2025年四川省广安市岳池县中考数学二诊试卷

这是一份2025年四川省广安市岳池县中考数学二诊试卷，共37页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）227的相反数是（ ）
A．-227B．-722C．722D．227
2．（4分）截至2025年3月23日，中国动画电影《哪吒之魔童闹海》的全球票房（含预售及海外）已超15300000000元，位列全球影史票房榜第五位．将数据15300000000用科学记数法表示为（ ）
A．153×108B．1.53×109
C．1.53×1010D．0.153×1011
3．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a5＝a10B．2a•3a＝6a
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2D．（﹣3a2b3）2＝9a4b6
4．（4分）如图所示的这个几何体，下列图形不是这个几何体的三视图的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（4分）某班的5名同学1分钟跳绳的成绩（单位：次）分别为：179，130，192，158，141．这组数据的中位数是（ ）
A．130B．158C．160D．192
6．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝50°，AD∥BC，则∠1的度数为（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
7．（4分）某市开展“悦读书，与心共鸣”读书活动，甲、乙两位同学分别从距离活动地点1400m和900m的两地同时出发，参加活动．甲同学的速度是乙同学的1.1倍，乙同学比甲同学提前7min到达活动地点．若设乙同学的速度是x m/min，则下列方程正确的是（ ）
A．14001.1x-900x=7B．900x-14001.1x=7
C．9001.1x-1400x=7D．1400x-9001.1x=7
8．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝2，将Rt△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到Rt△DEC，点B经过的路径为BE，将线段AB绕点A顺时针旋转60°后，点B恰好落在CE上的点F处，点B经过的路径为BF，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．112π+3B．34π-32C．1712π-3D．112π+32
9．（4分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A，B（2，0），与y轴交于点C，对称轴为直线x＝﹣1．有下列四个结论：①9a﹣3b+c＜0；②4b+c＝0；③若点（x1，y1），（x2，y2）在抛物线上，当x1＞x2＞﹣1时，y1＜y2＜0；④若﹣6＜c＜﹣4，则-274＜a-b+c＜-92．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
10．（4分）分解因式：3a3﹣12a＝ ．
11．（4分）在平面直角坐标系中，点A（﹣2，m）和点B（n，3）关于y轴对称，则mn＝ ．
12．（4分）已知x＝﹣3是关于x的一元一次方程mx+2n＝5的解，则3m﹣2n的值为 ．
13．（4分）如图，点A，B，C，D在⊙O上，∠CAD＝32°，∠ABD＝46°，则∠ADC＝ ．
14．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，D是AB边上的动点（不与点A，B重合），过点D分别作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则EF的最小值为 ．
三、解答题（本大题共5小题，共44分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（12分）（1）计算：|1-3|+2cs30°-12+(π-3)0；
（2）先化简：a2-6a+9a-2÷(a+2-5a-2)，再从﹣3，﹣1，2，3中选取一个合适的数代入求值．
16．（7分）打造书香文化，培养阅读习惯，某校举行了以“礼、才、恩”为主题的读书活动，开展“我最喜欢的书籍”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：政史类，B：文学类，C：科技类，D：艺术类，E：其他类）．柳老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）此次被调查的学生人数共有 名，并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，C类所对应的扇形的圆心角度数是 ；
（3）甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一类，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一类，请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两位同学选择相同类别书籍的概率．
