2024-2025学年河南省驻马店市高一下学期7月期末质量监测数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年河南省驻马店市高一下学期7月期末质量监测数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.tan2025 ∘=( )
A. − 2B. −1C. 1D. 2
2.1+i1−i的实部为( )
A. −1B. 0C. 1D. 不存在
3.如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，则与AO共线的向量是( )
A. AB+ADB. AB−ADC. AD+BCD. AD+OC
4.已知csα−π4=23，则sin2α=( )
A. 19B. 59C. −59D. −19
5.直线a//平面α，P∈α，那么过P且平行于a的直线( )
A. 只有一条，不在平面α内B. 有无数条，不一定在平面α内
C. 只有一条，且在平面α内D. 有无数条，一定在平面α内
6.将函数fx=asin2x+2cs2x的图象沿x轴向右平移π6个单位后得到的图象关于原点对称，则实数a的值为( )
A. 2 3B. 2 33C. −2 33D. −2 3
7.已知ABCD−A1B1C1D1为平行六面体，P为棱CC1的中点，则
①过点P有且只有一条直线与直线A1B1和BC都相交；
②过点P有且只有一个平面与直线A1B1和BC都平行；
③过点P有无数条直线与直线A1B1和BC都垂直；
④过点P与直线A1B1和BC的夹角均为60 ∘的直线至少有两条．
其中正确的命题个数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
8.已知向量a，b，c满足b=2a=2，a⋅b=1，a+b−2c=2，则a⋅c的最大值为( )
A. 2 77B. 2 77+1C. 1D. 2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.▵ABC中，若A>B，则( )
A. sinA>sinBB. tanA>tanBC. cs2AcsB
10.正三棱台ABC−A1B1C1中，AB=2AA1=2A1B1=4，D为棱AB的中点，则( )
A. DC1⊥CC1B. 直线DC1与BC夹角的余弦值为12
C. A到平面BCC1B1的距离为4 63D. 棱台ABC−A1B1C1的体积为14 23
11.已知实数x1，x2，y1，y2满足：x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=12，则( )
A. x1+x2+y1+y2的最小值是 2
B. x1y2−x2y1= 32
C. x1−x2+y1−y2的取值范围是1, 2
D. 存在实数x1，x2，y1，y2，使得x1y2+x2y1=20242025
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数z=1− 3i，z为z的共轭复数，则z⋅z= ．
13.《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.已知在阳马P−ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，PA=AB=2AD=2，则三棱锥P−BCD的外接球的表面积为 ．
14.▵ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b−2ccsA+a+ccsB+b−2acsC=0，则a2+c2−b2a+c2的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在平面直角坐标系中，已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P3,λ，且sinα=λ5．
(1)求实数λ及相应csα的值；
(2)当λ>0时，化简sinα+π+csα+5π2sinπ2−α−csα+3π并求值．
16.(本小题15分)
平面直角坐标系中x轴、y轴正方向上的单位向量分别记为i，j，已知向量a=mi−j，b=2,1−m．
(1)若a//b，求实数m的值；
(2)若a,b为锐角，求实数m的取值范围；
(3)当m=3时，求b在a方向上的投影向量的坐标．
17.(本小题15分)
已知a，b，c分别为▵ABC三个内角A，B，C的对边，且acsC+ 3asinC−b−c=0．
(1)求A；
(2)若b=4，且▵ABC的面积为 3，求▵ABC的外接圆半径．
18.(本小题17分)
如图，菱形ABCD所在的平面与矩形ACEF所在的平面相互垂直．
(1)证明：直线DE//平面ABF；
(2)若平面DEF⊥平面BEF，求BDAF的值；
(3)在(2)条件下，求平面DEF与平面ACD夹角的余弦值．
19.(本小题17分)
已知函数fx=Asinωx+φ+k(A>0,ω>0,φ0在区间π8,3π8上解的个数．
答案解析
1.【答案】C
【解析】【分析】借助正切函数的诱导公式计算即可得．
【详解】tan2025 ∘=tan180 ∘×11+45 ∘=tan45 ∘=1．
故选：C．
2.【答案】B
