专题4 南京解答题压轴题第26题集中训练【备战中考 挑战满分】2025年南京市中考数学三轮复习题型对位训练（原卷版+解析版）

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1．（2024•南京）（1）如图（1），点E，F分别在正方形ABCD边AB，CD上，连接EF．求作GH，使点G，H分别在边BC，AD上（均不与顶点重合），且GH⊥EF．
（2）已知点P，Q，R，S的位置如图（2）所示，若它们分别在一个正方形的四条边上，用两种不同的方法求作该正方形过点P的边所在的直线．
要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．
【分析】（1）作EF的中垂线即可；
（2）方法一：如图，连接QS，过点P作PF⊥QS，取PF＝QS，连接FR，作PJ∥FR，则PJ为正方形点P的边所在的直线，过点Q作PJ垂线，过点S作PJ垂线，所得的四边形为P，Q，R，S所在的正方形；
方法二：连接PS，QR，作以PS，QR为直径的圆，两条中垂线交各自的圆于点M，点N，连接MN交两圆于点H，点K，过点Q作PH直线的垂线QL，过点R作SH直线的垂线RT，四边形LKTH是R，Q，P，S所在的正方形，LH为该正方形点P的边所在的直线．
【详解】解：（1）如图，分别以点E，F为圆心，大于12EF为半径画弧，连接交点，交BC于点G，交AD于点H，点G，H即为所求；
（2）方法一：如图，连接QS，过点P作PF⊥QS，取PF＝QS，连接FR，作PJ∥FR，则PJ为正方形点P的边所在的直线，过点Q作PJ垂线，过点S作PJ垂线，所得的四边形为P，Q，R，S所在的正方形；
方法二：连接PS，QR，作以PS，QR为直径的圆，两条中垂线交各自的圆于点M，点N，连接MN交两圆于点H，点K，过点Q作PH直线的垂线QL，过点R作SH直线的垂线RT，
∴LH⊥HT，QL⊥LH，RT⊥HT，
∵∠QKR＝90°，
∴LQ，RT交于点K，
∴四边形LKTH是R，Q，P，S所在的正方形，
∴LH为该正方形点P的边所在的直线．
【点睛】本题考查了尺规作图，正方形的性质，圆的基本性质等，掌握尺规作图是解题的关键．
2．（2023•南京）如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点O作AC的垂线，垂足为D，分别交直线BC，AC于点E，F，射线AF交直线BC于点G．
（1）求证AC＝CG．
（2）若点E在CB的延长线上，且EB＝CG，求∠BAC的度数．
（3）当BC＝6时，随着CG的长度的增大，EB的长度如何变化？请描述变化过程，并说明理由．
【分析】（1）作直径作AM，根据垂径定理得AC⊥EF，根据等腰三角形的性质和三角形的外角即可得到结论；
（2）连接AE，过A作AH⊥BC于H，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得到结论；
（3）分三种情况讨论：当CG＝6，当CG≥6，当3＜CG＜6，再根据相似证明即可．
【详解】（1）证明：过A作直径AM，
∵AB＝AC，
∴AM⊥BC，
∴∠E+∠EOM＝90°，
∵AC⊥EF，
∴∠OAD+∠AOD＝90°，
∴∠E＝∠OAD，
∵OA＝OF，
∴∠OAD+∠DAF＝∠AFO＝∠E+∠G，
∴∠DAF＝∠G，
AC＝CG；
（2）解：∵AB＝AC，AM⊥BC，
∴∠BAM＝∠CAM，
设∠BAM＝∠CAM＝2α，
∴∠ABC＝∠ACB=12（180°﹣∠BAC）＝90°﹣2α，
∵AC＝CG，
∴∠CAG＝∠CGA＝45°﹣α，
∴∠BAG＝2α+2α+45°﹣α＝45°+3α，
如图：过A作直径AM，交BC于点H，连AE，
∵EF⊥AC，又EF过圆心，
∴EF垂直平分AC，
∴EC＝AE，
∵BH＝HC，又EB＝CG，
∴HE＝HG，
∴AM垂直平分EG，
∴AE＝AG，
∴EC＝AG，
∵EB＝CG，
∴EB+BC＝BC+CG，
∴EC＝BG，
∴AG＝BG，
∴∠BAG＝∠ABG，
∴45°+3α＝90°﹣2α，
∴α＝9°，
∴∠BAC＝4α＝36°；
（3）答：当CG＝6，BE＝0；
当CG≥6时，BE随CG的增大而增大；
当3＜CG＜6时，BE随CG的增大而减小．
说明：①当BE＝0时，即点E与B重合，
在△BOH和△AOD中，
∠BHO=∠ADO∠BOH=∠AODOB=OA，
∴△BOH≌△AOD（AAS），
∴AD＝BH＝3，
∴AC＝2AD＝6，
∴AB＝AC＝BC＝6，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝∠ACB＝60°，
∴∠CAG＝30°，∠CAG+∠G＝60°，
∴∠G＝30°＝∠CAG，
∴CA＝CG＝6；
②当CG≥6时，如图：
∵∠E＝∠CAH，∠EDC＝∠AHC＝90°，
∴△ACH∽△ECD，
∴HCAC=CDEC，
∴3AC=AC2EC，
∴3CG=CG2BE+6，
∴BE=16CG2﹣6，
∴BE随CG的增大而增大．
③当3＜CG＜6时，如图，
∵∠ACM＝∠DCE，∠EDC＝∠AMC＝90°，
∴△AMC∽△EDC，
∴MCAC=CDCE，
∴3AC=AC2BC−BE，
∴3CG=CG26−BE，
∴BE=−16CG2+6，
∴BE随CG的增大而减小．
综上所述：
当CG≥6时，BE随CG的增大而增大；
当3＜CG＜6时，BE随CG的增大而减小．
【点睛】本题考查了圆的性质，三角形的外接圆，等腰三角形的性质，垂径定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
3．（2022•南京）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝6，E是AD上一点，AE＝2．F是AB上的动点，连接EF，G是EF上一点，且GFEF=k(k为常数，k≠0）．分别过点F、G作AB、EF的垂线相交于点P．设AF的长为x，PF的长为y．
（1）若k=12，x=4，则y的值是 5 ；
（2）求y与x之间的函数表达式；