17．（7分）如图，矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F．求证：AE＝CF．
18．（9分）已知一次函数的图象与反比例函数y=kx(k≠0)的图象在第一象限交于点A（2，3）和点B（4，n），连接OA，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，OA的延长线与直线BD交于点C．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求△ABC的面积．
19．（9分）银杏是我国特有的树种，它被科学家誉为植物王国的“活化石”“植物界的大熊猫”，是世界上现存最古老的树种之一．实验中学操场边有一棵银杏树，九年级的张宇想利用所学知识测量这棵银杏树的高度．一天，他在阳光下竖直放了一根高1.8m的竹竿CD，利用测角仪从竹竿的影子边缘点F处测得竹竿的顶端点C处的仰角∠CFD＝37°，用卷尺测得银杏树的影长BE为12m，其中点B，E，D，F在同一条直线上，AB⊥BF，CD⊥BF．求这棵银杏树AB的高度．（参考数据：sin37°≈35，cs37°≈45，tan37°≈34）
四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
20．（4分）若m-3+(n+1)2=0，则nm的值为 ．
21．（4分）若关于x的方程2x+mx-3+x-23-x=2的解是非负数，则m的取值范围为 ．
22．（4分）对于实数a，b定义新运算：a※b＝ma2b﹣2a﹣1，例如：1※2＝m×12×2﹣2×1﹣1＝2m﹣3．若关于x的一元二次方程x※1＝0有两个相等的实数根，则m的值是 ．
23．（4分）如图，在平面直角坐标系中，过点A（﹣2，3）分别作AB⊥y轴于点B，AC⊥x轴于点C，反比例函数y=kx(k＜0，x＜0)的图象分别与AB，AC相交于E，F两点，连接OE，OF．若四边形AFOE的面积为4，则k的值为 ．
24．（4分）如图，在平面直角坐标系中，已知直线l的函数解析式为y＝x，点A1的坐标为(2，0)，以点O为圆心，OA1的长为半径画弧，交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交x轴于点A2；以点O为圆心，OA2的长为半径画弧，交直线l于点B2，过点B2作直线l的垂线交x轴于点A3；以点O为圆心，OA3的长为半径画弧，交直线l于点B3，过点B3作直线l的垂线交x轴于点A4，…，按照这样的规律进行下去，点A100的横坐标是 ．
五、解答题（本大题共3小题，共30分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
25．（8分）扎染古称“绞缬”，是我国一种古老的纺织品染色技艺．扎染工艺的发展带动了当地旅游相关产业的发展．某扎染坊第一次用3700元购进甲、乙两种布料共80件，其中两种布料的成本价和销售价如表：
（1）该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料各多少件？
（2）因热销，第一次购进的布料全部售完，该扎染坊第二次以相同的成本价再次购进甲、乙两种布料共100件．若此次购进甲种布料的数量不超过乙种布料数量的1.5倍，且以相同的销售价全部售完这批布料．设第二次购进甲种布料m件，第二次全部售完后获得的利润为W元．第二次应怎样进货，才能使第二次购进的布料全部售完后获得的利润最大？最大利润是多少元？
26．（10分）如图，BC为圆O的直径，已知AD⊥BC，点P在CB延长线上，AB平分∠PAD．
（1）求证：PA是圆O的切线；
（2）若tan∠PAB=12，圆的半径为5，求PA，PB的长．
27．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣6，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的函数解析式．
（2）P是直线BC下方抛物线对称轴的左侧抛物线上一动点，过点P分别作PD∥x轴，交抛物线于点D，作PE⊥BC于点E，求PD+2PE的最大值及此时点P的坐标．
（3）将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，在PD+2PE取得最大值的条件下，连接AP，交y轴于点M，平移后的抛物线上是否存在一点N，使得∠AMN＝90°？若存在，直接写出符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
2025年四川省广安市岳池县中考数学二诊试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
一、选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分。在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）
1．（4分）227的相反数是（ ）
A．-227B．-722C．722D．227
【分析】根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案．
【解答】解：227的相反数是-227．
故选：A．
