湖北省武汉市部分学校2024-2025学年高一上学期11月期中调研数学试题（解析版）

这是一份湖北省武汉市部分学校2024-2025学年高一上学期11月期中调研数学试题（解析版），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由得，即，
所以.
故选：B
2. 命题，的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】命题，为全称量词命题，
其否定为：，.
故选：A
3. 下列关于幂函数的判断：①定义域为；②值域为R；③是偶函数；④在上单调递减.其中正确的个数是（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】C
【解析】，
对于①，定义域为，故①错误；
对于②，由幂函数的性质可得值域为0,+∞，故②错误；
对于③，，且定义域关于原点对称，所以是偶函数，故③正确；
对于④，由幂函数图象的性质可得在上单调递减，故④正确；
所以正确的个数为2个，故选：C.
4. 下列不等式中成立的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若且，则
【答案】B
【解析】对于A，当时，，故A错误；
对于B，若，由不等式的性质可知，故B正确；
对于C，若，取，得，则，故C错误；
对于D,若且，取，得，则，故D错误.
故选：B.
5. 已知函数的定义域为[1，2]，则函数的定义域为（ ）
A. B. C. [1，2]D. [1，4]
【答案】B
【解析】因为定义域为[1，2]，
所以，所以，
则，解得，
故选：B
6. 已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.若存在对称中心，则（ ）
A. B. C. 3D. 4
【答案】A
【解析】设，则为奇函数，
可得，由奇函数的定义域关于原点对称可得，
即，,
由可得，
即，所以，故选：A.
7. 已知函数是定义在R上的偶函数.，且，恒有.若，则不等式.的解集为（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】不妨设，所以，
则，
所以，
令，则，
所以在上单调递增，
又是偶函数，所以，
即也是偶函数，则其在上单调递减，
因为，所以，
又，所以，即，
所以，解之得x∈-1,1.
故选：D
8. 已知，关于的方程在上有实数解，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】关于的方程在上有实数解，
即函数在上有交点，
因为，所以在上单调递增，
易知在上单调递减，
所以要满足题意需，即，
解之得.
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 某智能手机生产厂家对其旗下的某款手机的续航能力进行了一轮测试（一轮测试时长为小时），得到了剩余电量（单位:百分比）与测试时间（单位：）的函数图象如图所示，则下列判断中正确的有（ ）
A. 测试结束时，该手机剩余电量为
B. 该手机在前内电量始终在匀速下降
C. 该手机在内电量下降的速度比内下降的速度更快
D. 该手机在进行了充电操作
【答案】ACD
【解析】对于A，由图象可得，当时，，所以测试结束时，该手机剩余电量为，故A正确；
对于B，由图象可得该手机在前内电量下降不是一条直线，故不是匀速下降，故B错误；
对于C，由图象可得，在内电量下降的速度为，在内下降的速度为，由，故C正确；
对于D，由图象可得该手机在电量上升了，所以进行了充电操作，故D正确；
故选：ACD.
10. 已知函数关于的方程，下列判断中正确的是（ ）
A. 时方程有3个不同的实数根
B. 方程至少有2个不同的实数根
C. 若方程有3个不同的实数根，则的取值范围为
D. 若方程有3个不同的实数根，则的取值范围为
【答案】ACD
【解析】方程根的问题可以转换成和图象交点问题，
对于A：由图象可知：时方程有3个不同的实数根，正确；
对于B：当时，结合图象可知，方程无解，故错误；
对于C：由图象可知和由3个交点时，的取值范围为，故正确；
对于D：假设，结合图象可知，所以，故正确.
故选：ACD
11. 已知正数满足，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. 的最小值为D. 与可以相等
【答案】ABD
【解析】由可知，则，
则，
当且仅当时取得等号，故A正确；
易知，
当且仅当，即时取得等号，故B正确；
由得，当且仅当时取等号，
而此时，与前提矛盾，故C错误；
若与可以相等，则（舍去）或，
所以与可以相等，此时，故D正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数则______.
【答案】
【解析】由题意可知.
故答案为：
13. 已知函数，若，则____________.
【答案】
【解析】易知，即fx为奇函数，
所以.
故答案为：.
14. 对于任意实数a，b定义当实数x，y变化时，令，
则的最大值为____________.
【答案】
【解析】由题意当时，必有，
故要使得取得最大值，必须当，
此时，
所以，
令，则
，
当且仅当即时取等号，
所以，
所以，
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合.
（1）当时，求；
（2）若“”是“”成立的充分条件，求实数的取值范围.
解：（1）当时，，
所以，，或，
求；
（2），
若“”是“”成立的充分条件，则，
若，则，解得，满足；
若，则，解得，
所以实数的取值范围为.
16. 已知函数.
（1）判断函数的奇偶性并证明；
（2）讨论函数在区间上的单调性并证明.
解：（1）函数fx是奇函数，证明如下：
由知其定义域为，
而，则为奇函数；
（2）单调递增，证明如下：
设，则
，所以，
即函数在区间0,+∞上单调递增.
17. （1）对于正实数求证:;
（2）已知函数，利用（1）的结论，求函数的最小值，并求出此时对应的的值.
（1）证明：，①
因为正实数所以，所以，
当且仅当时取等号，
所以，
所以①，即
（2）解：由题意可得，解得，
，
因为，所以，
故，即，
由（1）可得，，
当且仅当即时取等号，
又，所以，此时.
18. 在日常生活中，经济学家们通常将函数的边际函数定义为.现已知某高科技企业每月生产某种特殊设备最多11台，根据以往经验：生产台这种特殊设备的月收入函数为（单位：千万元），其月成本函数为（单位：千万元）.求：
（1）月收入函数的最小值及此时x的值;
（2）月成本函数的边际函数的定义域及最大值（精确到0.01千万元）；
（3）生产台这种特殊设备的月利润的最小值.（月利润=月收入-月成本）
解：（1）∵，
∴，当且仅当即时等号成立，
∴当时，（千万元）.
（2）∵,
∴,
由得函数定义域为.
由题意得，在上单调递增，
当时，有最大值，最大值为（千万元）.
（3）由题意得，，
令，则函数可化为，对称轴为直线，
当时，，
由可知当时，，（千万元）.
19. 对于定义在上的函数，若其在区间上存在最小值和最大值，且满足，则称是区间上的“聚集函数”.现给定函数.
（1）当时，求函数在上的最大值和最小值，并判断是否是“聚集函数”；
（2）若函数是上的“聚集函数”，求实数的取值范围;
（3）已知，若函数是上的“聚集函数”，求的最大值.
解：（1）根据题意：a=2，则，
因为，则当时，，
当时，，且，
即函数为上的“聚集函数”.
（2）
①若，则，，
根据题意：，无解；
②若，则，，
根据题意：，解得：；
③若，则，，
根据题意：，解得：；
④若，则，，
根据题意：，解得：无解；
综上：实数的取值范围为：.
（3）
因为，则，
①若，则由图象可得：，
，设，即求的最大值.
，
因为，则，，代入上式，得，则.
②若，则由图象可得：，
，设，即求的最大值.
，
因为，则，，代入上式，得，则.
综上：的最大值为，当且仅当时取等号，
即或时取等号.因此的最大值为.