2023年江西省宜春市高安市中考数学二模试卷（含解析）

2023年江西省宜春市高安市中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在、、、这四个数中，最大的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  年月日，高安市在上湖乡举办第三届辣椒文化节，此次活动通过特色非遗节目表演、品牌发布会、特产展销等形式，展示高安辣椒特色文化目前，高安市已投资亿元建成亩高标准大棚种植辣椒数据亿用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  高安市的元青花博物馆是元青花收藏数量国内第一、世界第三的博物馆下列瓷器图形中，主视图和左视图一样的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  如图，将一枚跳棋放在七边形的顶点处，按顺时针方向移动这枚跳棋次移动规则是：第次移动个顶点如第一次移动个顶点，跳棋停留在处，第二次移动个顶点，跳棋停留在处按这样的规则，在这次移动中，跳棋不可能停留的顶点是(    )

A. C、 B. E、 C. C、、 D. C、、

6.  已知关于的函数关系式是，下列结论正确的是(    )

A. 若，函数的最小值为
B. 若，当一时，随的增大而减小
C. 不论为何值时，函数图象与轴都有两个交点
D. 不论为何值时，函数图象一定经过点和

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

7.  若分式的值等于，则的值是______ ．

8.  实验学校举行“预防溺水，从我做起”演讲比赛，位评委给选手甲的评分如下：，，，，，，，则这组数据的中位数是______ ．

9.  已知、是一元二次方程的两个根，则的值为______ ．

10.  将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则的度数为______ ．

11.  七巧板是我们祖先的一项伟大创造，被誉为“东方魔板”在一次“美术制作”活动课上，小明用边长为的正方形纸片制作了如图所示的七巧板，并设计了一幅作品“我跑步，我快乐”创作画如图，则创作画中阴影部分的面积是______ ．

12.  如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，过点作射线轴，直线交线段于点，与轴交于点，是射线上一点当恰好是等腰直角三角形时，则符合条件的的值为______ ．

三、解答题（本大题共12小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

13.  本小题分
计算：．

14.  本小题分
如图，，，直线与，的延长线分别交于点，，求证：．

15.  本小题分
解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．

 

16.  本小题分
为了响应国家有关开展中小学生“课后服务”的政策，阳光学校课后开设了：课后作业辅导，：书法，：阅读，：绘画，：器乐等五门课程供学生选择，其中为必选课程，再从，，，中任选两门课程．
若学生欢欢第一次选一门课程，直接写出欢欢选中课程的概率；
若学生小强和小华在选择课程的过程中，第一次都是选了课程，请用列表或画树状图的方法求他俩第二次同时选择绘画的概率．

17.  本小题分
如图，在矩形中，，分别是，的中点请仅用无刻度的直尺按下列要求作图．

在图中，作出的边上的中线；
在图中，以为边作一个菱形．

18.  本小题分
高安腐竹始于唐代，距今已有多年的历史“五一”期间，高安市对、两种品牌的腐竹举行展销活动若购买箱品牌腐竹和箱品牌腐竹共需要元，购买箱品牌腐竹和箱品牌腐竹则需要元．
求、品牌腐竹每箱售价各为多少元？
小王计划购买、两种品牌腐竹共箱，预算总费用不超过元，则品牌腐竹最多能购买多少箱？

19.  本小题分
如图，平行于轴的直尺部分与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于、两点，连接，点、对应直尺上的刻度分别为、，直尺的宽度，设直线的解析式为．
请结合图象，直接写出：
点的坐标是______；
不等式的解集是______；
求直线的解析式．

20.  本小题分
为进一步开展“睡眠管理”工作，某校对部分学生的睡眠情况进行了问卷调查．设每名学生平均每天的睡眠时间为小时，其中的分组情况是：
组：
组：
组：
组：
组：
根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：
本次共调查了______名学生；
补全条形统计图；
在扇形统计图中，求组所对应的扇形圆心角的度数；
若该校有名学生，请估计该校睡眠时间不足小时的学生有多少人？

 

21.  本小题分
如图，高安“瑞州府衙公园”作为国内首创的古今辉映、感悟历史、体验休闲的“开放式府衙公园”，公园内大门上常悬挂着巨大的牌匾图是其中一个牌匾的截面示意图，线段表示挂在墙上的牌匾，某数学小组经过测量得到米，，从水平面点处观测点的仰角，从处沿方向走步到达点处，从点处观测点的仰角，已知观测学生的步长约为米．
求点到的距离；
求牌匾悬挂高度的长参考数据：，，

22.  本小题分
如图，在中，，是的角平分线，以为圆心，为半径作与直线交于、两点．
求证：是的切线；
求证：；
若，，求的半径．

23.  本小题分
如图，已知二次函数的图象经过，两点．
求此二次函数的解析式；
设二次函数的图象与轴的另一个交点为，它的顶点为，连接，，，请你判断与是否相似，并说明理由；
当时，求此二次函数的最大值和最小值．