【点评】本题考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答此题的关键．
2．（4分）截至2025年3月23日，中国动画电影《哪吒之魔童闹海》的全球票房（含预售及海外）已超15300000000元，位列全球影史票房榜第五位．将数据15300000000用科学记数法表示为（ ）
A．153×108B．1.53×109
C．1.53×1010D．0.153×1011
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：15300000000＝1.53×1010．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a5＝a10B．2a•3a＝6a
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2D．（﹣3a2b3）2＝9a4b6
【分析】运用相关知识求出各选项的结果后再进行判断即可．
【解答】解：运用相关知识逐项分析判断如下：
A．计算结果是a7，原选项计算错误，不符合题意；
B．计算结果是6a2，原选项计算错误，不符合题意；
C．计算结果是a2﹣2ab+b2，原选项计算错误，不符合题意；
D． （﹣3a2b3）2＝9a4b6，计算正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查同底数幂的乘法，单项式乘单项式，完全平方公式以及积的乘方和幂的乘方，熟练掌握以上知识点是关键．
4．（4分）如图所示的这个几何体，下列图形不是这个几何体的三视图的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据三视图的定义求解即可．
【解答】解：A是主视图，C是左视图，D是俯视图，
故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，熟记三视图是解题关键．
5．（4分）某班的5名同学1分钟跳绳的成绩（单位：次）分别为：179，130，192，158，141．这组数据的中位数是（ ）
A．130B．158C．160D．192
【分析】先将上述数据按照从小到大的顺序排列，根据中位数的定义可知：第3位的数据是中位数．
【解答】解：先将上述数据按照从小到大的顺序排列：130，141，158，179，192，
∴这组数据的中位数是158，
故选：B．
【点评】本题考查的是中位数，熟练掌握中位数的相关定义和计算方法是解题的关键．
6．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝50°，AD∥BC，则∠1的度数为（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
【分析】由三角形内角和定理求出∠C，再根据平行线的性质解答即可．
【解答】解：∵∠BAC＝60°，∠B＝50°，
∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣60°﹣50°＝70°，
∵AD∥BC，
∴∠1＝∠C＝70°，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形内角和定理和平行线的性质，掌握三角形内角和定理是解题的关键．
7．（4分）某市开展“悦读书，与心共鸣”读书活动，甲、乙两位同学分别从距离活动地点1400m和900m的两地同时出发，参加活动．甲同学的速度是乙同学的1.1倍，乙同学比甲同学提前7min到达活动地点．若设乙同学的速度是x m/min，则下列方程正确的是（ ）
A．14001.1x-900x=7B．900x-14001.1x=7
C．9001.1x-1400x=7D．1400x-9001.1x=7
【分析】根据两同学速度间的关系，可得出甲同学的速度是1.1x m/min，利用时间＝路程÷速度，结合乙同学比甲同学提前7min到达活动地点，即可列出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：∵甲同学的速度是乙同学的1.1倍，且乙同学的速度是x m/min，
∴甲同学的速度是1.1x m/min．
根据题意得：14001.1x-900x=7．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
8．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝2，将Rt△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到Rt△DEC，点B经过的路径为BE，将线段AB绕点A顺时针旋转60°后，点B恰好落在CE上的点F处，点B经过的路径为BF，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．112π+3B．34π-32C．1712π-3D．112π+32
【分析】根据直角三角形的性质和勾股定理可以求得AC和AB的长，再观察图形可知，S阴影＝S△ABC+S扇形CBE﹣S扇形ABF，然后代入数据计算即可．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝2，
∴∠ABC＝30°，
∴AC＝1，BC=AB2-AC2=22-12=3