（3）在点F从点A到点B的整个运动过程中，若线段CD上存在点P，则k的值应满足什么条件？直接写出k的取值范围．
【分析】（1）根据∠AEF＝∠PFG，得cs∠PFG＝cs∠AEF，则AEEF=FGPF，代入计算即可；
（2）利用△PGF∽△FAE，得PFFE=GFAE，再由GFFE=k，得GF＝kFE，即可证明结论；
（3）根据点P在CD上，可得k=12x2+4，再由点G在EF上，可得k≤1，进而解决问题．
【详解】解：（1）∵PF⊥AF，
∴∠AFP＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∴∠A+∠AFP＝180°，
∴AD∥FP，
∴∠AEF＝∠PFG，
∵AE＝2，AF＝x＝4，
∴EF=22+42=25，
∵k=12，
∴FG=12EF=5，
∵cs∠PFG＝cs∠AEF，
∴AEEF=FGPF，
∴225=5PF，
∴PF＝5，
故答案为：5；
（2）∵PF⊥AB，
∴∠PFA＝90°，
∴∠PFG+∠AFE＝90°，
在矩形ABCD中，∠A＝90°，在Rt△EAF中，∠A＝90°，
∴∠AEF+∠AFE＝90°，
∴∠PFG＝∠AEF，
∵PG⊥EF，
∴∠PGF＝90°，
∴∠A＝∠PGF，
∴△PGF∽△FAE，
∴PFFE=GFAE，
∴GF•EF＝PF•AE，
在Rt△EAF中，∵AE＝2，AF＝x，
∴EF2＝AE2+AF2＝22+x2＝4+x2，
∵GFFE=k，
∴GF＝kFE，
∴kEF2＝PF•AE，
∴y=12kx2+2k．
（3）∵线段CD上存在点P，
∴y＝6，
6=12k(x2+4)，
则k=12x2+4，
∵0≤x≤10，4≤x2+4≤104，
∴326≤k≤3，
∵GFFE=k，点G在EF上，
∴k≤1，
∴326≤k≤1．
【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角函数等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
4．（2021•南京）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣2，1），（2，﹣3）两点．
（1）求b的值；
（2）当c＞﹣1时，该函数的图象的顶点的纵坐标的最小值是 1 ．
（3）设（m，0）是该函数的图象与x轴的一个公共点．当﹣1＜m＜3时，结合函数的图象，直接写出a的取值范围．
【分析】（1）把已知点代入解析式，两式联立即可求出b的值；
（2）把a用c表示，然后写出顶点的纵坐标，根据c的取值即可求出最小值；
（3）把m代入ax2+bx+c＝0中，写出判别式的值，根据图象经过（﹣2，1），（2，﹣3）两点，分﹣1＜m＜2和2＜m＜3两种情况讨论即可．
【详解】解：（1）把（﹣2，1），（2，﹣3）代入y＝ax2+bx+c中，
得：1=4a−2b+c①−3=4a+2b+c②，
两式相减得﹣4＝4b，
∴b＝﹣1；
（2）把b＝﹣1代入①得：1＝4a+2+c，
∴a=−1−c4，
∴顶点的纵坐标4ac−b24a=c+1c+1=c+1+1c+1−1，
∵c＞﹣1，
∴c+1＞0，
下面证明对于任意的正数，a，b，都有a+b≥2ab，
∵(a−b)2=a+b−2ab≥0，
∴a+b≥2ab，当a＝b时取等号，
∴c+1+1c+1−1≥2(c+1)⋅1c+1−1=1，
∴该函数的图象的顶点的纵坐标的最小值是 1．
（3）法一：由题意得：am2﹣m+c＝0，
且c＝﹣1﹣4a，
∴am2﹣m﹣1﹣4a＝0，
Δ＝1﹣4a（﹣1﹣4a）＝1+4a+16a2，
若﹣1＜m＜2，
则经过（﹣2，1），（2，﹣3），（m，0）的二次函数的图象开口向下，
∴a＜0，且1+△2a＜2，
解得a＜0，
∴a＜0，
若2＜m＜3，
则经过（﹣2，1），（2，﹣3），（m，0）的二次函数的图象开口向上，
∴a＞0，且1+Δ2a＜3，
解得a＞45，
综上 a＜0或a＞45．
法二：（3）由4a﹣2+c＝﹣3得：c＝﹣4a﹣1，
则二次函数的解析式为y＝ax2﹣x﹣4a﹣1（a≠0），
由题意，分以下两种情况：
①如图，当a＜0时，则当x＝﹣1时，y＞0；
当x＝3时，y＜0，
即a+1−4a−1＞09a−3−4a−1＜0，
解得a＜0；
②如图，当a＞0时，
∵当x＝﹣1时，y＝a+1﹣4a﹣1＝﹣3a＜0，
∴当x＝3时，y＝9a﹣3﹣4a﹣1＞0，
解得a＞45，
综上，a的取值范围为a＜0或a＞45．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，关键在于理解二次项系数a对函数图象的影响，包括开口方向和开口大小，都要熟记于心，不然第三问很难做出来．
5．（2020•南京）如图，在△ABC和△A'B'C'中，D、D'分别是AB、A'B'上一点，ADAB=A′D′A′B′．
（1）当CDC′D′=ACA′C′=ABA′B′时，求证△ABC∽△A'B'C'．
证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．
（2）当CDC′D′=ACA′C′=BCB′C′时，判断△ABC与△A'B'C′是否相似，并说明理由．
【分析】（1）根据两边成比例夹角相等两三角形相似证明即可．
（2）过点D，D′分别作DE∥BC，D′E′∥B′C′，DE交AC于E，D′E′交A′C′于E′．首先证明△CED∽△C′E′D′，推出∠CED＝∠C′E′D′，再证明∠ACB＝∠A′C′B′即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵ADAB=A′D′A′B′，
∴ADA′D′=ABA′B′，
∵CDC′D′=ACA′C′=ABA′B′，
∴CDC′D′=ACA′C′=ADA′D′，
∴△ADC∽△A′D′C'，
∴∠A＝∠A′，
∵ACA′C′=ABA′B′，
∴△ABC∽△A′B′C′．
故答案为：CDC′D′=ACA′C′=ADA′D′，∠A＝∠A′．
（2）结论：∴△ABC∽△A′B′C′．
理由：如图，过点D，D′分别作DE∥BC，D′E′∥B′C′，DE交AC于E，D′E′交A′C′于E′．
