山东省济南市市中区2024年九年级中考二模数学试卷（解析版）

这是一份山东省济南市市中区2024年九年级中考二模数学试卷（解析版），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】根据主视图与左视图为矩形可以判断出是柱体，根据俯视图是三角形判断出这个几何体是三棱柱．
故选：D．
2. 中国信通院预计未来年内将实现的个人终端应用和数字内容的创新突破，预计2025年全球移动用户数将突破57亿户．数据57亿用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】，
故选：C．
3. 将含角的直角三角板按如图所示摆放，直角顶点在直线m上，其中一个锐角顶点在直线n上．若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴ ，
故选：C．
4. 如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧，点对应的实数分别是，下列结论一定成立的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由数轴可知，，，
A、，，，故选项A不符合题意；
B、，，故选项B不符合题意；
C、，，故选项C不符合题意；
D、，，故选项D符合题意；
故选：D．
5. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一．为弘扬优秀传统文化，某中学开展了“剪纸进校园，文化共传承”的项目式学习，下列剪纸作品的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；
C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
故选：B．
6. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】A、，故本选项符合题意；
B、与不能合并，故本选项不符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项不符合题意．
故选：A．
7. 在同一平面直角坐标系中，函数和的图像大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】当时，一次函数经过第一、二、三象限，反比例函数位于第一、三象限；
当时，一次函数经过第一、二、四象限，反比例函数位于第二、四象限；
故选：D．
8. 寒假期间，学校准备从甲、乙、丙、丁四位老师中随机选择两位老师参加培训，则选择的两位老师中恰好有甲老师的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】画树状图得：
∵共有种等可能的结果，选中甲老师的有种情况，
∴选择两位老师中恰好有甲老师的概率为：．
故选C．
9. 如图，在中，以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别与交于两点；分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线与交于点；分别以为圆心，以大于的长为半爸作弧，两弧交于点，连接与交于点，连接．若，则以下结论错误的是（ ）
A. B.
C. D. 的周长为
【答案】B
【解析】根据作图过程可知：平分，
，
，，，
，
，
．
故选项A不符合题意；
，
，
故选项B符合题意；
根据作图过程可知：是的垂直平分线，
，，
，，
故选C不符合题意；
，，
的周长，故选项D不符合题意；
故选：B．
10. 抛物线，将其图象在轴下方的部分沿轴翻折，其余部分保持不变，组成图形是上的任意一点，当时，的最大值记为，则取得最小值时，的值为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】①当时，对称轴在轴的左侧或者轴．所给选项无，所以以对称轴在轴左侧为例，画出图形．
由图象可得：当时，
∴当取的最小值时，最小，即.
②当时，对称轴在轴的右侧．
当时，．
当时，
图象的最高点为顶点．
，．
或不合题意，舍去．
取得最小值时，的值为．
故选：C．
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．填空题请直接填写答案）
11. 因式分解：=_____．
【答案】
【解析】原式=(a+2b)(a-2b)．
12. 如图，为测量一个“泉”字的面积，某同学将该“泉”字贴在一个边长为的正方形内．现将米粒随机撒到贴有“泉”字的正方形内，经过大量重复试验，发现米粒落在“泉”字区域的频率稳定在常数0.4附近，由此可估计这个“泉”字的面积是_______．
【答案】
【解析】由频率估计概率的知识可得：米粒落在“泉”字区域的概率约为，
所以“泉”字的面积约为．
13. 若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】∵关于的一元二次方程没有实数根，且，
∴，即，
故答案为：．
14. 如图，正六边形的边长为2，以A为圆心，的长为半径画弧，得弧，连结，则图中阴影部分的面积为______．
【答案】
【解析】∵正六边形的边长为2，
∴，，
∵，
∴，
过B作于H，
∴，，
在中，，
∴，
同理可证，，
∴，
∴，
∴图中阴影部分的面积为，
故答案为：．
15. 甲、乙两人沿同一条路线登山，登山过程中，甲、乙两人距地面的高度(米)与登山时间(分)之间的函数图象如图所示．乙中途提速，提速后乙登山速度为甲登山速度的3倍，则乙追上甲时，乙距地面的高度为_______米．
【答案】
【解析】甲的速度(米/分)，则乙提速后的速度为(米/分)．
设分时乙追上甲．
当乙追上甲时，二人距地面的高度相等，得，解得，
(米)，
∴乙追上甲时，乙距地面的高度为米．
16. 在菱形中，为菱形内部一点，且，连接，点F为中点，连接，点G是中点，连接，则的最大值为_______．
【答案】
【解析】如图所示：连接交于点，连接，取的中点，连接和，
∵在菱形中，为中点，为中点，，
∴，
当、、、共线时，也为，
∵为中点、为中点，
∴，
∵菱形中，且，，
∴，，，
∴，
∴．
∴，
∴，
∵．
∴，
∴的最大值为．
三、解答题（本大题共10个小题，共86分，解答题请写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：.