由图可得，
S阴影＝S△ABC+S扇形CBE﹣S扇形ABF
=1×32+90π×(3)2360-60π×22360
=32+3π4-23π
=32+112π，
故选：D．
【点评】本题考查扇形面积的计算、勾股定理、直角三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
9．（4分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A，B（2，0），与y轴交于点C，对称轴为直线x＝﹣1．有下列四个结论：①9a﹣3b+c＜0；②4b+c＝0；③若点（x1，y1），（x2，y2）在抛物线上，当x1＞x2＞﹣1时，y1＜y2＜0；④若﹣6＜c＜﹣4，则-274＜a-b+c＜-92．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据所给二次函数图象，结合抛物线的对称性和增减性，对所给结论依次进行判断即可．
【解答】解：由题知，
因为抛物线与x轴的一个交点坐标为（2，0），且对称轴为直线x＝﹣1，
所以抛物线与x轴的另一个交点A的坐标为（﹣4，0），
则当x＝﹣3时，y＜0，
所以9a﹣3b+c＜0．
故①正确．
因为抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
所以-b2a=-1，
则b＝2a．
将点B（2，0）代入抛物线的解析式得，
4a+2b+c＝0，
所以4b+c＝0．
故②正确．
因为点（x1，y1），（x2，y2）在抛物线上，且x1＞x2＞﹣1，
所以y1＞y2．
故③错误．
由4b+c＝0，b＝2a得，
a=-18c，b=-14c，
所以a﹣b+c=-18c+14c+c=98c．
又因为﹣6＜c＜﹣4，
所以-274＜98c＜-92，
即-274＜a-b+c＜-92．
故④正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征及抛物线与x轴的交点，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
10．（4分）分解因式：3a3﹣12a＝ 3a（a+2）（a﹣2） ．
【分析】先提取公因式3a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：3a3﹣12a
＝3a（a2﹣4），
＝3a（a+2）（a﹣2）．
故答案为：3a（a+2）（a﹣2）．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
11．（4分）在平面直角坐标系中，点A（﹣2，m）和点B（n，3）关于y轴对称，则mn＝ 6 ．
【分析】关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，由此可得m，n的值，进而可得答案．
【解答】解：∵点A（﹣2，m）和点B（n，3）关于y轴对称，
∴m＝3，n＝﹣（﹣2）＝2，
∴mn＝3×2＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟练掌握关于y轴对称的点的坐标特征是解答本题的关键．
12．（4分）已知x＝﹣3是关于x的一元一次方程mx+2n＝5的解，则3m﹣2n的值为 ﹣5 ．
【分析】把x＝﹣3代入方程，可得﹣3m+2n＝5，再代入所求式子计算即可．
【解答】解：∵x＝﹣3是关于x的一元一次方程mx+2n＝5的解，
∴﹣3m+2n＝5，
∴3m﹣2n＝﹣（﹣3m+2n）＝﹣5．
故答案为：﹣5．
【点评】本题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
13．（4分）如图，点A，B，C，D在⊙O上，∠CAD＝32°，∠ABD＝46°，则∠ADC＝ 102° ．
【分析】根据圆周角定理得到∠CBD＝∠CAD＝32°，进而求出∠ABC，再根据圆内接四边形的性质计算即可．
【解答】解：由圆周角定理得：∠CBD＝∠CAD＝32°，
∵∠ABD＝46°，
∴∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝46°+32°＝78°，
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣78°＝102°，
故答案为：102°．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
14．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，D是AB边上的动点（不与点A，B重合），过点D分别作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则EF的最小值为 3 ．
【分析】证明四边形CFDE是矩形，得EF＝CD，再由垂线段最短可知，CD⊥AB时，线段CD的值最小，即线段EF的值最小，然后由含30°角的直角三角形的性质得CD=12BC＝3，即可得出结论．
【解答】解：如图，连接CD，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠DEC＝∠DFC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴四边形CFDE是矩形，