24.  本小题分
【问题探索】
如图，和都是等边三角形，连接，求证：．
【类比发现】
如图，和都是等腰直角三角形，连接，请你判断与的数量关系，并证明你结论．
【拓展提升】
如图，和都是直角三角形，，且连接，．
求的值；
延长交于点，交于点求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：负数小于正数，
是这四个数中最小的数，
，
，
四个数中最大的数为，
故选：．
根据实数大小比较的方法解答即可．
本题考查了实数的大小比较，掌握实数大小比较的方法是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：亿．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，故此选项错误；
B、，故此选项正确；
C、，故此选项错误；
D、，故此选项错误．
故选：．
直接利用同底数幂的乘法，积的乘方运算法则，完全平方公式以及幂的乘方运算法则分别计算得出答案．
此题主要考查了同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，完全平方公式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：主视图和左视图不相同，故本选项不合题意；
B.主视图和左视图不相同，故本选项不合题意；
C.主视图和左视图不相同，故本选项不合题意；
D.主视图和左视图相同，故本选项符合题意；
故选：．
根据各个几何体的主视图和左视图进行判定即可．
本题考查简单组合体的三视图，掌握各种几何体的三视图的形状是正确判断的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：设顶点，，，，，，分别是第，，，，，，格，
因棋子移动了次后走过的总格数是，应停在第格，
这时是整数，且使，分别取，，，，，，时，
，，，，，，，发现第，，格没有停棋，
若，
设为正整数代入可得，，这时是整数，
由此可知，停棋的情形与时相同，
故第，，格没有停棋，即顶点，和棋子不可能停到．
故选：．
设顶点，，，，，，分别是第，，，，，，格，因棋子移动了次后走过的总格数是，然后根据题目中所给的第次依次移动个顶点的规则，可得到不等式最后求得解．
本题考查了图形的变化类，知道棋子所停的规则，找到规律是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
当时，，
当时，函数取得最小值，
故选项A错误；
当时，该函数图象开口向下，对称轴是直线，
当时，随的增大而增大，
故选项B错误；
当时，函数关系式是，
它与轴只有一个交点，
故选项C错误；
，
当时，即或时，则分别为或，
即无论为何值时，函数图象一定经过点或，
故选项D正确；
故选D．
把代入解析式，并将解析式化成顶点式，便可判断选项A的正误；
把代入解析式，并将解析式化成顶点式，便可判断选项B的正误；
计算判别式，根据其正负便可判断选项C的正误；
令中，求得此时、的值，便可判断选项D的正误．
本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据题意，得
且，
解得．
故答案为：．
分母不为，分子为时，分式的值为．
本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：分子为；分母不为这两个条件缺一不可．
 

8.【答案】 

【解析】解：把位评委给选手甲的评分从小到大排列为：，，，，，，，
所以排在最中间的数是，即中位数是．
故答案为：．
先把这组数据从小到大排列，再找出最中间的数即可．
此题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数．
 

9.【答案】 

【解析】解：是一元二次方程的根，
，
即，
，
、是一元二次方程的两个根，
，
．
故答案为：．
先根据一元二次方程根的定义得到，则可化为，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，

由题意得：，
，
，
．
故答案为：．
由题意可求得，再由平行线的性质可得，由邻补角的定义即可求．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．
 

11.【答案】 

【解析】解：由七巧板的切割方法可知，阴影部分较大的直角三角形的直角边为原正方形对角线的一半，较小的直角三角形的直角边为原正方形对角线的，
原正方形边长为，
原正方形对角线为，
阴影部分较大的直角三角形的直角边为，较小的直角三角形的直角边，
阴影部分面积为，
故答案为：．
由正方形边长为，求出两个直角三角形直角边，即可列式算得答案．
本题考查正方形性质及应用，解题的关键是掌握七巧板的切割方法．
 

12.【答案】或或 

【解析】解：当时，如图，则，

，
由直线交线段于点，交轴于点可知，，
点，
，
，
在和中，
，
≌，
，
即，
；
当时，如图，

作于，
同理证得≌，
，，
，，
，
，
，
；
当时，如图，

作于，
同理证得≌，
，
，
；
综上，的值为或或．
故答案为：或或．
分三种情况讨论：
当时，证得≌，得出，即，求得；
当时，作于，同理证得≌，得出，即，求得；
当时，作于，同理证得≌，得出，即，解得．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，作出辅助线构建求得三角形上解题的关键．
 

13.【答案】解：原式
． 

【解析】直接利用立方根的性质、绝对值的性质、零指数幂的性质、负整数指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 

14.【答案】证明：，
，
，
，
，
． 

【解析】由平行线的性质得到，进而推出，根据平行线的判定得到，根据平行线的性质即可得到结论．
本题主要考查了平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的性质和判定是解决问题的关键．
 

15.【答案】解：解不等式得，
解不等式得，
不等式组的解集为：，
解集在数轴上表示如图：
 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