【解析】【分析】利用复数的除法整理其为标准式，根据实部的概念，可得答案．
【详解】由1+i1−i=1+i21−i1+i=1+2i−11+1=i，则其实部为0．
故选：B．
3.【答案】A
【解析】【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则，结合向量共线的判定，逐项判定，即可求解．
【详解】因为四边形ABCD为平行四边形，且对角AC∩BD=O，
对于A中，由AO=12AC=12(AB+AD)，所以AO与AB+AD共线，所以A符合题意；
对于B中，由AB−AD=DB，向量AO与AB−AD不共线，所以B不符合题意；
对于C中，由AD+BC=2AD，向量AO与AD+BC不共线，所以C不符合题意；
对于D中，由向量AO与AD+OC不共线，所以D不符合题意．
故选：A．
4.【答案】D
【解析】【分析】根据余弦的二倍角公式以及诱导公式即可求解．
【详解】cs2α−π2=2cs2α−π4−1=2×232−1=−19，即sin2α=−19，
故选：D
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查线面平行的性质，属于基础题．
直接利用线面平行的性质定理，判断出正确答案．
【解答】
解：过直线a和点P作一平面β，面α与面β的交线为b，且点P∈b，
因为直线a//平面α，所以a//b，
在同一平面内，过点作已知直线的平行线有且只有一条，所以选项C正确．
故选：C．
6.【答案】B
【解析】【分析】利用辅助角公式化简函数解析式，根据函数图象变换可得新函数的解析式，由整体思想可得参数值，根据正切值建立方程，可得答案．
【详解】由题意可知a≠0，设tanφ=2a，则fx= a2+4sin2x+φ，
设将函数fx的图象向右平移π6个单位可得函数gx的图象，
则gx=fx−π6= a2+4sin2x−π3+φ，
易知g0=0，则−π3+φ=kπk∈Z，即φ=π3+kπk∈Z，
可得tanφ= 3=2a，解得a=2 33．
故选：B．
7.【答案】C
【解析】【分析】①：由题意满足条件的直线是平面PA1B1与平面PBC的交线，从而可判断；②：由线面平行的判定及性质可判断；③：由线线平行的性质结合异面直线成角的概念可判断；④：由异面直线成角可判断．
【详解】①：过点P与直线A1B1相交的直线必在平面PA1B1内，
过点P与直线BC相交的直线必在平面PBC内，
故满足条件的直线必为两平面的交线，显然两平面有唯一交线，①正确；
②：过点P有且只有一个平面与直线A1B1和BC都平行，
此平面就是过点P与正方体的上下底面平行的平面，②正确；
③：因为A1B1//AB，若l⊥A1B1则l⊥AB，若l⊥BC，
由AB、BC⊂平面ABCD，AB∩BC=B，则l⊥平面ABCD，
显然满足条件的直线唯一，即CC1，③错误；
④：取BB1，DD1的中点E，F，连PE，PF，则PE//BC，PF//A1B1，
显然∠EPF的角平分线与PE，PF所成角为45 ∘，且该角平分线与直线AA1相交，
又CC1均与PE，PF所成角为90 ∘，
则在直线AA1上，分别有两点位于平面EPF上方及下方，
使得过该点与点P的直线与PE，PF的夹角均为60 ∘，
故过点P与直线A1B1和BC的夹角均为60 ∘的直线至少有两条，④正确．
故选：C．
8.【答案】D
【解析】【分析】由题意可设a=1,0、b=1, 3、c=x,y，又a⋅c=x，x−12+y− 322=1，则可计算出x的范围，从而可得解．
【详解】csa,b=a⋅ba⋅b=11×2=12，则可设a=1,0、b=1, 3、c=x,y，
由a+b−2c=2，则a+b2−c=1，又a+b2=1, 32，
则x−12+y− 322=1，则x−12=1−y− 322∈0,1，
故x∈0,2，则a⋅c=1×x+0×y=x∈0,2，
即a⋅c的最大值为2．
故选：D．
9.【答案】AC
【解析】【分析】根据正弦定理可判断A，结合二倍角公式可判断C，据特殊值即可求解BD．
【详解】由于A>B，则a>b，进而根据正弦定理可得sinA>sinB，故 A正确，
对于BD，若A=2π3,B=π6,则tanA0，不满足tanA>tanB，sinA= 32,csB= 32，不满足sinA>csB，故 BD错误，
对于C，由于sinA>sinB>0，所以sin2A>sin2B，进而1−2sin2A0≠−1m≠2,
解得m>13且m≠2；
(3)当m=3时，a=3,−1，b=2,−2，
因b在a方向上的投影向量为a⋅ba×aa=a⋅ba2⋅a，
且a⋅b=3×2+−1×−2=8，a= 32+−12= 10，
从而可得a⋅ba2=810=45，
因此b在a方向上的投影向量为a⋅ba2⋅a=45a=125,−45．

【解析】【分析】(1)借助向量平行的坐标关系运算即可得；
(2)由锐角性质可得a⋅b>0且a,b≠0，计算即可得；
(3)借助投影向量定义计算即可得．
17.【答案】【详解】(1)由正弦定理asinA=bsinB=csinC=2R(R为三角形外接圆半径)，
则acsC+ 3asinC−b−c=0可化为sinAcsC+ 3sinAsinC−sinB−sinC=0，
又因sinB=sinA+C=sinAcsC+csAsinC，
则 3sinAsinC−csAsinC=sinC,sinC>0，
也即 3sinA−csA=2sinA−π6=1,0