∴EF＝CD，
由垂线段最短可知，CD⊥AB时，线段CD的值最小，即线段EF的值最小，
∵∠B＝30°
∴此时CD=12BC＝3，
∴EF的最小值为3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短以及含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共5小题，共44分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（12分）（1）计算：|1-3|+2cs30°-12+(π-3)0；
（2）先化简：a2-6a+9a-2÷(a+2-5a-2)，再从﹣3，﹣1，2，3中选取一个合适的数代入求值．
【分析】（1）先根据数的开方法则，零指数幂及负整数指数幂的运算法则，特殊角的三角函数值分别计算出各数，再算加减即可；
（2）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x的值代入进行计算即可．
【解答】解：（1）|1-3|+2cs30°-12+(π-3)0
=3-1+2×32-23+1
=3-1+3-23+1
＝0；
（2）原式=(a-3)2a-2÷（a2-4a-2-5a-2）
=(a-3)2a-2•a-2(a+3)(a-3)
=a-3a+3，
∵（a+3）（a﹣3）≠0且a﹣2≠0，
∴a≠±3且a≠2，
则a＝﹣1，
所以原式=-1-3-1+3=-2．
【点评】本题考查的是分式的混合运算，实数的运算，熟记运算法则是解题的关键．
16．（7分）打造书香文化，培养阅读习惯，某校举行了以“礼、才、恩”为主题的读书活动，开展“我最喜欢的书籍”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：政史类，B：文学类，C：科技类，D：艺术类，E：其他类）．柳老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）此次被调查的学生人数共有 100 名，并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，C类所对应的扇形的圆心角度数是 144° ；
（3）甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一类，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一类，请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两位同学选择相同类别书籍的概率．
【分析】（1）用条形统计图中B的人数除以扇形统计图中B的百分比可得本次调查的学生人数；求出D类的人数，补全条形统计图即可．
（2）用360°乘以C类的人数所占的百分比，即可得出答案．
（3）列表可得出所有等可能的结果数以及甲、乙两位同学选择相同类别书籍的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）此次被调查的学生人数共有20÷20%＝100（名）．
D类的人数为100﹣10﹣20﹣40﹣5＝25（人）．
补全条形统计图如图所示．
故答案为：100．
（2）在扇形统计图中，C类所对应的扇形的圆心角度数是360×40100=144°．
故答案为：144°．
（3）列表如下：
共有9种等可能的结果，其中甲、乙两位同学选择相同类别书籍的结果有2种，
∴甲、乙两位同学选择相同类别书籍的概率为29．
【点评】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．
17．（7分）如图，矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F．求证：AE＝CF．
【分析】根据矩形的性质和全等三角形的判定与性质，可以求得DE＝BF，然后根据AD＝BC，即可得到AE＝CF．
【解答】证明：四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠EDO＝∠FBO，
∵点O为BD的中点，
∴OB＝OD，
在△EDO和△FBO中，
∠EDO=∠FDOOD=OB∠EOD=∠FOB，
∴△EDO≌△FBO（ASA），
∴DE＝BF，
∴AD﹣DE＝BC﹣BF，
∴AE＝CF．
【点评】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
18．（9分）已知一次函数的图象与反比例函数y=kx(k≠0)的图象在第一象限交于点A（2，3）和点B（4，n），连接OA，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，OA的延长线与直线BD交于点C．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求△ABC的面积．
【分析】（1）利用待定系数法求得反比例函数的解析式，进一步求得点B的坐标，然后再利用待定系数法求得因此函数的解析式；
（2）求得直线OA的解析式，进而求得点C的坐标，然后利用三角形面积公式求得即可．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y=kx(k≠0)的图象在第一象限交于点A（2，3）和点B（4，n），