16.【答案】解：根据题意知，欢欢选中课程的概率为．
画树状图如下：

由图知共有种等可能的结果，其中他俩第二次同时选择绘画的结果数为，
他俩第二次同时选择绘画的概率为． 

【解析】直接根据概率公式求解即可；
画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率．
 

17.【答案】解：如图，即为所作；

如图，四边形即为所作．
 

【解析】连接，，作点与、交点的线段并延长至线段交于点，连接即为所求；
分别取、的中点、，连接、、，四边形即为所求．
本题考查了基本作图，掌握矩形、菱形的性质，三角形中线等知识是解题的关键．
 

18.【答案】解：设品牌腐竹每箱售价为元，品牌腐竹每箱售价为元，
由题意得：，
解得，
答：品牌腐竹每箱售价为元，品牌腐竹每箱售价为元；

设购买品牌腐竹为箱，则购买品牌腐竹为箱，
由题意得：，
解之得：，
答：品牌腐竹最多购买箱． 

【解析】设品牌腐竹每箱售价为元，品牌腐竹每箱售价为元，根据“购买箱品牌腐竹和箱品牌腐竹共需要元，购买箱品牌腐竹和箱品牌腐竹则需要元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购买品牌腐竹为箱，则购买品牌腐竹为箱，根据总价单价数量，结合总费用不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

19.【答案】   

【解析】解：直尺平行于轴，、对应直尺的刻度为、，且，

直尺的宽度，．
的横坐标为，
不等式的解集是，
故答案为；   ；
在反比例函数图象上，
，
反比例解析式为，
点在反比例函数图象上，
，
，
将、代入有解得，
直线解析式：．
根据点、对应直尺上的刻度分别为、，即可求得的坐标；根据题意的横坐标为，根据图象即可求得不等式的解集；
根据待定系数法求得反比例函数的解析式，进而求得的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线的解析式．
本题考查了坐标与图形性质，待定系数法确定函数解析式，以及函数与不等式的关系，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：名，
即本次共调查了名学生，
故答案为：；
选择的学生有：人，
选择的学生有：人，
补全的条形统计图如右图所示；
，
即组所对应的扇形圆心角的度数是；
人，
答：估计该校睡眠时间不足小时的学生有人．
根据组人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的学生总人数；
根据中的结果、条形统计图中的时间和扇形统计图中的数据，可以计算出组和组的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
根据组的人数和调查的总人数，可以计算出组所对应的扇形圆心角的度数；
根据条形统计图中的数据，可以计算出该校睡眠时间不足小时的学生有多少人．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

21.【答案】解：过作，垂足为，

在中，，，
米，
点到的距离约为米；
过作，垂足为，

由题意得：米，，米，，
，
在中，，，
米，
设米，则米，
米，
，
，
在中，米，
米，
在中，，
米，
，
解得：，
米，
牌匾悬挂高度的长约为米． 

【解析】过作，垂足为，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答；
过作，垂足为，根据题意可得：米，，米，，根据垂直定义可得，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后设米，则米，从而可得米，再利用直角三角形的两个锐角互余求出，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进而列出关于的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

22.【答案】证明：如图，过点作于，

，是的角平分线，
，
为圆心，为半径，
是的切线；
证明：连结，

为的直径，
，
，
，
，
，
，
又，
∽，
，
；
解：在中，，
∽，
，
，
，
，
，
的半径为． 

【解析】过点作于，由角平分线的性质得出，由切线的判定可得出结论；
连结，证明∽，由相似三角形的性质可得出，则可得出结论；
由相似三角形的性质可得出答案．
此题考查的是圆周角定理、相似三角形的判定与性质、切线的判定、解直角三角形等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键．
 

23.【答案】解：将，代入得：，
解得：，
此二次函数的解析式为；
∽，理由如下：
当时，，
解得：，，
点的坐标为．
，
点的坐标为，
，，，
，即，
是直角三角形，且，
．
在和中，，，
，
∽；
，
抛物线的对称轴为直线，顶点的坐标为，
在范围内，当时，取得最大值，最大值；当时，取得最小值，最小值，
当时，此二次函数的最大值为，最小值为． 

【解析】由点，的坐标，利用待定系数法，即可求出此二次函数的解析式；
利用二次函数图象上点的坐标特征，可求出点的坐标，将二次函数解析式变形为顶点式，可得出点的坐标，利用两点间的距离公式，可求出，，的值，由，是直角三角形且，进而可得出，再结合，即可证出∽；
将二次函数解析式变形为顶点式，利用二次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了待定系数法求出二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定、两点间的距离公式以及二次函数的性质，解题的关键是：根据给定点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；利用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，证出∽；利用二次函数的性质，找出当时此二次函数的最大值和最小值
 

24.【答案】证明：和都是等边三角形，
，，，
，
，
≌，
；
，理由如下：
和都是等腰直角三角形，
，，
，
，
∽，
；
，，
∽，
，，
，
∽，
；
由得：∽，
，
，
，
． 

【解析】证明≌，从而得出结论；
证明∽，进而得出结果；
先证明∽，再证得∽，进而得出结果；
在的基础上得出，进而，进一步得出结果．
本题考查了等腰三角形性质，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型及其变形．