江苏省淮安市2023-2024学年高二下学期6月期末调研测试数学试题（解析版）

这是一份江苏省淮安市2023-2024学年高二下学期6月期末调研测试数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了考试结束后，只要将答题卡交回， 已知随机变量，若，则， 随机变量的概率分布为，，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，只要将答题卡交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 集合中元素的个数为（ ）
A. 18B. 12C. 8D. 5
【答案】A
【解析】集合中元素的个数为.
故选：A.
2. 下列求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】对于A：，故A错误；
对于B：，故B错误；
对于C：，故C错误；
对于D：，故D正确；
故选：D．
3. 已知空间向量，，，若向量，，共面，则实数为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】B
【解析】若向量，，共面，则，
可得，解得，
所以实数为.
故选：B.
4. 已知随机变量，若，则（ ）
A. B. 或C. D. 或
【答案】D
【解析】因为，则，
且，整理可得，解得或.
故选：D.
5. 正方体中，为中点，则直线，所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图，以D为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，则，
可得，
则，
所以直线，所成角的余弦值为.
故选：B.
6. 随机变量的概率分布为，，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】由题意可得：，
，
所以.
故选：D.
7. 三棱锥中，，均为边长为2的等边三角形，平面平面，则三棱锥的外接球表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，取中点，连接，则，，
由平面平面，平面平面，平面，平面，
得平面，平面，取的外心，的外心，
分别过作平面、平面的垂线交于点，即为球心，连接，
于是，四边形为平行四边形，，，
因此三棱锥的外接球半径，有，
所以三棱锥的外接球表面积.
故选：C
8. 函数，，若存在正数，使得，则的最小值为（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】B
【解析】因为，则，
由题意可得：，
整理可得，即，
又因为在内单调递减，则在内单调递减，
可得，则，
构建，可得，
当时，；当时，；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则，所以的最小值为.
故选：B.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 为了探讨学生的物理成绩与数学成绩之间的关系，从某批学生中随机抽取10名学生的成绩，并已计算出，物理成绩关于数学成绩的线性回归方程为，下列说法正确的有（ ）
A.
B. 相关系数
C. 样本数据的残差为
D. 当某学生数学成绩为100时，物理成绩一定为92.5
【答案】ABC
【解析】对于选项A：因为线性回归方程必过样本中心点，
由题意可得：，故A正确；
对于选项B：因为，即线性回归方程为的图象是上升的，
可知与满足正相关，所以相关系数，故B正确；
对于选项C：令，可得，
所以样本数据的残差为，故C正确；
对于选项D：令，可得，
但回归方程只能用于预测结果，并不一定与实际结果完全相等，
所以预测物理成绩为92.5，故D错误；
故选：ABC.
10. 已知的展开式第6项和第8项的二项式系数相等，下列说法正确的有（ ）
A. B. 第3项的系数为66
C. 展开式中有理项共有3项D. 奇数项系数和为
【答案】AC
【解析】因为展开式第6项和第8项的二项式系数相等，可得,
所以,A选项正确；
第3项的系数为,B选项错误；
展开式的通项公式为,
当时，展开式中有理项共有3项，C选项正确；
展开式的奇数项系数和设为展开式的偶数项系数和设为,
则令,,
展开式的奇数项系数和为展开式的偶数项系数和为,
则令,,
所以奇数项系数和为,D选项错误.
故选：AC.
11. 已知函数,的定义域均为,若存在函数,使得函数,在上有,,，恒成立，则称，为一组“双向奔赴”函数.下列各组函数中，符合“双向奔赴”函数的有（ ）
A. ，，
B. ，，
C. ，，
D. ，，
【答案】BD
【解析】由题意可知：，，
等价于，；
且，，
等价于，.
对于选项A：因为，，
则在内的值域为，
可知不存在，使得恒成立，不符合“双向奔赴”函数，故A错误；
对于选项B：因为，
对于，则，可知在内单调递减，
且当趋近于时，趋近于0，可知；
对于，则且，
可知当，满足题意，
所以符合“双向奔赴”函数，故B正确；
对于选项C：因为，，则，
对于，，，
取特值，可知，
不合题意，即不符合“双向奔赴”函数，故C错误；
对于选项D：因为，，，
对于，此时，
可得，且；
对于，此时，
可得，，
可知当，满足题意，
所以符合“双向奔赴”函数，故D正确；
故选：BD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 随机变量，，若，则___________.
【答案】
【解析】因为，可知，
若，
可得，
所以.
