江苏省南京市鼓楼区2023-2024学年高二下学期6月期末考试数学试卷（解析版）

这是一份江苏省南京市鼓楼区2023-2024学年高二下学期6月期末考试数学试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，，所以.
故选：B.
2. 已知随机变量，且，那么的值为（ ）
A 0.2B. 0.32C. 0.4D. 0.8
【答案】A
【解析】随机变量，，
则.故选：A.
3. 一批零件共有10个，其中有3个不合格品，从这批零件中随机抽取2个进行检测，则恰有1个不合格品的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意可知：恰有1个不合格品的概率为.
故选：C.
4. 关于x的不等式的解集为，则实数a的值为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】C
【解析】由解得，即关于x的不等式的解集为，
由题意可得，解得.
故选：C.
5. 在的展开式中，含的系数为（ ）
A. 1B. C. 6D.
【答案】D
【解析】的展开式的通项为，
令，解得，
所以含的系数为.
故选：D.
6. “”是“函数在上单调递减”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为函数的图象开口向上，对称轴为，
若函数在上单调递减，等价于，
显然是的真子集，
所以“”是“函数在上单调递减”的充分不必要条件.
故选：A.
7. 从0，1，2，，9这10个数字中选出3个不同的数字组成三位数，其中大于130的共有（ ）
A. 520个B. 631个C. 632个D. 647个
【答案】B
【解析】（1）若百位数大于1，此时三位数均符合题意，共有个；
（2）若百位数为1，则有：
①若十位数大于3，此时三位数均符合题意，共有个；
②若十位数为3，符合题意的三位数共有个；
综上所述：共有个.故选：B.
8. 三棱锥满足，二面角的大小为，，，，则三棱锥外接球的体积为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】设，则，
因为
，
所以，
解得：，
即，可知，
过作，连接，
则，
可知，且二面角的平面角为，
则为等边三角形，
即，
设，因为，
即，
解得：或，
可知点与点A重合或与点B重合，两者是对称结构，不妨取点E与点A重合，
则，，由，平面，
则平面，
且为二面的平面角，可知为等边三角形，
可将三棱锥补充直棱柱，如图所示，
为底面正的外心，即，
为的外接球球心，可知，且，
则三棱锥的外接球半径，
所以外接球的体积.
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分．
9. 若，，且，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】因为，，且，即，
对于选项A：可得，解得，故A正确；
对于选项B：由选项B可知，
所以，故B正确；
对于选项C：因为，当且仅当时，等号成立，故C正确；
对于选项D：因为，当且仅当时，等号成立，故D错误；
故选：ABC.
10. 如图，A，B为平面外的点，点A，B在平面上的射影分别为点，，点B不在直线上，为平面内的向量，则下列命题中正确的是（ ）
A. 若，则
B.
C. 若存在实数，使，则与共线
D. 若M是直线AB上不同于A，B的点，则存在有序实数组，使得
【答案】ABD
【解析】对于A，根据射影概念，知道，，若，，
则面，面，则成立，故A正确．
对于B，，故B正确．
对于C，若，则和共线，则与可能相交，故C错误．
对于D，若M是直线AB上不同于A，B的点，则Ｍ与四个点都是共面的，且不共线，可以作为面的一组基底，
则由平面的基本定理，可知存在有序实数组，使得，故D正确．
故选：ABD.
11. 某计算机程序每运行一次都随机出现一个十位二进制数（例如1010101010），已知出现“0”的概率为，出现“1”的概率为，记，则当程序运行一次时（ ）
A. X服从二项分布B.
C. D.
【答案】AC
【解析】由二进制数A的特点知，每一个数位上的数字只能填0，1且每个数位上的数字互不影响，
故X的可能取值有，且的取值表示1出现的次数，
由二项分布的定义可得：，故A正确.
故，故B错误；
因为，所以，，
故C正确，D错误．
故选：AC．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. “，”为真命题，请写出一个满足条件的实数a的值________．
【答案】5（答案不唯一）
【解析】若，则，
当时，不等式可化为，
解得，此时不等式的解集为，不合题意，
当时，不等式可化为，
此时不等式的解集为，符合题意，
当时，由不等式的解集为，
可得，即，
即，解得或，
综上可知，实数a的取值范围是，
所以一个满足条件的实数a的值可以为：5.