∴k＝2×3＝4n，
∴k＝6，n=32，
∴反比例函数的解析式为y=6x，
把A（2，3），B（4，32）代入y＝ax+b得2a+b=34a+b=32，
解得a=-34b=92，
∴一次函数的解析式为y=-34x+92；
（2）∵A（2，3），
∴直线OA的解析式为y=32x，
∵过点B作BD⊥x轴，垂足为D，OA的延长线与直线BD交于点C，
∴C点的横坐标为4，
∴当x＝4时，y=32x=6，
∴C（4，6），
∴BC＝6-32=92，
∴S△ABC=12×92×(4-2)=92．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，因此函数图象上点的坐标特征，三角形面积，掌握待定系数法以及求得交点坐标是解题的关键．
19．（9分）银杏是我国特有的树种，它被科学家誉为植物王国的“活化石”“植物界的大熊猫”，是世界上现存最古老的树种之一．实验中学操场边有一棵银杏树，九年级的张宇想利用所学知识测量这棵银杏树的高度．一天，他在阳光下竖直放了一根高1.8m的竹竿CD，利用测角仪从竹竿的影子边缘点F处测得竹竿的顶端点C处的仰角∠CFD＝37°，用卷尺测得银杏树的影长BE为12m，其中点B，E，D，F在同一条直线上，AB⊥BF，CD⊥BF．求这棵银杏树AB的高度．（参考数据：sin37°≈35，cs37°≈45，tan37°≈34）
【分析】由相似三角形的判定方法可证△CDF∽△ABE，由相似三角形的性质得CDAB=DFBE，即可求解．
【解答】解：∵一根高1.8m的竹竿CD，利用测角仪从竹竿的影子边缘点F处测得竹竿的顶端点C处的仰角∠CFD＝37°，用卷尺测得银杏树的影长BE为12m，CD⊥BF，
∴∠CDF＝90°，
∴tan∠CFD=CDDF，即1.8DF≈34，
解得：DF＝2.4，
由题意，得CF∥AE，AB⊥BF，
∴∠CFD＝∠AEB，∠CDF＝∠ABE，
∴△CDF∽△ABE，
∴CDAB=DFBE，
∵BE＝12m，
∴1.8AB=2.412，
解得：AB＝9，
答：这棵银杏树AB的高度9m．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握锐角三角形函数的定义．
四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
20．（4分）若m-3+(n+1)2=0，则nm的值为 ﹣1 ．
【分析】根据非负数的性质列式求出m、n的值，然后相乘即可．
【解答】解：根据题意得，m﹣3＝0，n+1＝0，
解得m＝3，n＝﹣1，
所以nm＝（﹣1）3＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
21．（4分）若关于x的方程2x+mx-3+x-23-x=2的解是非负数，则m的取值范围为 m≥﹣8且m≠﹣5 ．
【分析】先根据解分式方程的方法，求出x＝m+8，然后再根据分式方程的解是非负数，结合分式有意义的条件，可得出m+8≥0m+8≠3，由此解答即可．
【解答】解：2x+mx-3+x-23-x=2，
方程两边同时乘（x﹣3），得2x+m﹣（x﹣2）＝2（x﹣3），
去括号，得2x+m﹣x+2＝2x﹣6，
解得：x＝m+8．
∵关于x的方程2x+mx-3+x-23-x=2的解是非负数，
∴m+8≥0m+8≠3，
解得：m≥﹣8且m≠﹣5．
故答案为：m≥﹣8且m≠﹣5．
【点评】本题考查了分式方程的解，分式有意义的条件，解一元一次不等式，掌握分式方程的解的定义，分式有意义的条件，解一元一次不等式的方法是解题的关键．
22．（4分）对于实数a，b定义新运算：a※b＝ma2b﹣2a﹣1，例如：1※2＝m×12×2﹣2×1﹣1＝2m﹣3．若关于x的一元二次方程x※1＝0有两个相等的实数根，则m的值是 ﹣1 ．
【分析】根据新运算列出一元二次方程，根据方程有2个相等的实数根，得到Δ＝0，进行求解即可．
【解答】解：a※b＝ma2b﹣2a﹣1，
∴x※1＝mx2﹣2x﹣1＝0，
∵方程有2个相等的实数根，
∴Δ＝4+4m＝0，
∴m＝﹣1；
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查定义新运算，根的判别式，根据题意得出关于x的一元二次方程是解题的关键．
23．（4分）如图，在平面直角坐标系中，过点A（﹣2，3）分别作AB⊥y轴于点B，AC⊥x轴于点C，反比例函数y=kx(k＜0，x＜0)的图象分别与AB，AC相交于E，F两点，连接OE，OF．若四边形AFOE的面积为4，则k的值为 ﹣2 ．
【分析】根据反比例函数k值的几何意义解答即可．
【解答】解：∵点A（﹣2，3），作AB⊥y轴于点B，AC⊥x轴于点C，
∴S矩形ABOC＝2×3＝6，
∵点E、F在反比例函数图象上，
∴|k|＝S△FOC+S△EOB ＝S矩形ABOC﹣S四边形AFOE＝6﹣4＝2．
∵反比例函数图象在第二象限，
∴k＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了反比例函数k值的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是关键．
