2022-2023学年湖北省荆州市八县市高二上学期期末联考数学试题（解析版）

荆州八县市2022—2023学年度第一学期期末联考

高二数学试题

（测试时间：120分钟卷面总分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.空间中点A（1，2，3）到点B（0，2，1）的距离为

A． 2   B．   C．    D．3

2.，，若，则a=

A． 1    B．1或2    C．1或3  D．3

3、已知正三棱柱，M为棱BC上靠近点C的三等分点，则

A．    B．    

C．     D．

4.若的前n项和，则

A． 86   B． 112    C． 156    D． 84

5.已知分别为椭圆的左右焦点，P为C上一动点，A为C的左顶点，若，则C的离心率为

A．  B．   C．   D．

6.公差不为0的等差数列中，，则xy的值不可能是

A．10   B．24    C． 22    D． 30

7.如图，已知三棱锥P—ABC的底面是以A为直角顶点，腰长为2的等腰三角形，且，E为P点在底面的投影，且，PA与底面所成角为，则该三棱锥外接球的体积为

A．    B．

C．    D．

8.2022年是发现土星卫星和土星环缝的天文学家乔凡尼·卡西尼逝世310周年，卡西尼曾对把卵形线描绘成轨道有兴趣。卡西尼卵形线是由到两个定点（叫做焦点）距离之积为常数的所有点连接形成的图形，设一条卡西尼卵形线R方程为，其两焦点直角坐标系坐标为和，动点P是R上一点，则最小值为

A．1   B． 2    C．3    D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知圆，则

A．若圆C同时与两个坐标轴相切，则

B．圆心C在直线上

C．过原点O作圆C两条切线，若两条切线之间的夹角为时，则

D．若，则x轴截圆C的弦长为

10.疫情当下，通过直播带货来助农，不仅为更多年轻人带来了就业岗位，同时也为当地农民销售出了农产品，促进了当地的经济发展。某直播平台的主播现要对6种不同的脐橙进行选品，其方法为首先对这6种不同的脐橙（数量均为1），进行标号为1~6，然后将其放人一个箱子中，从中有放回的随机取两次，每次取一个脐橙，记第一次取出的脐橙的标号为，第二次为，设，其中[x]表示不超过x的最大整数，则

A．   B．事件与互斥

C．   D．事件与对立

11.2022年11月23日是斐波那契纪念日，其提出过著名的“斐波那契”数列，其著名的爬楼梯问题和斐波那契数列相似，若小明爬楼梯时一次上1或2个台阶，若爬上第n个台阶的方法数为，则

A．       B．

C．  D．

12.已知边长为2的正方体ABCD—，E为AD中点，F为中点，则

A． EF与所成角的正弦值为

B．

C．若平面与平面的交线为l，则直线l与BE所成角的余弦值为

D．若D在平面内的投影为点O，则

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若，且，则m=___________。

14.设抛物线的焦点为F，抛物线在（2，1）处的切线为l，则F到l的距离为___________。

15.已知分别为双曲线的左右焦点，l经过交双曲线右支于A，B两点，且，则b=___________。

16.引得无数球迷心情澎湃的世界杯，于今年在卡塔尔举行，为了弘扬顽强拼搏的体育竞技精神，某学校的足球社团利用课余时间展开“三人足球”的比赛，比赛的第一阶段为“传球训练赛”，即参赛的甲、乙、丙三名同学，第一次传球从乙开始，随机地传球给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，则第6次传球，重新由乙同学传球的概率为___________。

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分10分）

已知直线，圆.

（1）求圆心C到l距离的取值范围；

（2）若l交C于A，B两点，且P（—5，0），求的值。

18.（本小题满分12分）

今年两会期间，国家对中小学生学业与未来发展以及身体素质的重要性的阐述引起了全社会的共鸣，为了响应国家的号召并进一步提高学生的综合素质，某校开设了俯卧撑训练课，分别从该校的5000名学生中，利用分层抽样的方式抽取100名学生，统计在2分钟内所做俯卧撑个数的频率分布直方图，如下图所示。

