河北省唐山市迁安市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷（解析版）

这是一份河北省唐山市迁安市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷（解析版），共48页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题意可得，则.
故选：C
2. 已知p：，q：，则是（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充要也不必要条件
【答案】A
【解析】因为是的真子集，
所以，是的充分而不必要条件.
故选：A.
3. 已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A. B. 2C. 16D. ±2
【答案】B
【解析】是幂函数，设（为常数），
∵图象经过点，∴，解得，
∴，∴.
故选：B.
4. 函数在上是减函数．则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】根据题意，函数在上是减函数，则有，解得，
故选：B．
5. 已知函数，则下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为，所以.
故选：C.
6. 已知函数，则不等式的解集为（ ）
A. B. 或
C. 或D.
【答案】B
【解析】的定义域为R，函数为奇函数且为增函数，又，
故，则，
即，解得或.故选：B
7. 若命题：“，”是假命题，则实数k的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】命题：“，”是假命题，则，.
当时，恒成立；
当时，恒成立则，且，
即，故.
综上有.故选：D
8. 一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.设顾客得到的黄金实际克数是t，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为，右臂长为，则，
再设先称得黄金为，后称得黄金为，则，
所以，所以，
当且仅当，即时等号成立，但，等号不成立，
即，所以.
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求、全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分
9. 下列命题中，正确的有（ ）
A. 集合的所有真子集为
B. 若（其中），则
C. 是菱形是平行四边形
D.
【答案】BC
【解析】对于A，集合真子集是，共3个，所以A错误；
对于B，由，知，，则，则B正确；
对于C，菱形是特殊的平行四边形，所以C正确；
对于D，，所以，
所以D错误.故选：BC.
10. 下列不等式中成立的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】BD
【解析】对于A，当时，由，得，故A错误；
对于B，若，由不等式的可乘方性得，故B正确；
对于C，由，得，两边同乘以，得，
即，故C错误；
对于D，由，两边同乘以，可得，
由，两边同乘以，可得，所以，故D正确.
故选：BD.
11. 以下命题正确的是（ ）
A. 与不是同一个函数
B. 命题：“，”的否定是“，”
C. 若函数在上单调递增，则正实数a的取值范围是
D. 设函数为奇函数，则
【答案】ACD
【解析】函数的定义域为，的定义域为，
两函数对应关系不同，定义域相同，故不不是同一个函数，故A正确；
命题：“，”的否定是“，”，故B错误；
若函数在上单调递增，
则正实数应满足，解得，所以正实数的取值范围是，故C正确；
因为函数为奇函数，所以对恒成立，
即对恒成立，
即对恒成立，
即对恒成立，
即对恒成立，所以，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在横线上.
12. 函数的定义域为__________.
【答案】
【解析】由解析式知：且，
所以函数定义域为.
故答案为：
13. 已知，则的最大值为________.
【答案】
【解析】因为，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立.
故的最大值为.故答案为：.
14. 对，，记，则函数的最小值为 __________．
【答案】或1.5
【解析】函数是函数与函数同一个取得的两个函数值的较大的值，作函数与函数的图象如下，
由图象可知，令，得或，
故当时，的最小值为．故答案为：．
四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 设集合，.
（1）当时，求，；
（2）若，求的取值范围.
解：（1）由题意可得：，
当时，则，
可得，所以或；
又因为或所以或.
（2）显然，若，则，解得，
所以的取值范围为.
16. 已知二次函数.
（1）当且时，解关于的不等式；
（2）若的解集是，求a，b.
解：（1）当且时，，
则不等式，即为
即，解得，则的解集为.
（2）因为的解集是，
所以是方程，即的两根，
则，解得，经检验满足题意.
17. 一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好.
（1）若一所公寓窗户面积与地板面积总和为，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米？
（2）若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是变好了还是变坏了？
解：（1）设公寓窗户面积与地板面积分别为，则，所以，所以，所以.所以这所公寓的窗户面积至少为20平方米.
（2）设a和b分别表示公寓原来窗户面积和地板面积，m表示窗户和地板所增加的面积（面积单位都相同），由题意得：，
则.
因为，所以.又因为，所以.
因此，即.
所以窗户和地板同时增加相等的面积，住宅的采光条件变好了.
18. 已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示，并根据图象：
（1）画出函数在轴右侧的图象并写出函数的增区间；
（2）写出函数的解析式；
（3）若函数，求函数的最大值.
解：（1）函数是定义在上的偶函数，即函数的图象关于轴对称，其图象如图所示：
由图象可得递增区间为，0,1.
（2）根据题意，令，则，则，
又由函数是定义在团上的偶函数，则
∴.
（3）根据题意，，则，
则，其对称轴为，
当时，在区间上为增函数，；
当时，；
当时，在区间上为减函数，.
则.
19. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知.
（1）求证：函数图象的对称中心是；
（2）求；
（3）若、，且，则的最小值.
（1）证明：令
.
则.
∴为奇函数.
∴的图象关于点对称.
即的图象的对称中心是点.
（2）解：∵为奇函数，
∴，
即：
∴
∴
共11组，再加上，
∴
.
（3）解：∵，∴，即，、，
∴
当且仅当“”取等号，，
∴当，时，取得最小值8.