解：．
18. 解不等式组，并写出它的所有整数解．
解：，
由①得：得，
由②得：得，
所以不等式组的解集是：，
则不等式组的整数解是：．
19. 已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且．求证：BE＝DF．
证明：∵四边形是平行四边形，
∴ ，
∴∠∠，
∵，
∴∠∠，
∵∠°-∠，∠=°-∠，
∴∠∠，
，∴△≌△，∴．
20. 图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线表示固定支架，垂直水平桌面于点，点为旋转点，可转动，当绕点顺时针旋转时，投影探头始终垂直于水平桌面，经测量：，，，．
（1）如图2，当时，，求投影探头的端点到桌面的距离；
（2）如图3，将（1）中的绕点顺时针旋转，当时，投影探头是否会与桌面OE发生碰撞？请说明理由．
（结果精确到，参考数据，，，，）
解：（1）延长交于点，
，，
，
在中，，，
，
，，
投影探头的端点到桌面的距离，
投影探头的端点到桌面的距离约为；
（2）投影探头不会与桌面发生碰撞，
理由：过点作，交的延长线于点，
由题意得：，
，
，
在中，，
，
，
投影探头的端点到桌面的距离．
投影探头不会与桌面发生碰撞．
21. 某校为提高学生对地震灾害的自救意识，开展了关于地震自救知识的竞赛，现从该校七、八年级中各抽取20名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（x表示竞赛成绩，x取整数）：A．；B．；C．；D．，下面给出了部分信息：
七年级抽取20名学生的竞赛成绩在B组中的数据为：，
八年级抽取20名学生的竞赛成绩数据为：，．
七年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
（1）七年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图中B组对应扇形的圆心角为______度；
（2）请补全八年级抽取的学生竞赛成绩条形统计图；
（3）统计表中的____________；
（4）该校七年级有1000人，八年级有1200人参加了此次竞赛活动，请估计参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数是多少？
解：（1）七年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图中组对应扇形的圆心角为360°×=126°，
故答案为：；
（2）八年级成绩在组的人数为（人），
补全八年级抽取的学生竞赛成绩条形统计图，
（3）七年级成绩中第、个数据分别为、，
所以其中位数
八年级成绩中出现次，次数最多，
所以其众数，
故答案为：、；
（4）
（人），
答：估计参加此次竞赛活动成绩优秀（）的学生人数是1380人．
22. 如图，内接于为的直径，过点D的切线交的延长线于点E．
（1）求证：；
（2）若的半径长为，求的长．
（1）证明：是的直径，
，
，
是的切线，
，
，
，
；
（2）解：，
中，，
，
，，即，
解得．
23. 为丰富学生的大课间活动，某中学准备从体育用品商场购买若干个足球和篮球．已知篮球的单价是足球的单价的3倍，购买足球共花费750元，购买篮球共花费900元，购买足球的数量比购买篮球的数量多15个．
（1）求足球和篮球的单价分别是多少元？
（2）为满足学生需求，学校准备再次购买足球和篮球共20个，但要求总费用不超过1350元，最多能购买篮球多少个？
解：（1）设足球的单价是元，则篮球的单价是元，
由题意得，，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
则（元）；
答：足球的单价是元，篮球的单价是元；
（2）设可以购买个篮球，则可以购买个足球，
由题意得：，
解得：，
为正整数，
的最大整数解为．
答：最多能购买篮球个．