（注；若某个学生在2分钟内可做俯卧撑个数大于等于30视为优秀，位于20—30之间视为合格，小于20视为不合格，假设不考虑不同年级不同性别学生之间的个体差异）

（1）若该校高一，高二，高三的人数分别为1500，1500，2000，以频率为概率估计

①开设该训练课前高一学生中不合格的人数；

②开设该训练课后全校学生合格的人数；

（2）若随机选取4名学生，其中包含1名女生，3名男生，再从这4名学生中挑选2名学生，请用列表法，求该女生被选中的概率。

19.（本小题满分12分）

在①；②，且直线与平面ABCD所成角为。这两个条件中任选一个，补充在下列问题中，并给予解答。

如图所示，四棱台ABCD的上下底面均为正方形，且⊥底面ABCD。

（1）证明：；

（2）若，求二面角的正弦值。

注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分。

20.（本小题满分12分）

等差数列{}满足，其前n项和为。

（1）求数列{}的通项公式；

（2）求的值。

21.（本小题满分12分）

已知点A（1，）为椭圆C上的一点，B（—2，0）。

（1）求C的方程；

（2）若直线l交C于M，N两点，连接BM，BN并延长，记直线BM，BN，l的斜率满足，证明：直线l恒过定点，并求出该定点的坐标。

22.（本小题满分12分）

已知椭圆C：的左右顶点分别为，，直线与C交于M、N两点，直线A1M和直线交于点P。

（1）求P点的轨迹方程；

（2）求的取值范围。

荆州八县市2022- 2023 学年度第一学期期末联考

高二数学试题

参考答案及多维细目表

1.【答案】B

【解析】依题意得∴，故选B。

2.【答案】D

【解析】∵，∴或故选D。

3.【答案】C

【解析】，故选C。

4.【答案】B

【解析】

法一：当时，

∴，，∴。

法二：∵，

∴，故选B。

5.【答案】A

【解析】∵

∴，即

∴∴，∴，故选A。

6.【答案】C

【解析】∵公差不为0的等差数列{}中，

∴，即

∵x，

∴或或或x=4.或或或，

或或或=1。

∴或18或24或28或30，故选C。

7.【答案】A

【解析】依题意画出示意图，可得，，

∵E为P点在底面ABC的投影，，

∴，

延长AE交BC于点，∵，∴A⊥BC．，∴，设，外接球的半径为R，即，在△OO'C中。，在△PFO中，=，联立解得，∴R=，∴，故选A。

8.【答案】B

【解析】由定义可知，R上点P有为定值，

∵（0，0）在卡西尼卵形线R上，

∴有

∴，当时，等号成立，故选B。

9.【答案】AB

【解析】依题意，圆心坐标为C（a，a），在直线y=x上，B正确；

当圆C同时与两个坐标轴相切时，，即a=±1，A正确；

如图可得，

∵OA，OB为切线，

∴

∴

∵圆心C在直线上。

，C错误；

若，有，D错误。故选AB。

10.【答案】BCD

【解析】若取1，4或2，3.

∴，A错误；

若，则恒成立，∴与互斥，B正确；

，C正确；

∵恒成立。∴为对立命题，

当时，恒成立，

∴D正确。故选BCD。

11.【答案】ACD

【解析】，

∴当时，，

∴，A正确；

，B错误：

∵，

∴有，

∴，C正确：

∵，

∴，D正确，故选ACD。

12.【答案】BD

【解析】如图，以A点为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，依题意可得B（2，0，0），（0，0，2），（2，2，2），（0，2，2），E（0，1，0），F（1，1，2）。

∴，

∴

∴，A错误：

，B正确；

由图可知，平面与平面CC1E的交线为，

∴M为A1G的中点，∴M（0，1，3），

故

∴，C错误；

∵，

∴三棱锥为正三棱锥。

∵D在平面内的投影为点O，∴O为△的中心，故

，

∴，，

，D正确。故选BD。

13.【答案】

【解析】由，解得。

14.【答案】

【解析】设直线，联立得

，解得

，即

∵F（0，1），∴。

15.【答案】

【解析】设，依题意得，，，

在中

∴解得，

，

又

16.【答案】

【解析】设为第n次传球，重新由乙同学传球的概率，

，

，

，

，

，

。

17.【解析】（1）直线l可化简为，可知l恒过点（—5，0），。。2分

设M（—5，0），又C（0，0），∴，

当直线时，圆心C到l距离取最大值，最大值为5，

当直线l经过圆心C时，圆心C到l距离取最小值，最小值为0，

又当时，斜率不存在，不满足题意。

∴圆心C到l距离的取值范围为[0，5）。。。。4分

（2）设

，

，

，

联立消y得，

，

。

18.【解析】（1）由频率分布直方图可知，开设该训练课前高一学生中不合格的人数（人）。。。。3分

开设该训练课后全校学生合格的人数（人）。。。。。6分

（2）列表如下：

由表可知，共有12种等可能的结果，其中挑选的人中包含了女生的有6种结果，

∴。。。。。。。。。12分

19.【解析】（1）证明：∵⊥平面ABCD，AC平面ABCD．∴1

又∵四边形ABCD为正方形，∴

则AC⊥平面D1DB，又D1B平面D1DB，故。。。4分

（2）由题意知直线，DA，DC两两垂直，故以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标

系。。。。。5分

若选①：则A（2，0，0），B（2，2，0），C，（0，2，0），B1（1，1，2），

∴，，

设平面AB1B与平面BB1C的法向量分别为n1

则

令，则。。。。。。。。。。。。。。。。7分

令，则

设二面角大小为θ，则cosθ=。。。。11分

∴，

即二面角A—BB1—C 的正弦值为。…12分

若选择条件②：设

则，易知底面ABCD的一个法向量为，

由题意，∴，设，则a=。。。。。6分

故，

∴A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），B1（1，1，），

∴

，

设平面和平面的法向量分别为s

则

令，则

令，则。。。。。。。。。。。。。。10分

设二面角的大小为θ，则cosθ=。。。。11分

∴，

即二面角A—BB1—C 的正弦值为。…12分

20.【解析】（1）设首项为，公差为d，

依题意得解得

∴。。5分

（2）当时，

∴

，

当时，

∴

，

故

∴。

21.【解析】（1）∵A（1，）在上，∴，解得，

∴。。。。。。。。。。4分

（2）方法一：齐次化：设C：=1。

∴

∴。6分

设过点M，N，。。7分

则有

过点M，N。

∴。。。。8分

∴

即。。。。。10分

∴

又∵

∴，解得，

∴，即，

直线l恒过定点（—1，0）。。。。。。12分

方法二：韦达联立：设，

，

∵B（—2，0），∴，

∴

联立得，

∴。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分

代入可得

化简得，解得或k=m，

∵不过B（—2，0），∴，

∴，。。。。。。。。。。。。。11分

∴，恒过定点（—1，0）。。。。。12分

22.【解析】（1）设，依题意得，

∴直线

直线

联立可得

，

解得，。。。。3分

，

，即

，

∴P点的轨迹方程为。。。。。。。。。。。6分

（2）∵

同理可得，

，

∴原式=

故