湖北省五市州2023-2024学年高二下学期期末联考数学试题（解析版）

这是一份湖北省五市州2023-2024学年高二下学期期末联考数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答等内容，欢迎下载使用。
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 某质点的位移（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，当时，该质点的瞬时速度为（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】A
【解析】因，所以，所以，
所以当时，该质点的瞬时速度为.
故选：A
2. 下列等式不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由组合数性质可得，故A正确；
，故B错误；
，故C正确；
，故D正确；
故选：B
3. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到．依据的独立性检验，正确的结论为（ ）（附：，，）
A. 变量与不独立
B. 变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过
C. 变量与独立
D. 变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过
【答案】C
【解析】因为，
所以依据的独立性检验，可以认为变量与独立.
故选：C
4. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】函数的定义域为，
且，所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A、B；
当时，则，当时，则，故排除C.
故选：D
5. 甲、乙、丙、丁、戊共5名同学参加100米比赛，决出第1名到第5名的名次．比赛结束后甲说：“我不是第1名”，乙说：“我不是第5名”．根据以上信息，这5人的名次排列情况种数为（ ）
A. 72B. 78C. 96D. 120
【答案】B
【解析】当甲是第5名时，共有种；
当甲不是第5名时，共有种；
综上，共有78种.
故选：B
6. 随着我国铁路的发展，列车的正点率有了显著的提高．据统计，途经某车站的只有和谐号和复兴号列车，且和谐号列车的列次为复兴号列车的列次的3倍，和谐号列车的正点率为0.98，复兴号列车的正点率为0.99，则一列车能正点到达该车站的概率为（ ）
A. 0.9825B. 0.9833C. 0.9867D. 0.9875
【答案】A
【解析】依题意，设到达该车站列车为和谐号列车的概率为，为复兴号列车的概率为，
则一列车能正点到达该车站的概率为.
故选：A.
7. 设随机变量，随机变量．则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为，则，，，则，，
对于A：，，
所以，故A错误；
对于B：，
，
所以，故B错误；
对于C：，，
所以，故C正确；
对于D：因为，所以随机变量所对应的正态曲线更瘦高，数据更集中，
所以，故D错误.故选：C
8. 已知定义在上的函数的导函数为，对于任意的实数都有，且时，．若，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】令，
对于任意的实数都有，
即为偶函数；
；
当时，，
当时，为增函数；
又，
，即.
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 在成对数据的统计分析中，下列说法正确的是（ ）
A. 经验回归直线过点
B. 残差平方和越小，回归模型的拟合效果越好
C. 若样本相关系数越大，则成对样本数据的线性相关程度越强
D. 在回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，预报变量平均增加2个单位
【答案】ABD
【解析】对于A：由经验回归直线过样本点中心，故A正确；
对于B：残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，故B正确；
对于C：若样本相关系数的绝对值越接近于1，则样本数据的线性相关程度越强，故C错误；
对于D：在回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，预报变量平均增加2个单位，故D正确；
故选：ABD
10. 设函数，则（ ）
A. 当时，有两个极值点
B. 当时，
C. 当时，在上单调递增
D. 当时，恒成立
【答案】BCD
【解析】，
当时，时，，递减，
时，，递增，
极小值，只有一个极值点，A错误，B正确；
当时，或时，，
时，，
在和上递增，在上递减，C正确；
令，
当时，时，，时，，
即函数在上单调递增，在上单调递减，
则；
因为，所以，即，
所以当时，恒成立，故D正确；
故选：BCD．
11. “杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝，最早出现在南宋数学家杨辉1261年所著《详解九章算法》中．“杨辉三角”中三角形数的排列规律如图所示，它的第行的各项从左往右依次是二项式展开式中各项的二项式系数．下列结论正确的是（ ）

A.
B. 第2024行中从左往右第1013个数是该行中所有数字中最大的
C. 记第行的第个数为，则
D. 记第2行第3个数字为，第3行第3个数字为，…，第行的第3个数字为，则
【答案】BD
【解析】由可得
，故A错误；
第2024行是偶数，中间一项最大，即，也就是第2024行中第1013个数，故B正确；
第行的第个数为，
所以，故错误；
由题意知
，故D正确.
故选：BD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若随机变量，则___________.
【答案】6.4
【解析】由，则
所以
故答案为：6.4
13. 已知曲线在点处的切线与二次函数的图象只有一个公共点，则实数的值为__________．
【答案】或
【解析】因为，则，则，
所以曲线在点处的切线为，即，
由，则，
则，解得或.故答案：或
14. 甲、乙、丙三人玩“剪刀、石头、布”的游戏．游戏规则为：剪刀赢布，布赢石头，石头赢剪刀．每一局游戏甲、乙、丙同时出“剪刀、石头、布”中的一种手势，且相互独立．在一局游戏中某人赢1个人得1分，赢2个人得3分，其他情况得0分．设一局游戏后3人总得分为，则随机变量的数学期望的值为__________．
【答案】
【解析】可取0，2，3.