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ADAB=DEBC=AEAC，
同理，A′D′A′B′=D′E′B′C′=A′E′A′C′，
∵ADAB=A′D′A′B′，
∴DEBC=D′E′B′C′，
∴DED′E′=BCB′C′，
同理，AEAC=A′E′A′C′，
∴AC−AEAC=A′C′−A′E′A′C′，即ECAC=E′C′A′C′，
∴ECE′C′=ACA′C′，
∵CDC′D′=ACA′C′=BCB′C′，
∴CDC′D′=DED′E′=ECE′C′，
∴△DCE∽△D′C′E′，
∴∠CED＝∠C′E′D′，
∵DE∥BC，
∴∠CED+∠ACB＝180°，
同理，∠C′E′D′+∠A′C′B′＝180°，
∴∠ACB＝∠A′C′B′，
∵ACA′C′=CBC′B′，
∴△ABC∽△A′B′C′．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
第二部分 2024-2025南京中考模拟试题精炼
6．（2025•南京模拟）已知：线段c，d，
（1）求作：△ABC，使∠BCA＝90°，AB＝c，高CD＝d．
（2）求作：△ABC，使∠BCA＝90°，AB＝c，角平分线CD＝d．
要求：①作一个即可，用直尺和圆规作图；
②保留作图痕迹，写出必要的文字说明．
【分析】（1）作线段AB＝c；作AB的垂直平分线得中点O；以O为圆心，OA为半径作圆；作与AB距离为d的平行线，交圆于点C；连接AC、BC，△ABC即为所求；
（2）先画出一条射线，截取AB＝c，作AB的垂直平分线于AB交于O，以O为圆心，以OA为半径画圆，与AB垂直平分线交于点E，连接BE，作d的垂直平分线，确定12d，以B为圆心，12d为半径画圆，作BE的垂线，交⊙B于F，连接EF，以F为圆心，12d为半径画圆，交EF于G，以E为圆心，EG为半径画圆，交AB于D，连接ED延长交⊙O于C，△ABC即为所求．
【详解】解：（1）如图所示：△ABC即为所求；
（2）如图所示：△ABC即为所求．
①先画出一条射线，截取AB＝c，
②作AB的垂直平分线于AB交于O，
③以O为圆心，以OA为半径画圆，与AB垂直平分线交于点E，连接BE，
④作d的垂直平分线，确定12d，
⑤以B为圆心，12d为半径画圆，作BE的垂线，交⊙B于F，连接EF，
⑥以F为圆心，12d为半径画圆，交EF于G，
⑦以E为圆心，EG为半径画圆，交AB于D，
⑧连接ED延长交⊙O于C，△ABC即为所求；
【点睛】本题考查了尺规作图，掌握尺规作图是解题的关键．
7．（2025•鼓楼区校级一模）如图，在△ABC的边BC上取一点O，以O为圆心，OC为半径画⊙O与边AB相切于点D，AC＝AD，连接OA交⊙O于点E，连接CE，并延长交线段AB于点F．
（1）求证：AC是⊙O切线；
（2）若AB＝10，tanB=43，求⊙O的半径；
（3）若F是AB中点，直接写出BD、CE与AF的数量关系．
【分析】（1）连OD，证明△AOC≌△AOD，由全等三角形的性质得出∠ACO＝∠ADO，由切线的性质得出∠ADO＝90°，则可得出∠ACO＝90°，可得出结论；
（2）设BC＝3x，则CA＝4x，求出x＝2，得出BC＝6，设OD＝a，则OB＝6﹣a，得出ODOB=a6−a=45，求出a则可求出答案；
（3）连接OD，DE，证△COE≌△DOE，可得∠OCE＝∠OED，可得∠DEF＝∠DFE，可证DE＝DF＝CE，可得结论．
【详解】（1）证明：连OD，如图1，
在△AOC和△AOD中，
AC=ADAO=AOOC=OD，
∴△AOC≌△AOD（SSS），
∴∠ACO＝∠ADO，
∵AB与⊙O相切，
∴OD⊥AB，
∴∠ADO＝90°，
∴∠ACO＝90°，
∴OC⊥AC，
∵OC为半径，
∴AC是⊙O切线；
（2）解：连接OD，如图2，
∵tanB=43，
∴设BC＝3x，则CA＝4x，
∴（4x）2+（3x）2＝100，
∴x＝2，
∴BC＝6，
设OD＝OC＝a，则OB＝6﹣a，
∵tanB=43，
∴sinB=45，
∴ODOB=a6−a=45，
∴a=83，
∴OD=83，
∴⊙O半径为83；
（3）解：AF＝BD+CE，理由如下：
连接OD，DE，如图3，
由（1）可知：△AOC≌△AOD，
∴∠ACO＝∠ADO＝90°，∠AOC＝∠AOD，
在△COE和△DOE中，
CO=DO∠EOC=∠EODOE=OE，
∴△COE≌△DOE（SAS），
∴∠OCE＝∠ODE，CE＝DE，
∵OC＝OE＝OD，
∴∠OCE＝∠OEC＝∠OED＝∠ODE，
∴∠DEF＝180°﹣∠OEC﹣∠OED＝180°﹣2∠OCE，
∵点F是AB中点，∠ACB＝90°，
∴CF＝BF＝AF，
∴∠FCB＝∠FBC，
∴∠DFE＝180°﹣∠FCB﹣∠FBC＝180°﹣2∠FCB＝180°﹣2∠OCE，
∴∠DEF＝∠DFE，
∴DE＝DF＝CE，
∴AF＝BF＝DF+BD＝BD+CE．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，切线的判定与性质，直角三角形的性质，熟记全等三角形的判定定理和性质定理、切线的判定定理及锐角三角函数是解本题的关键．
8．（2025•宿城区校级一模）已知抛物线y＝﹣x2﹣（3m﹣1）x+3m与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝﹣1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点D在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，设点P的坐标为（n，nk+3），当n变化时，是否存在常数k，使得△PAD的面积始终为定值，若存在，求出k的值及△PAD面积的定值；若不存在，请说明理由．
（3）若将该抛物线在﹣5≤x≤0间的部分记为图象M，并将图象M在直线y＝t（﹣12≤t≤3）上方的部分沿着直线y＝t翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数的图象N，记N这个函数的最大值为a，最小值为b，若a﹣b≤9．求t的取值范围．