故答案为：.
13. 已知，过点作的切线，若切线斜率为1，则______.
【答案】3
【解析】因为，则，
设切点坐标为，切线斜率，
由题意可知，
显然当时，则，
可得，不合题意，可知，
令，则，
可知在内单调递增，且，
所以关于的方程的根为，
即切点坐标为，切线斜率，则切线方程为，
所以.
故答案为：3.
14. 已知甲､乙两袋中装有除颜色外其它完全相同的小球，甲袋中有1只白球和3只红球，乙袋中有2只白球和3只红球，先从甲袋中取2只球放入乙袋，再从乙袋中取2只球，则从乙取出的2只球都是红球的概率为______.
【答案】
【解析】设从甲袋中取出2个球有（）个红球为事件，从乙取出的2只球都是红球为事件，
则，，
，，
所以
故答案为：
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知，为常数.
（1）若，求在上的单调区间；
（2）若，在上的最小值为，求的值.
解：（1）若，则，可得，
且，令，可得；令，可得；
所以在上的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）由题意可得：，
若，，则，可得，
可知在上单调递减，
则在上最小值为，解得.
16. 我国探月工程亦称“嫦娥工程”，2024年6月3日，嫦娥六号完成了人类首次月球背面智能采样工作，并于6月下旬携带月球样品返回地球，为人类进一步研究和利用月球资源提供了保证.为了解不同性别的学生对探月工程的关注程度（“十分关注”与“比较关注”），某校随机抽取男生和女生各50名进行调查，数据表明：男生中有的同学“十分关注”，女生中有的同学“十分关注”，其他学生都是“比较关注”.
（1）根据条件，列出列联表，并判断是否有的把握认为对探月工程的关注程度与性别有关；
（2）在以上“十分关注”的学生中运用分层抽样的方法抽取10人组成科技兴趣小组，再在这10人中随机抽取3人进行重点培训，求这3人中至少有2名男生的概率.
附：，其中.
解：（1）由题意可知：“十分关注”的男、女生人数分别为、；
据此可得列联表，
可得，
所以有的把握认为对探月工程的关注程度与性别有关.
（2）因为抽取的男、女生人数分别为、，
这3人中至少有2名男生的概率.
17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，.
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）求点到平面的距离.
解：（1）因为平面，平面，则，
又因为为矩形，则，且，平面，可得平面，且平面，所以平面平面.
（2）由题意可知：平面，且，如图，以A为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，
设，
由题意可得，解得，
则，
可得，
设平面的法向量为，则，
令，则，可得；
设平面的法向量为，则，
令，则，可得；
则，
由题意可知：二面角为钝角，所以二面角的余弦值为.
（3）设平面的法向量为，则，
令，则，可得，
所以点到平面的距离.
18. 一只不透明的口袋中放有形状､大小完全相同的4个黑球和2个白球，若每次摸一个球后，观察其颜色，再放回袋中，摸到黑球得1分，摸到白球得分，用随机变量表示k次摸球后得1分的总次数，用随机变量X表示k次摸球后总得分.
（1）若摸球100次.
①求的数学期望；
②求X的数学期望；
（2）当摸球次数k为何值时，的概率取得最大值.
解：（1）①由题意可知：
每次摸到黑球的概率均为，即得1分的概率均为，
则，所以的数学期望；
②因为，
所以X的数学期望.
（2）设摸到白球的次数为，则摸到黑球的次数为，则，
则，
由题意可得：，
解得，且，可得，
所以当摸球次数时，的概率取得最大值.
19. 已知函数.
（1）若在其定义域内单调递增，求实数取值范围；
（2）若.
①是否存在实数使得的图象为轴对称图形，若存在，求的值，若不存在，说明理由；
②函数在上有且仅有一个极值点，求正实数取值范围.
解：（1）由题可知，，
令，解得，则得定义域为，
，由题意知对恒成立，
即，对恒成立，令，
则根据二次函数性质知在上单调递增，在上单调递减.
则有，.
（2）①定义域为，猜测对称轴为，此时，下证结论成立.
，
存在，使得关于对称.
②定义域为，
，
令，，
当时，在上单调递增，.
若，则有，此时在上单调递减，无极值，
若，
当时，，
，
又在上单调递增，，使得.
且有时，时，
则为的唯一极值点.
综上，.0.100
0.050
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
十分关注
比较关注
总计
男生
45
5
50
女生
30
20
50
总计
75
25
100