24. 探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．数学兴趣小组的同学们准备结合已有的学习函数的经验，画出函数的图象并探究该函数的性质，
（1）【图象初探】列表，写出表中的值：______，______；并观察表格中数据的特征，在所给的平面直角坐标系中补全该函数的图象．
（2）【性质再探】观察函数图象，下列关于函数的结论正确的是_______．
①函数的图象关于y轴对称．②函数的图象不经过第三、四象限．③当时，函数有最大值，最大值为6．④在自变量的取值范围内，函数y的值随自变量x的增大而增大．
（3）【学以致用】写出直线与函数有两个交点时，a的取值范围，并说明理由．
解：（1）当时，，当时，，即：，，
补全该函数的图象如下：
故答案为：，；
（2）由表格中的数据知：图象关于轴对称，故①是正确的；
∵，
∴，
∴图象不经过三、四象限，故②是正确的；
∵，
∴，
∴的最大值为6；
由图象得，当时，随的增大而减小，故④是错误的；
故答案为：①②③；
（3）类比函数，作出的图象如图所示，
由图象可知，函数的函数值的取值范围为，
结合图象可知，直线与函数有两个交点时，．
25. 如图，已知，抛物线交x轴于点A、点B，交y轴于点C．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．过点P作轴，垂足为点交于点Q．过点P作垂足为点N．
（1）求抛物线的解析式和点B的坐标；
（2）①请用含m的代数式表示线段的长______；
②连接，在第一象限的抛物线上是否存在点P，使得？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由；
（3）连接，若为等腰三角形，请直接写出m的值．
解：（1）抛物线经过两点，
将代入抛物线得，
，解得，
抛物线的函数关系式为，
令，得到，
解得（舍），，则B点坐标为；
（2）①设直线的解析式为，
由点的坐标得，解得，
直线的表达式为：，
设点 ，则点，
则，
而 则 ，
因为，，
则 ，
则 ，
故答案为：；
②存在．
如图，过点C作，交直线于D，
，
四边形是矩形，
，
，
，
当时，则，，
由①知，，，
化简得，解得，
点P是第一象限内抛物线上的一个动点，
．
（3）或．
点的坐标分别为，
解析式
则
①当时，如图1，
图1
则，
，
，，
由勾股定理得，，
解得或（舍去），；
②当时，如图2，
图2
，，由勾股定理得，
即，
（，放舍去），
③当时，点Q在的垂直平分线上，
，∴点B在的垂直平分线上，
∴点Q和点B重合，不符合题意，这种情况不存在．
综上，为等腰三角时，或．
26. 综合探究
（1）如图1，在等边中，点D为边上一动点，交于点E，将绕点D顺时针旋转，得到，连接．则与的数量关系是______；的度数为______度．
（2）如图2，在中，，点D为边上一动点；交于点E，当时，求的值．
（3）如图3，在等边中，D是边上一动点，连接，将绕点D顺时针旋转，得到，连接．取的中点F，连接．若，请直接写出线段的长．
解：（1）∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵将绕点D顺时针旋转得到，
∴，
∴，且，
∴，
∴，
∴，
故答案为；
（2）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，且，
∴，
，
∵，
∴，
，
．
（3）过点D作交于点G，延长至 H，使得， 连接．
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴；
又∵等边中，，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴
∴，
由旋转的性质可得，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．年级
平均分
中位数
众数
七年级
91.5
a
93
八年级
91.5
93
b
x
0
1
2
3
4
y
…
3
6
a
b