【分析】（1）根据抛物线的对称轴可求出m的值，即可求出抛物线的解析式．
（2）根据平行线间的距离相等，过点C作直线CE与AD平行．点P在直线CE上时，△PAD面积始终不变．
（3）先求出抛物线上横坐标为5的点的坐标，然后根据折叠的性质求出抛物线顶点的对称点的坐标，再分类讨论求出t的取值范围．
【详解】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2﹣（3m﹣1）x+3m的对称轴为直线x＝﹣1，
∴−−(3m−1)−2=−1，
解得m＝1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3．
（2）存在．
如图，过点C作直线CE与AD平行．
由（1）可知抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，
当x＝0时，y＝3，
∴点C的坐标为（0，3）．
∵点D在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴直线x＝﹣1对称，
∴点D的坐标为（﹣2，3）．
当x＝0时，﹣x2﹣2x+3＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝1，
∴点A的坐标为（1，0）．
设直线AD的解析式为y＝kx+b．
将D（﹣2，3），A（1，0）代入得，−2k+b=3k+b=0，
解得k=−1b=1．
∴直线AD的解析式为y＝﹣x+1．
∵直线CE与AD平行，点C的坐标为（0，3），
∴直线CE的解析式为y＝﹣x+3，
∴k的值为﹣1，△PAD的面积始终为定值．
∵△CAD的面积为12×2×3=3，
∴当点P在直线CE上时，△PAD面积始终为3．
综上所述，存在常数k，使得△PAD的面积始终为定值，k的值为﹣1，△PAD面积为3．
（3）抛物线沿直线y＝t翻折前后如图所示．
由（1）可知抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线的顶点F的坐标为（﹣1，4），
∴点F′的坐标为（﹣1，2t﹣4）．
当x＝﹣5时，y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣12，
∴点G的坐标为（﹣5，﹣12）．
①当点F′在点G的上方时，2t﹣4≥﹣12，解得t≥﹣4，
此时a＝t，b＝﹣12，
∴t﹣（﹣12）≤9，解得t≤﹣3，
∴﹣4≤t≤﹣3．
②当点F′在点G的下方时，2t﹣4≤﹣12，解得t≤﹣4，
此时a＝t，b＝2t﹣4，
∴t﹣（2t﹣4）≤9，解得t≥﹣5，
∴﹣5≤t≤﹣4．
综上所述，若a﹣b≤9．t的取值范围是﹣5≤t≤﹣3．
【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查抛物线的对称轴，平行线间的距离相等，分类讨论的相关知识，掌握抛物线对称轴与系数的关系，灵活运用平行线间的距离相等，会用配方法求抛物线的顶点坐标，并能根据题意正确分类讨论是解题的关键．本题是中考模拟卷的二次函数综合题，难度较大．
9．（2025•南京模拟）已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y＝x2+mx+n的图象上，当x1＝1，x2＝3时，y1＝y2．
（1）①m＝ ﹣4 ；
②若抛物线与x轴只有一个公共点，则n的值为 4 ．
（2）若P（2a﹣3，b1）；Q（5，b2）是图象上的两点，且b1＜b2，求a的取值范围．
（3）若对于任意实数x1，x2都有y1+y2≥2，则n的取值范围是 n≥5 ．
【分析】（1）①根据当x1＝1，x2＝3时，y1＝y2，可求出该抛物线的对称轴，由此可求出m的值．
②若抛物线与x轴只有一个公共点时，Δ＝b2﹣4ac＝0，由此可求出n的值．
（2）先求出点Q关于抛物线的对称轴的对称点Q′，再根据抛物线的图象可得到2a﹣3的取值范围，即可求出a的取值范围．
（3）将抛物线配成顶点式，即可求出抛物线的最小值n﹣4，则有2（n﹣4）＝2n﹣8≥2，即可求n的范围．
【详解】解：（1）①∵当x1＝1，x2＝3时，y1＝y2，
∴抛物线的对称轴为直线x=x1+x22=1+32=2，
∴−m2=2，
∴m＝﹣4．
故答案为：﹣4．
②∵若抛物线与x轴只有一个公共点，
∴关于x的方程x2﹣4x+n＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4n＝0，
∴n＝4．
故答案为：4．
（2）由（1）可知抛物线的对称轴为直线x＝2，
点Q（5，b2）关于直线x＝2的对称点为Q′（﹣1，b2）．
∵抛物线的开口向上，
∴当﹣1＜2a﹣3＜5时，b1＜b2，
解得1＜a＜4．
（3）∵抛物线y＝x2﹣4x+n＝（x﹣2）2+n﹣4，
∴当x＝2时，函数有最小值n﹣4．
∵对于任意实数x1，x2都有y1+y2≥2，
∴2（n﹣4）＝2n﹣8≥2，
解得n≥5．
故答案为：n≥5．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程，配方法求二次函数最值的相关知识，熟练掌握二次函数图象及性质，善于利用数形结合的思想方法，及利用二次函数对称轴的性质解题是关键．
10．（2024•南京模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于C（0，3），直线y=−12x+n经过点C，与抛物线的另一交点为点D，点P是直线CD上方抛物线上的一个动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线解析式并求出点D的坐标；
（2）连接PD，△CDP的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当△CPE是等腰三角形时，请直接写出m的值．