故答案为：5.
13. 在正方体中，F是BC的中点，点E在棱上，且，则直线与平面所成角的正弦值为________．
【答案】
【解析】以为坐标原点,分别以为轴，轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体的边长为4，则，
所以
设平面的一个法向量为，所以，
所以，解得,
设直线与平面所成角为，
因为，
所以.
14. 初等数论中的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明．四平方和定理的内容是：任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数．设，其中a，b，c，d均为自然数，则满足条件的有序数组的个数是________．（用数字作答）
【答案】36
【解析】显然均为不超过5的自然数，下面进行讨论，
最大数为5的情况：
，此时共有种情况，
，此时共有种情况；
最大数为4的情况：
，此时共有种情况；
当最大数为3时，，没有满足题意的情况；
由分类加法计数原理，满足条件的有序数组的个数是.
故答案为：36．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1～6月份每月5日的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：
该兴趣小组确定的研究方案是：先从这6组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．
（1）若选取的是1月与6月的两组数据,请根据2～5月份的数据（其中,,），求出y关于x的线性回归方程；
（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，问：该小组所得线性回归方程是否理想？
附：，．
解：（1）因为，，则，
可得，
所以y关于x的线性回归方程为.
（2）由（1）可得：，
当，，且；
当，，且；
可知由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，
所以得到的线性回归方程是理想的.
16. 已知函数，．
（1）求的最小值m；
（2）若,,且（m的值同（1）中的m值）,求证:．
解：（1）由题意可知：，
可知在1,+∞上单调递增，在上单调递减，
所以的最小值.
（2）由（1）可得，
因为，，则，，可得，，
由题意可知，
因为，则，
当且仅当即时等号成立，
所以．
17. 如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的菱形，是等腰直角三角形，且，，．
（1）求证：平面平面；
（2）求点C到平面的距离．
解：（1）如图，取的中点，连接，
因为是等腰直角三角形，且，
所以，
又四边形是边长为2的菱形，所以，，
又，，平面，
所以平面，
又平面，所以，
所以，
又，则，所以，
因为，平面，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面.
（2）由（1）可得，
所以在中，为边长是2的等边三角形，
则，，
设点C到平面的距离为，
由，得，
所以，所以，即点C到平面的距离为.
18. 某高校有A，B两个餐厅为学生们提供午餐与晚餐服务，张同学、李同学两人每天午餐和晚餐都在学校就餐，近一个月（30天）选择餐厅就餐情况统计如下：
假设张同学，李同学选择餐厅相互独立，用频率估计概率．
（1）计算某天张同学午餐去A餐厅用餐的情况下晚餐去B餐厅用餐的概率；
（2）记X为张同学和李同学两人在一天中就餐餐厅的个数，求X的分布列和数学期望；
（3）假设M表示事件“A餐厅推出优惠套餐”，N表示事件“某学生去A餐厅就餐”，已知，且推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率大，求证：．
解：（1）设事件C为“某天张同学午餐去A餐厅用餐的情况下晚餐去B餐厅用餐”，
因为30天中张同学午餐去A餐厅用餐的天数为，
午餐去A餐厅用餐且晚餐去B餐厅用餐的天数为，
所以．
（2）由题意可知：X的所有可能取值为1和2，
所以，
，
所以X的分布列为
X的数学期望．
（3）由题知，则
可知，
可得，
即，
所以，即
19. 在的展开式中，把，，，，叫做三项式系数．
（1）当时，写出三项式系数，，的值；
（2）类比二项式系数性质，探究，，，的等量关系，并给出证明；
（3）求的值．
解：（1）因为，
所以.
（2）类比二项式系数性质，三项式系数有如下性质：
，
因为，
所以，
上式左边的系数为，而上式右边的系数为，
由为恒等式，
得
（3）

，
其中系数为，
又，
而二项式的通项，
因为2024不是3的倍数，所以的展开式中没项，
由代数式恒成立，得
．
日期
1月5日
2月5日
3月5日
4月5日
5月5日
6月5日
昼夜温差
10
11
13
12
8
6
就诊人数y
23
25
29
26
16
13
选择餐厅情况（午餐，晚餐）
张同学
6天
9天
13天
2天
李同学
6天
6天
6天
12天
X
1
2
P