24．（4分）如图，在平面直角坐标系中，已知直线l的函数解析式为y＝x，点A1的坐标为(2，0)，以点O为圆心，OA1的长为半径画弧，交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交x轴于点A2；以点O为圆心，OA2的长为半径画弧，交直线l于点B2，过点B2作直线l的垂线交x轴于点A3；以点O为圆心，OA3的长为半径画弧，交直线l于点B3，过点B3作直线l的垂线交x轴于点A4，…，按照这样的规律进行下去，点A100的横坐标是 250 ．
【分析】作B1H⊥x轴于点H，依次求出OA2，OA3，OA4，找出规律即可解决．
【解答】解：已知直线l的函数解析式为y＝x，点A1的坐标为(2，0)，如图，作B1H⊥x轴于点H，
∴OH＝B1H，
∴∠B1OH＝45°，
∵OA1＝OB1，
∴OB1=OA1=2，
由条件可知OB1=B1A2=2，
由勾股定理得：OA2=2OB1=2OA1=2，
∴A2（2，0），
同理，OA2＝OB2＝B2A3＝2，
∴OA3=2OA2=22=(2)3，
同理，OA4=(2)4，
OA5=(2)5，
⋯⋯，
∴OA100=(2)100=250，
即点A100的横坐标是250，
故答案为：250．
【点评】本题考查规律型：点的坐标，正比例函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是熟练掌握一次函数的性质．
五、解答题（本大题共3小题，共30分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
25．（8分）扎染古称“绞缬”，是我国一种古老的纺织品染色技艺．扎染工艺的发展带动了当地旅游相关产业的发展．某扎染坊第一次用3700元购进甲、乙两种布料共80件，其中两种布料的成本价和销售价如表：
（1）该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料各多少件？
（2）因热销，第一次购进的布料全部售完，该扎染坊第二次以相同的成本价再次购进甲、乙两种布料共100件．若此次购进甲种布料的数量不超过乙种布料数量的1.5倍，且以相同的销售价全部售完这批布料．设第二次购进甲种布料m件，第二次全部售完后获得的利润为W元．第二次应怎样进货，才能使第二次购进的布料全部售完后获得的利润最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）分别设该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料的件数分别为未知数，根据题意列二元一次方程组并求解即可；
（2）根据题意，列关于m的一元一次不等式并求其解集，写出W关于m的函数关系式，根据一次函数的增减性和m的取值范围，确定当m取何值时W值最大，求出其最大值和此时100﹣m的值即可．
【解答】解：（1）设该扎染坊第一次购进甲种布料x件，购进乙种布料y件．
根据题意，得x+y=8060x+40y=3700，
解得x=25y=55．
答：该扎染坊第一次购进甲种布料25件，购进乙种布料55件．
（2）根据题意，得m≤1.5（100﹣m），
解得m≤60，
W＝（100﹣60）m+（70﹣40）（100﹣m）＝10m+3000，
∵10＞0，
∴W随m的增大而增大，
∵m≤60，
∴当m＝60时W值最大，W最大＝10×60+3000＝3600，
100﹣60＝40（件）．
答：第二次购进甲种布料60件、乙种布料40件全部售完后获得的利润最，最大利润是3600元．
【点评】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组、一元一次不等式的解法和一次函数的增减性是解题的关键．
26．（10分）如图，BC为圆O的直径，已知AD⊥BC，点P在CB延长线上，AB平分∠PAD．
（1）求证：PA是圆O的切线；
（2）若tan∠PAB=12，圆的半径为5，求PA，PB的长．
【分析】（1）连接OA，则∠AOB＝2∠C，由AD⊥BC，根据垂径定理得DB=AB，所以∠DAB＝∠C，则∠PAD＝2∠DAB＝2∠C，所以∠PAD＝∠AOB，则∠OAP＝∠PAD+∠OAD＝∠AOB+∠OAD＝90°，即可证明PA是⊙O的切线；
（2）由∠BAC＝90°，∠PAB＝∠DAB＝∠C，得ABCA=tanC＝tan∠PAB=12，可证明△PAB∽△PCA，得PAPC=PBPA=ABCA=12，则PC＝2PA，PA＝2PB，所以PC＝4PB，因为⊙O的半径为5，所以BC＝10，则PB+10＝4PB，求得PB=103，PA=203．
【解答】（1）证明：连接OA，则∠AOB＝2∠C，
∵BC为⊙O的直径，AD⊥BC，
∴DB=AB，∠AEC＝90°，
∴∠DAB＝∠C，
∵AB平分∠PAD，
∴∠PAD＝2∠DAB＝2∠C，
∴∠PAD＝∠AOB，
∴∠OAP＝∠PAD+∠OAD＝∠AOB+∠OAD＝90°，
∵OA是⊙O的半径，且PA⊥OA，
∴PA是⊙O的切线．
（2）解：∵∠BAC＝90°，∠PAB＝∠DAB＝∠C，
∴ABCA=tanC＝tan∠PAB=12，
∵∠PAB＝∠C，∠P＝∠P，
∴△PAB∽△PCA，
∴PAPC=PBPA=ABCA=12，
∴PC＝2PA，PA＝2PB，
∴PC＝4PB，
∵⊙O的半径为5，
∴BC＝2×5＝10，
∴PB+10＝4PB，
∴PB=103，
∴PA＝2×103=203，
∴PA的长为203，PB的长为103．
【点评】此题重点考查垂径定理、圆周角定理、切线的判定、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