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式和直线CD的解析式，然后解方程组y=−12x+3y=−x2+2x+3得D点坐标；
（2）设P（m，﹣m2+2m+3），则E（m，−12m+3），则PE＝﹣m2+52m，利用三角形面积公式得到S△PCD=12•52•（﹣m2+52m）=−54m2+258m，然后利用二次函数的性质解决问题；
（3）讨论：当PC＝PE时，m2+（﹣m2+2m+3﹣3）2＝（﹣m2+52m）2；当CP＝CE时，m2+（﹣m2+2m+3﹣3）2＝m2+（−12m+3﹣3）2；当EC＝EP时，m2+（−12m+3﹣3）2＝（﹣m2+52m）2，然后分别解方程即可得到满足条件的m的值．
【详解】解：（1）把A（﹣1，0），C（0，3）分别代入y＝﹣x2+bx+c得−1−b+c=0c=3，解得b=2c=3，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
把C（0，3）代入y=−12x+m，解得m＝3，
∴直线CD的解析式为y=−12x+3，
解方程组y=−12x+3y=−x2+2x+3，解得x=0y=3或x=52y=74，
∴D点坐标为（52，74）；
（2）存在．
设P（m，﹣m2+2m+3），则E（m，−12m+3），
∴PE＝﹣m2+2m+3﹣（−12m+3）＝﹣m2+52m，
∴S△PCD=12•52•（﹣m2+52m）=−54m2+258m=−54（m−54）2+12564，
当m=54时，△CDP的面积存在最大值，最大值为12564；
（3）当PC＝PE时，m2+（﹣m2+2m+3﹣3）2＝（﹣m2+52m）2，解得m＝0（舍去）或m=54；
当CP＝CE时，m2+（﹣m2+2m+3﹣3）2＝m2+（−12m+3﹣3）2，解得m＝0（舍去）或m=52（舍去）或m=32；
当EC＝EP时，m2+（−12m+3﹣3）2＝（﹣m2+52m）2，解得m=5+52（舍去）或m=5−52，
综上所述，m的值为54或32或5−52．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征连接、二次函数的性质和等腰三角形的性质；会利用待定系数法求抛物线解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式；会利用分类讨论的思想解决数学问题．
11．（2024•秦淮区模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC＝CD，点E在AB的延长线上，∠ECB＝∠DAC．
（1）若AB为⊙O的直径，求证：EC是⊙O的切线；
（2）若CE＝7，∠ECB＝45°，tanE=34，求AD的长．
【分析】（1）连接OC，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB＝90°，从而可得∠ACO+∠BCO＝90°，根据已知可得DC=BC，从而利用等弧所对的圆周角相等可得∠DAC＝∠CAO，然后根据等腰三角形的性质和已知可得∠ECB＝∠ACO，从而可得∠OCE＝90°，即可解答；
（2）过点B作BF⊥CE，垂足为F，根据已知可得BF＝CF，设BF＝CF＝x，则EF＝7﹣x，再在Rt△BFE中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，从而求出BF，EF的长，进而求出BE，BC的长，然后再利用圆内接四边形对角互补和平角定义可得∠ADC＝∠CBE，最后证明△CBE∽△ADC，利用相似三角形的性质进行计算即可解答．
【详解】（1）证明：连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACO+∠BCO＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠CAO，
∵DC＝BC，
∴DC=BC，
∴∠DAC＝∠CAO，
∴∠DAC＝∠ACO，
∵∠ECB＝∠DAC，
∴∠ECB＝∠ACO，
∴∠ECB+∠OCB＝90°，
∴∠OCE＝90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴EC是⊙O的切线；
（2）过点B作BF⊥CE，垂足为F，
∴∠BFC＝∠BFE＝90°，
∵∠ECB＝45°，
∴tan45°=BFCF=1，
∴BF＝CF，
设BF＝CF＝x，
∵CE＝7，
∴EF＝CE﹣CF＝7﹣x，
在Rt△BFE中，tanE=34，
∴tanE=BFEF=x7−x=34，
∴x＝3，
经检验：x＝3是原方程的根据，
∴BF＝CF＝3，EF＝7﹣3＝4，
∴CD＝BC=2BF＝32，
在Rt△BFE中，BE=BF2+EF2=32+42=5，
∵四边形ADCB是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∵∠ABC+∠CBE＝180°，
∴∠ADC＝∠CBE，
∵∠ECB＝∠DAC，
∴△CBE∽△ADC，
∴CBAD=BEDC，
∴32AD=532，
∴AD=185，
∴AD的长为185．
【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
12．（2024•鼓楼区校级模拟）许多数学问题源于生活．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图①、可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图②所示的直角坐标系中，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨OA，OB的交点．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，OA、OB关于y轴对称．OC＝1分米，点A到x轴的距离是0.6分米，A，B两点之间的距离是4分米．
（1）求抛物线的表达式；
（2）分别延长AO，BO交抛物线于点F，E，求E，F两点之间的距离；