所以.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知的展开式中各二项式系数的和为64．
（1）求展开式中的常数项；
（2）求展开式中各项系数的和；
（3）若把展开式中所有的项重新排成一列，求有理项互不相邻的概率．
解：（1）二项式系数之和为，解得.
，令解得，
则常数项为.
（2）令
则展开式中各项系数的和为.
（3）由（1）可知，
令，则即展开式中有理项有4项，
把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻，即把其它的3个无理项先任意排，再把这4个有理项插入其中的4个空中，方法共有种，
设事件“有理项互不相邻”，.
16. 已知函数在处有极小值4．
（1）求解析式；
（2）求在上的值域．
解：（1）函数，则，
由题意得，解得，
当时，，令，解得.
则当单调递增；
单调递减；，单调递增，
所以是极小值点，符合题意，故.
（2）由（1）知，
则当单调递增；当，单调递减；
当单调递增，
当时，函数取得极小值，
当时，函数取得极大值，
而，，
故在上值域为.
17. 某乡村企业希望通过技术革新增加产品收益，根据市场调研，技术革新投入经费（单位：万元）和增加收益（单位：万元）的数据如下表：
为了进一步了解技术革新投入经费对增加收益的影响，通过对表中数据进行分析，分别提出了两个回归模型：①，②．
（1）根据以上数据，计算模型①中与的相关系数（结果精确到0.01）；
（2）若，则选择模型①；否则选择模型②．根据（1）的结果，试建立增加收益关于技术革新投入经费的回归模型，并预测时的值（结果精确到0.01）．
附：i）回归直线的斜率、截距的最小二乘估计以及相关系数分别为：，，
ii）参考数据：设，，，，，．
解：（1）因为，
，
所以，
，
，
模型①中，相关系数，
（2）因为，
所以选择模型②，
令，
先建立关于的线性回归方程，
由于，
，
所以关于的线性回归方程为，
即，
当时，（万元），
所以若投入经费万元，收益约为万元.
18. 在统计学的实际应用中，除了中位数外，常用的分位数还有第25百分位数（即下四分位数）与第75百分位数（即上四分位数）．四分位数常应用于绘制统计学中的箱型图，即把所有数值由小到大排列，并分成四等份，处于三个分割点的数值就是四分位数，箱型图中“箱体”的下底边对应的数据为下四分位数，上底边对应的数据为上四分位数，中间的线对应的数据为中位数，如图1所示．已知，两个班级的人数相同，在一次测试中两个班级的成绩箱型图如图2所示．
（1）估计，两个班级平均分较高的是哪个班级？（直接给出结论即可，不必说明理由）
（2）据统计，两个班级中高于140分的共8人，其中班3人，班5人，从中抽取3人作学习经验分享，设这3人中来自班的人数为，求的分布列和数学期望．
（3）在两个班级中随机抽取一名学生，若该生的分数大于120分，求该生来自班和班的概率分别是多少？
解：（1）由两个班级的成绩箱型图可知，
班的上四分位数与班的中位数一致均为，
且班的下四分位数大于班的下四分位数，班的最小值也大于班的最小值，
所以班的平均分一定大于班的平均分；
（2）依题意的可能取值为，，，，
所以，，
，.
所以的分布列如下所示：
所以.
（3）设事件“该同学来自班”，事件“该同学的分数高于分”，
所以，
所以
，
所以，
，
所以该同学来自班的概率为，来自班的概率为.
19. 已知，函数，．
（1）证明：方程有两个解；
（2）设（1）中方程的两个解为,直线与曲线交于点，直线与曲线交于点，证明：存在唯一的实数，使得曲线上的点与A，B两点构成等腰直角三角形．
解：（1），设，则
令，得，所以在单调递减，在单调递增，
所以，
又，且，所以存在使得.
又当时，，则，所以，
所以，
所以，且，所以存在使得.
所以有两个零点，故有两个解.
（2）设，
若与构成等腰直角三角形，则，
即证明关于的方程在仅有一解.
由得，
，
令，
则在单调递增，.
又，所以在单调递减，在单调递增，
又，
因为，所以由（1）知
而，又，
所以
所以存在，使得，
所以在单调递增，在单调递减，在单调递增，
因为，同理，又，
所以，
所以在仅有一解，原命题得证.0
2
3
4
6
8
10
12
27
42
55
56
60
0
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2
3