27．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣6，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的函数解析式．
（2）P是直线BC下方抛物线对称轴的左侧抛物线上一动点，过点P分别作PD∥x轴，交抛物线于点D，作PE⊥BC于点E，求PD+2PE的最大值及此时点P的坐标．
（3）将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，在PD+2PE取得最大值的条件下，连接AP，交y轴于点M，平移后的抛物线上是否存在一点N，使得∠AMN＝90°？若存在，直接写出符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）直接运用待定系数法求解即可；
（2）如图：过P作PH∥x轴交直线BC于H，由二次函数的性质可得点C（0，﹣6），对称轴为x=-52；再通过证明△PHE是等腰直角三角形，即EH＝PE，进而得到PH=2PE；再运用待定系数法求得直线BC的解析式为y＝﹣x﹣6，设点P（p，p2+5p﹣6），则H（p，﹣p﹣6），进而得到PD+2PE=PD+PH=-（p2+8p）﹣5，然后运用配方法求最值即可解答；
（3）先直线AP的解析式为y＝﹣2x﹣2，再求得M（0，﹣2），然后确定平移后的抛物线解析式为y=(x+92)2-414；设N(n，(n+92)2-414)，再用两点间距离公式表示出AN2、MN2、AM2，然后再运用勾股定理列方程求得n即可解答．
【解答】解：（1）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣6，0）两点，将点A，点B的坐标分别代入得：
0=1+b+c0=36-6b+c，
解得：b=5c=-6，
∴抛物线的表达式为y＝x2+5x﹣6；
（2）如图1：过P作PH∥x轴交直线BC于H，
∵抛物线的表达式为y＝x2+5x﹣6，
∴点C（0，﹣6），对称轴为x=-52，
∴OC＝6，
∵B（﹣6，0），
∴OB＝6，
∴OB＝OC，即△BOC是等腰直角三角形，
∴∠OCB＝45°，
∵PH∥x轴，
∴∠PHC＝∠OCB＝45°，
∵PE⊥BC，
∴△PHE是等腰直角三角形，即EH＝PE，
由勾股定理得：PH=HE2+PE2=PE2+PE2=2PE，
设直线BC的解析式为y＝kx+b，将点B，点C的坐标分别代入得：
0=-6k+b-6=b，
解得：k=-1b=-6，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x﹣6，
设点P（p，p2+5p﹣6），则H（p，﹣p﹣6），
∴PD=2(-52-p)=-5-2p，PH＝﹣p﹣6﹣（p2+5p﹣6）＝﹣p2﹣6p，
∴PD+2PE=PD+PH
＝﹣5﹣2p+（﹣p2﹣6p）
＝﹣（p2+8p）﹣5
＝﹣（p+4）2+11，
∴当p＝﹣4，即P（﹣4，﹣10）时，PD+2PE的最大值为11．
∴PD+2PE的最大值为11，P（﹣4，﹣10）；
（3）平移后的抛物线上存在一点N，使得∠AMN＝90°；符合条件的点N的坐标为N（﹣8，2）或N(-32，-54)．理由如下：
如图2：设直线AP的解析式为y＝mx+n，
则0=m+n-10=-4m+n，
解得：m=2n=-2，
∴直线AP的解析式为y＝﹣2x﹣2，
∵连接AP交y轴于点M，
∴M（0，﹣2），
∵y=x2+5x-6=(x+52)2-494，抛物线沿射线CB方向平移22个单位，
∴将抛物线y=(x+52)2-494向左平移两个单位，向上平移两个单位得到平移后的函数解析式为：y=(x+52+2)2-494+2=(x+92)2-414，
设N(n，(n+92)2-414)，
∵M（0，﹣2），A（1，0），
∴AM2＝（1﹣0）2+[0﹣（﹣2）]2＝5，NM2=(n-0)2+[(n+92)2-414-(-2)]2=n2+[(n+92)2-334]2，NA2=(n-1)2+[(n+92)2-414-0]2=(n-1)2+[(n+92)2-414]2，
∵∠AMN＝90°，
∴AN2＝MN2+AM2，
∴(n-1)2+[(n+92)2-414]2=n2+[(n+92)2-334]2+5，
整理得：2n2+19n+24＝0，解得：n=-32或﹣8，
将n=-32、n＝﹣8代入(n+92)2-414分别得到-54，2，
综上所述，符合条件的点N的坐标为N（﹣8，2）或N(-32，-54)．
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了求二次函数解析式、二次函数与线段的综合、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用所学知识成为解题的关键．
单价
类别
成本价/（元/件）
销售价/（元/件）
甲种布料
60
100
乙种布料
40
70
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
答案
A．
C．
D
B
B
C
A
D
C
B
C
D
A
（A，B）
（A，C）
（A，D）
B
（B，B）
（B，C）
（B，D）
C
（C，B）
（C，C）
（C，D）
单价
类别
成本价/（元/件）
销售价/（元/件）
甲种布料
60
100
乙种布料
40
70