（3）以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为S1，将抛物线向右平移m（m＞0）个单位，得到一条新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为S2．若S2=35S1，求m的值．
13．（2024•南京三模）已知二次函数y＝﹣x2+2mx+n过点（2，2m﹣3）．
（1）用含m的代数式表示n；
（2）求证：该函数的图象与x轴总有公共点；
（3）若点E（﹣3，y1）、F（t，y2）、G（m﹣1，y3）在该函数图象上，且当3＜t≤4时，总有y1＜y2＜y3，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）把点（2，2m﹣3）代入抛物线y＝﹣x2+2mx+n，即可求解；
（2）求得Δ＝（2m）2﹣4×（﹣1）×（1﹣2m）＝4m2+4﹣8m＝4（m﹣1）2≥0，即可得到结论；
（3）根据G（m﹣1，y3）在该抛物线上，则y3＝m2﹣2m＝（m﹣1）2﹣1，由当3＜t≤4时，总有y1＜y2＜y3，分点F在E，G之间，和对称轴右侧两种情况，分类讨论，即可求解．
【详解】（1）解：把点（2，2m﹣3）代入抛物线y＝﹣x2+2mx+n，得：
﹣4+4m+n＝2m﹣3，
∴n＝1﹣2m；
（2）证明：令y＝0，﹣x2+2mx+1﹣2m＝0，
∵Δ＝（2m）2﹣4×（﹣1）×（1﹣2m）＝4m2+4﹣8m＝4（m﹣1）2≥0，
∴此方程必有实数根，
∴该函数的图象与x轴总有公共点；
（3）解：抛物线的对称轴直线为：x＝m，
∵m﹣1＜m，
∴G在抛物线对称轴的左侧，
∵t＞﹣3，y2＞y1，
∴E一定也在抛物线对称轴的左侧，
取G和E关于抛物线对称轴的对称点G′，E′，
∴G′（m+1，y3），E′（2m+3，y1），
当F在抛物线对称轴左侧时，
m−1＞43≥−3，
∴m＞5，
∴y3＝﹣（m﹣1）2+2m（m﹣1）+1﹣2m＝m2﹣2m＝（m﹣1）2﹣1，
∴y3＞15；
当F在抛物线对称轴右侧时，
m+1≤32m+3＞4，
∴12＜m≤2，
∴m的取值范围是12＜m≤2或m＞5．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，熟练掌握二次函数的性质、二次函数与方程的关系是解题的关键．
14．（2024•宿迁三模）如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝8．动点E从点A出发沿AD方向运动，将△ABE沿着BE翻折，点A落在F点处．
（1）当∠ABE＝20°，求∠DEF的度数；
（2）连接DF并延长交矩形ABCD的AB边于点K，当∠ABF＝2∠ADK时，求AE的长；
（3）若∠FBC的角平分线交EF的延长线于点G，设AE＝x（x≤5），FG＝y，请直接写出y与x的函数关系式 y=25−5xx+5 ，并写出当x＝2时，点G运动的路径长为 207 ．
【分析】（1）由翻折得∠F＝∠A＝90°，∠FBE＝∠ABE＝20°，则∠ABF＝2∠ABE＝40°，由∠DEF+∠AEF＝180°，∠ABF+∠AEF＝180°，得∠DEF＝∠ABF＝40°；
（2）连接AF交BE于点O，过点F作MN⊥AD于点M，交BC于点N，可证明∠ABE＝∠ADK，而∠ABE＝∠DAF＝90°﹣∠BAF，所以∠ADK＝∠DAF，则AF＝DF，求得FB＝AB＝5，AM＝DM＝4，则BN＝AM＝4，MN＝AB＝5，求得FN＝3，则FM＝2，由勾股定理得22+（4﹣AE）2＝AE2，求得AE=52；
（3）过点G作PQ⊥AD于点P，交BC于点Q，可证明△BQG≌△BFG，得QB＝FB＝5，QG＝FG，则AP＝QB＝5，由勾股定理得（5﹣x）2+（5﹣y）2＝（x+y）2，整理得y=25−5xx+5，当x＝2时，y=157，PG＝5−157=207，所以点G运动的路径长为207，于是得到问题的答案．
【详解】解：（1）如图1，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∵将△ABE沿着BE翻折，点A落在F点处，∠ABE＝20°，
∴∠F＝∠A＝90°，∠FBE＝∠ABE＝20°，
∴∠ABF＝2∠ABE＝40°，
∵∠DEF+∠AEF＝180°，∠ABF+∠AEF＝360°﹣2×90°＝180°，
∴∠DEF＝∠ABF＝40°，
∴∠DEF的度数是40°．
（2）如图2，连接AF交BE于点O，过点F作MN⊥AD于点M，交BC于点N，
∵∠ABF＝2∠ABE，∠ABF＝2∠ADK，
∴∠ABE＝∠ADK，
∵点F与点A关于直线BE对称，
∴BE垂直平分AF，
∴∠AOB＝∠EAB＝90°，
∴∠ABE＝∠DAF＝90°﹣∠BAF，
∴∠ADK＝∠DAF，
∴AF＝DF，
∵AB＝5，AD＝BC＝8，
∴FB＝AB＝5，AM＝DM=12AD＝4，
∵∠BAM＝∠AMN＝∠ABN＝90°，
∴四边形ABNM是矩形，
∴BN＝AM＝4，MN＝AB＝5，∠BNF＝90°，
∴FN=FB2−BN2=52−42=3，
∴FM＝MN﹣FN＝5﹣3＝2，
∵FM2+EM2＝FE2，且EM＝4﹣AE，FE＝AE，
∴22+（4﹣AE）2＝AE2，
解得AE=52，
∴AE的长是52．
（3）如图3，过点G作PQ⊥AD于点P，交BC于点Q，
∵∠FBC的角平分线交EF的延长线于点G，
∴∠QBG＝∠FBG，
∵∠BAP＝∠APQ＝∠ABQ＝90°，
∴四边形ABQP是矩形，
∴∠BQG＝∠BFG＝90°，PQ＝AB＝5，
∵BG＝BG，
∴△BQG≌△BFG（AAS），
∴QB＝FB＝5，QG＝FG，
∴AP＝QB＝5，
∵AE＝x（x≤5），FG＝y，
∴FE＝AE＝x，QG＝FG＝y，PE＝5﹣x，
∴PG＝5﹣y，EG＝x+y，
∵PE2+PG2＝EG2，
∴（5﹣x）2+（5﹣y）2＝（x+y）2，
∴y=25−5xx+5，
∵四边形ABQP是矩形，AP＝PQ＝5，
∴四边形ABQP是正方形，
∴点G在边长为5的正方形ABQP的边PQ上自点P向点Q运动，
