C，D中的一项活动，则他选中C的概率为______；
（2）若小华和小明各自从A，B，C，D中选择参加一项活动，用列表法或画树状图法求一人选中A一人选中C的概率．
解：（1）小明选择报名参加A，B，C，D中的一项活动，则他选中C的概率为：．
故答案为：．
（2）画树状图如下：
由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中一人选中A一人选中C的结果有2种，
故一人选中A一人选中C的概率为：．
16. 如图，在的正方形网格中，小正方形的顶点叫做格点．已知A，B两点是格点，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹，不写画法）．
（1）如图1，以线段为边长作菱形；
（2）如图2，点C为格点，D为线段上一点，在线段上作一点P，使的周长最小．
解：（1）如图，菱形即为所求；
或
由图和勾股定理知：，
∴四边形为菱形；
（2）如图，点即为所求；
∵，
∴当三点共线时，的周长最小，
故点即为所求；
17. 【阅读材料】我们知道可以写成小数形式为，反过来，无限循环小数可以转化成分数形式．方法如下：设，由可知：，所以，解方程得，所以；
【类比探究】再以无限循环小数为例，做进一步的讨论：无限循环小数，它的循环节有两位，类比上面的讨论可以想到如下做法：
设，由可知，，所以，解方程得，于是得；
【解决问题】
（1）把下列无限循环小数写成分数形式：
______，②______；
（2）把无限循环小数写化成分数形式，写出过程；
（3）若，则______．
解：（1）①设，
由可知：，
所以，解得，
故答案为：；
②设，
由可知：，
所以，解得，
故答案为：；
（2）设，由可知：，
所以，
解得，
即；
（3）∵，
∴扩大1000倍可得，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 2024年4月26日5时04分，在轨执行任务的神舟十七号航天员乘组顺利打开舱门，欢迎远道而来的神舟十八号航天员乘组入驻“天宫”．4月24日是中国航天日，某校开展了“逐梦太空”航空航天知识问答系列活动．为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取了20名学生的成绩进行统计分析（6分及6分以上为合格：9分及9分以上为优秀），绘制了如下统计图表：
学生成绩统计表
根据上述信息，解答下列问题：
（1）学生成绩统计表中______，______，______；
（2）求七年级学生成绩的平均数m；
（3）根据以上数据，你认为该校七年级和八年级中，哪个年级的学生对航天航空知识掌握更好？并说明理由．
解：（1）由统计图可知，七年级中8分出现的次数最多，故众数；
把八年级20名学生的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为7，8，
故中位数（分）；七年级合格率．
（2）七年级学生成绩的平均数
（分）；
（3）七年级的学生对航天航空知识掌握更好，理由如下：
因为两个年级的平均数相同，但七年级的中位数和众数均高于八年级，所以七年级的学生对航天航空知识掌握更好．
19. 如图，菱形的顶点O为原点，点C在y轴上，点A坐标为，反比例函数的图象经过点B．
（1）求k的值和直线的解析式；
（2）将直线沿y轴平移m个单位，当直线与反比例函数的图象只有一个交点时，求m的值．
解：（1）∵点A为，∴，
∵四边形是菱形，∴，，
∴点B为，点C为，
∵反比例函数的图象经过点，
∴，∴，
设直线的解析式为，
把点，点代入得，解得，
∴直线的解析式为；
（2）设平移后的直线的解析式为，
由得，
当直线与反比例函数的图象只有一个交点时，
，即，解得，．
20. 如图，中，为直径，点为 的中点，过点作的延长线于点．
（1）求证：为的切线；
（2）若，，求的半径长．
（1）证明：连接，，如图1所示：
为的直径，
，
，
，
∴，
点为的中点，
，
，
又为的半径，
为的切线；
（2）解：连接，，过点作于，如图2所示：
设的半径为，
由（1）可知：，
又，，
四边形为矩形，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
的半径为5．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. “彼此让一让，路宽心更宽”，斑马线前礼让行人是城市文明的一种具体体现，也是司机理应履行的一项法定义务，我市在锦惠路人民医院等路段设立了“礼让行人”交通标识．某数学小组在老师的指导下对某路口的交通情况进行了如下探究．
问题情景：如图，某无红绿灯的路口有一行人从点处出发，通过斑马线时，正好有一辆位于车道中间的小汽车从点（小汽车前沿中点）沿该车道中间直线匀速朝斑马线驶去．已知行人的速度是，小汽车的速度为，每个车道宽，双向车道中间有宽的隔离带．若小汽车与行人通过同一路口的时间差在内（不包含），则存在交通安全隐患，此时要求小汽车“礼让行人”．
问题思考与解决：
（1）若，
①计算此时小汽车到斑马线的距离；
②若在点时小汽车司机发现行人后，立即减速慢行，结果在行人到达点时，小汽车前沿离行人还有，此时司机停车“礼让行人”，求小汽车在这一段的平均速度．
（2）若小汽车刚好不需要“礼让行人”，求的度数．
（参考数据：，，）
解：（1）①由题可知：，，，
在中，，即，
∴；
②设小汽车在这一段的平均速度为，
由题意得：，解得：，
经检验：是该分式方程的解且符合题意，
∴小汽车在这一段的平均速度为；
（2）设，，
由题意得：或，
解得：或，
在中，或，
又∵，，
∴的度数为或．
22. 【课本再现】“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是直角三角形的一条重要性质定理．如图1，在中，，点D是的中点．求证：．
下面是两位同学两种添加辅助线的方法：
小明：如图2，延长至点E，使，连接；
小华：如图3，取的中点E，连接；
（1）请你选择其中一位同学的方法完成证明，聪明的你也可以利用图1用其他方法完成证明．
【迁移应用】（2）如图4，中，是高，求证：B，C，D，E四点共圆．
【拓展提升】（3）如图5，在五边形中，，，F为的中点，求证：．
（1）解：若选择小明的方法：如图2，延长至点E，使，连接，
又∵点D是的中点，即，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴；
若选择小华的方法：如图3，取的中点E，连接，
又∵点D是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴．
其他方法：如图1，分别取的中点E，的中点F，连接，
又∵点D是的中点，
∴是的中位线，
∴，，，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形是矩形，∴，
又∵，∴，
（2）证明：如图4，取边的中点O，连接，
∵是的高，
∴，
又∵O是边的中点，
∴，，
∴，
∴B，C，D，E四点在以点O为圆心，为直径的同一个圆上．
（3）解：如图，取的中点M，的中点N，连接．
∵，
∴根据直角三角形斜边上中线的性质及中位线的性质，
可得：，，，，
∴．
∵，∴，
∴．
同理可证．
又∵，∴
∴，即，
∴（），
∴．
六、（本大题共1小题，共12分）
23. 如图，和中，，，点在上，连接．
（1）①求证：；
②判断线段与有何数量关系和位置关系？并说明理由；
（2）当点在边上滑动时，设，和的面积分别为，，其中关于的函数图象如图所示．
①直接写出关于的函数解析式：______；
②求出关于的函数解析式，并求出的最小值；
③当时，______．
（1）①证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴即，
∴；
②解：且，理由如下：
∵在中，，，
∴
由①得
∴， ，
∴，，
∴；
（2）解：①由图可得，
∵，
∴，，
∵，
∴，
②∵，，， ，
∴，
∴在中，，
在中，，
，
，
，
∴当时，有最小值为；
③当时，有，
解得或，
故答案为：或．七年级
八年级
平均数
m
7.55
中位数
8
b
众数
a
7
合格率
c
85%