当x＝2时，y=25−5×22+5=157，
∴PG＝5−157=207，
∴点G运动的路径长为207，
故答案为：y=25−5xx+5，207．
【点睛】此题重点考查矩形的判定与性质、正方形的判定与性质、轴对称的性质、四边形的内角和等于360°、同角的补角相等、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出辅助线是解题的关键．
15．（2024•南京模拟）如图，在⊙O中，AB是弦，AC与⊙O相切于点A，AB＝AC，连接BC，点D是BC的中点，连接AD交⊙O于点E，连接OE交AB于点F．
（1）求证：OE⊥AB；
（2）若AD＝4，ACBC=32，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OA、OB，根据切线的性质可得出∠OAC＝90°，设∠EAC＝α，则∠OAE＝90°﹣α，由OA＝OE可得出∠OEA＝∠OAE＝90°﹣α，利用三角形内角和定理可得出∠AOE＝2α，由AB＝AC利用等腰三角形的三线合一可得出∠BAE＝∠EAC＝α，进而可得出∠BOE＝2∠BAE＝2α，即∠AOE＝∠BOE，再利用等腰三角形的三线合一可证出OE⊥AB；
（2）由ACBC=32可设AC=3x，BC＝2x，则CD=12BC＝x，由勾股定理结合AD＝4可求出x的值，进而可得出AB、AC、BD、CD、AF的值，由∠EFA＝∠BDA＝90°、∠FAE＝∠DAB可得出△FAE∽△DAB，利用相似三角形的性质可求出EF的长度，设⊙O的半径为r，则OA＝r，OF＝OE﹣EF＝r−3，利用勾股定理可求出r的长度，此题得解．
【详解】（1）证明：连接OA、OB，如图所示．
∵AC与⊙O相切于点A，
∴∠OAC＝90°．
设∠EAC＝α，则∠OAE＝90°﹣α．
∵OA＝OE，
∴∠OEA＝∠OAE＝90°﹣α，
∴∠AOE＝180°﹣∠OEA﹣∠OAE＝2α．
∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴∠BAE＝∠EAC＝α，
∴∠BOE＝2∠BAE＝2α，
∴∠AOE＝∠BOE．
又∵OA＝OB，
∴OE⊥AB．
（2）解：∵ACBC=32，
∴可设AC=3x，BC＝2x．
∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴CD=12BC＝x，AD⊥BC，
∴AD2+CD2＝AC2．
∵AD＝4，
∴42+x2＝（3x）2，解得：x＝22，
∴AB＝AC=3x＝26，BD＝CD＝x＝22．
∵OE⊥AB，
∴AF=12AB=6．
∵∠EFA＝∠BDA＝90°，∠FAE＝∠DAB，
∴△FAE∽△DAB，
∴EFBD=AFAD，即EF22=64，
∴EF=3．
设⊙O的半径为r，则OA＝r，OF＝OE﹣EF＝r−3，
∵OF⊥AB，
∴OA2＝OF2+AF2，即r2＝（r−3）2+（6）2，
解得：r=332，
∴⊙O的半径为332．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、解直角三角形、圆周角定理以及切线的性质，解题的关键是：（1）通过角的计算找出∠AOE＝∠BOE；（2）利用勾股定理求出⊙O的半径．
16．（2024•浦口区校级三模）已知二次函数y=ax2−2ax+a−1a(a≠0)．
（1）直接写出该函数图象的对称轴．
（2）求证：当|a|＞1时，该函数图象与x轴的两个交点均在正半轴．
（3）点A（a+1，y1）、B（2a﹣2，y2）在该函数图象上，直接写出y1与y2的大小关系及相应的a的取值范围．
【分析】（1）依据题意得，抛物线对称轴是直线x=−−2a2a=1，即可得解；
（2）依据题意，令y＝ax2﹣2ax+a−1a=[ax﹣（a﹣1）][x﹣（1+1a）]＝0，从而可得x=a−1a=1−1a或x＝1+1a，故该函数图象与x轴的两个交点为（1−1a，0），（1+1a，0），又|a|＞1，则0＜1|a|＜1，从而﹣1＜1a＜1，进而可以判断得解；
（3）依据题意，对称轴是直线x＝1，又点A（a+1，y1）、B（2a﹣2，y2）在该函数图象上，故可得|a+1﹣1|＝|a|，|2a﹣2﹣1|＝|2a﹣3|，进而再根据a＞0和a＜0分别讨论计算可以得解．
【详解】（1）解：由题意得，抛物线对称轴是直线x=−−2a2a=1．
（2）证明：由题意，令y＝ax2﹣2ax+a−1a=[ax﹣（a﹣1）][x﹣（1+1a）]＝0．
∴x=a−1a=1−1a或x＝1+1a．
∴该函数图象与x轴的两个交点为（1−1a，0），（1+1a，0）．
∵|a|＞1，
∴0＜1|a|＜1．
∴﹣1＜1a＜1．
∴0＜1+1a＜2，﹣1＜−1a＜1．
∴0＜1−1a＜2．
∴该函数图象与x轴的两个交点均在正半轴．
（3）解：由题意，对称轴是直线x＝1，
又点A（a+1，y1）、B（2a﹣2，y2）在该函数图象上，
∴|a+1﹣1|＝|a|，|2a﹣2﹣1|＝|2a﹣3|．
①当a＞0时，若|a|＞|2a﹣3|，即点A离对称轴比点B离对称轴远，
∴y1＞y2．
若0＜a＜32，
∴a＞3﹣2a．
∴a＞1．
∴此时1＜a＜32．
若a≥32，
∴a＞2a﹣3．
∴a＜3．
∴此时32≤a＜3．
综上，1＜a＜3时，y1＞y2．
当a＞0时，若|a|＜|2a﹣3|，即点A离对称轴比点B离对称轴近，
∴y1＜y2．
若0＜a＜32，
∴a＜3﹣2a．
∴a＜1．
∴此时0＜a＜1．
若a≥32，
∴a＜2a﹣3．
∴a＞3．
∴此时a＞3．
综上，0＜a＜1或a＞3时，y1＜y2．
②当a＜0时，若|a|＞|2a﹣3|，即点A离对称轴比点B离对称轴远，
∴y1＜y2．
此时﹣a＞3﹣2a，
∴a＞3，不合题意．
当a＜0时，若|a|＜|2a﹣3|，即点A离对称轴比点B离对称轴近，
∴y1＞y2．
此时﹣a＜3﹣2a，
∴a＜3．
∴a＜0时，y1＞y2．
综上所述，当a＜0或1＜a＜3时，y1＞y2；0＜a＜1或a＞3时，y1＜y2．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
17．（2024•秦淮区二模）已知二次函数y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣4）（a，m为常数，a≠0）．
（1）求证：不论a，m为何值，该二次函数的图象与x轴总有两个公共点；
（2）该二次函数的图象与x轴交于A，B两点，若不论m为何值，该二次函数的图象上都只有两个点C，D，使△ABC和△ABD的面积均为4，求a的取值范围．
【分析】（1）证明判别式Δ＞0即可；
（2）先求出A，B坐标，求出AB＝4，再根据二次函数的图象上都只有两个点C，D，使△ABC和△ABD的面积均为4，得出抛物线的顶点到x轴的距离小于2，解不等式即可．
【详解】（1）证明：y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣4）＝a（x2﹣2mx﹣4x+m2+4m＝ax2﹣2a（m+2）x+a（m2+4m），
Δ＝[﹣2a（m+2）]2﹣4a•a（m2+4m）＝4a2m2+16a2m+16a2﹣4a2m2﹣16a2m＝16a2，
∵a≠0，
∴16a2＞0，
∴不论a，m为何值，该二次函数的图象与x轴总有两个公共点；
（2）令y＝0，则a（x﹣m）（x﹣m﹣4）＝0，
∵a≠0，
∴（x﹣m）（x﹣m﹣4）＝0，
∴x1＝m，x2＝m+4，
∴A（m，0），B（m+4，0），
∴AB＝4，
∵SABC＝S△ABD＝4，
∴C，D到x轴的距离为2，
∵该二次函数的图象上都只有两个点C，D，使△ABC和△ABD的面积均为4，
∴二次函数的顶点到x轴的距离小于2，
即|−16a24a|＜2，
解得−12＜a＜12，且a≠0，
∴a的取值范围为−12＜a＜12，且a≠0．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，关键是掌握二次函数的性质．
18．（2024•秦淮区二模）已知二次函数y＝ax2+（1﹣4a）x+3．
（1）求证：不论a取何值时，该二次函数图象一定经过两个定点；
（2）A（2﹣m，y1）、B（2+m，y2）（m＞0）是该函数图象上的两个点，试用两种不同的方法证明y1＜y2；
（3）当3＜x＜4时，y随x的增大而增大或y随x的增大而减小，结合函数图象，直接写出a的取值范围．
【分析】（1）当x＝0时，y＝3；当x＝4时，y＝7，进而即可得到结论；
（2）分别用作差法和二次函数图象的对称性比较y1、y2大小即可；
（3）分当a＞0时和a＜0时，对抛物线的对称轴位置进行讨论即可．
【详解】解：（1）∵当x＝0时，y＝3；当x＝4时，y＝7，
∴不论a取何值时，该二次函数图象一定经过两个定点（0，3）、（4，7）；
（2）方法一、∵A（2﹣m，y1）、B（2+m，y2）（m＞0）是该函数图象上的两个点，
∴y1=a(2−m)2+(1−4a)(2−m)+3，y2=a(2+m)2+(1−4a)(2+m)+3，
∴y1−y2=a(2−m)2+(1−4a)(2−m)+3−a(2+m)2−(1−4a)(2+m)−3
＝a（﹣8m）+（1﹣4a）（﹣2m）
＝﹣2m，
∵m＞0，
∴y1﹣y2＜0，即y1＜y2；
方法二、∵抛物线的对称轴为：直线x=−1−4a2a=2−12a，
|2−m−2+12a|=|12a−m|，|2+m−2+12a|=|12a+m|，
当a＞0时，|12a−m|＜|12a+m|，此时，y1＜y2，
当a＜0时，|12a−m|＞|12a+m|，此时，y1＜y2，
综上所述：y1＜y2；
（3）∵当a＞0时，抛物线开口向上，抛物线的对称轴为：直线x=2−12a＜2，
∴3＜x＜4时，y随x的增大而增大，符合题意；
当a＜0且2−12a＜3或2−12a＞4时，y随x的增大而减小或y随x的增大而增大，
∴−14＜a＜0或a＜−12．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数图象的对称性是关键．
19．（2024•鼓楼区二模）已知二次函数y＝mx2+2x﹣4m﹣2（m为常数，m≠0）．
（1）当m＝1时，求该函数的图象的顶点坐标；
（2）当m取不同的值时，该函数的图象总经过一个或几个定点，求出所有定点的坐标；
（3）已知A（m，2），B（5，2）．若该函数的图象与线段AB恰有1个公共点，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）把m＝1代入y＝mx2+2x﹣4m﹣2，求出顶点坐标即可；
（2）把y＝mx2+2x﹣4m﹣2化为y＝m（x2﹣4）+2x﹣2，即可求出定点坐标；
（3）根据题意，结合图象．即可求出m的取值范围．
【详解】解：（1）当m＝1时，
y＝x2+2x﹣6
＝（x+1）2﹣7，
∴顶点坐标为（﹣1，﹣7）；
（2）∵y＝mx2+2x﹣4m﹣2＝m（x2﹣4）+2x﹣2，
∴当x2﹣4＝0时，即x＝2或x＝﹣2时，y的值与m无关，
∴当x＝2时，y＝2，
x＝﹣2时，y＝﹣6，
∴定点坐标为（2，2），（﹣2，﹣6）．
（3）y＝mx2+2x﹣4m﹣2，
当y＝2时，2＝mx2+2x﹣4m﹣2，
mx2+2x﹣4m﹣4＝0，
Δ＝0时，x1＝x2＝2，该函数的图象与线段AB恰有1个公共点．
4﹣4m（﹣4m﹣4）＝0，
m＝﹣0.5．
Δ＞0，
∵x1＝2，
∴x2=−2m−2，
抛物线与直线y＝2的两交点坐标为（2，2），（−2m−2，2）．
①m＞0时，抛物线开口向上，过（2，2），（﹣2，6）两点，
∴−2m−2＜﹣2．
∴（−2m−2，2）在（2，2）的左边，
根据图象可知0＜m≤2时该函数的图象与线段AB恰有1个公共点．
②m＜0时，抛物线开口向下，过（2，2），（﹣2，6）两点，
∴抛物线不能过（2，5）点．
∴x＝5时，y＞2，
25m+10﹣4m﹣2＞2，
∴m＞−27．
∴−27＜m＜0，该函数的图象与线段AB恰有1个公共点．
∴当0＜m≤2或−27＜m＜0或m＝﹣0.5时，该函数的图象与线段AB恰有1个公共点．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．