专题9 解答题压轴题第25题集中训练【备战中考 挑战满分】2025年南通市中考数学三轮复习题型对位训练（解析版+原卷版）

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本专题精选南通市中考数学真题（2020-2024）和南通市各地区2024及2025年中考模拟试题中的解答题第25题，也就是倒数第2题。南通中考数学第25题一般是几何综合，有的时候是二次函数（含参为主），难度大，是试题中的压轴题。很多同学在此题上失分，因此在中考前把这些压轴题集中做一做，十分必要。
第一部分 南通市中考真题训练
1．（2024•南通）已知函数y＝（x﹣a）2+（x﹣b）2（a，b为常数）．设自变量x取x0时，y取得最小值．
（1）若a＝﹣1，b＝3，求x0的值；
（2）在平面直角坐标系xOy中，点P（a，b）在双曲线y=−2x上，且x0=12．求点P到y轴的距离；
（3）当a2﹣2a﹣2b+3＝0，且1≤x0＜3时，分析并确定整数a的个数．
2．（2023•南通）正方形ABCD中，点E在边BC，CD上运动（不与正方形顶点重合）．作射线AE，将射线AE绕点A逆时针旋转45°，交射线CD于点F．
（1）如图，点E在边BC上，BE＝DF，则图中与线段AE相等的线段是 ；
（2）过点E作EG⊥AF，垂足为G，连接DG，求∠GDC的度数；
（3）在（2）的条件下，当点F在边CD延长线上且DF＝DG时，求FGAG的值．
3．（2022•南通）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点E在折线BCD上运动，将AE绕点A顺时针旋转得到AF，旋转角等于∠BAC，连接CF．
（1）当点E在BC上时，作FM⊥AC，垂足为M，求证：AM＝AB；
（2）当AE＝32时，求CF的长；
（3）连接DF，点E从点B运动到点D的过程中，试探究DF的最小值．
4．（2021•南通）如图，正方形ABCD中，点E在边AD上（不与端点A，D重合），点A关于直线BE的对称点为点F，连接CF，设∠ABE＝α．
（1）求∠BCF的大小（用含α的式子表示）；
（2）过点C作CG⊥直线AF，垂足为G，连接DG．判断DG与CF的位置关系，并说明理由；
（3）将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBH，点E的对应点为点H，连接BF，HF．当△BFH为等腰三角形时，求sinα的值．
5．（2020•南通）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（2，0），B（3n﹣4，y1），C（5n+6，y2）三点，对称轴是直线x＝1．关于x的方程ax2+bx+c＝x有两个相等的实数根．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若n＜﹣5，试比较y1与y2的大小；
（3）若B，C两点在直线x＝1的两侧，且y1＞y2，求n的取值范围．
第二部分 2024~2025南通地区中考模拟试题精炼
6．（2025•昆山市模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，交y轴于点C（0，6）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点F是直线BC上方抛物线上的一动点，过点F作FD⊥BC，交BC于点D，过点F作y轴的平行线交直线BC于点E，过点D作DG⊥EF，交EF于点G，求FG的最大值及此时点E的坐标；
（3）在（2）问中FG取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线CB方向平移5个单位长度，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点，在平面内确定一点N，使得以点B、E、M、N为顶点的四边形是矩形，直接写出所有符合条件的点N的坐标．
7．（2025•南通模拟）如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3交x轴于A，C两点，交y轴于点B．
（1）直接写出点A，B，C的坐标．
（2）如图（1），抛物线上有点D（2，m），在第三象限的抛物线上存在点M，且∠ACM＝∠BCD，求点M的坐标．
（3）如图（2），在第一象限的抛物线上有一点E，过点E作BC的平行线交抛物线于另一点F，直线FB，EC交于点P，若点P的纵坐标为t，△CBP的面积记为S，试探究S与t之间数量关系．
8．（2024•崇川区三模）正方形ABCD中，点E在边BC，CD上运动（不与正方形顶点重合）．作射线AE，将射线AE绕点A逆时针旋转45°，交射线CD于点F．
（1）如图，点E在边BC上，BE＝DF，求证：AE＝AF；
（2）过点E作EG⊥AF，垂足为G，连接DG，求∠GDC的度数；
（3）在（2）的条件下，当△DFG是以DG为腰的等腰三角形时，求FGAG的值．
9．（2024•南通二模）在数学活动课上，老师给同学们提供了一个矩形纸片ABCD，其中AB＝3，BC＝4，要求各小组开展“矩形的折叠”探究活动．
【操作猜想】
（1）甲小组给出了下面框图中的操作及猜想：
请判断甲小组的猜想是否正确，并说明理由；
【深入探究】
（2）如图2，乙小组按照甲小组的方式操作发现，当∠NME＝∠CAD 时，点E恰好落在矩形的对角线AC上．请求出图中线段MN的长度；
【拓广延伸】
（3）丙小组按照甲小组的过程操作，进一步探究并提出问题：当∠NME＝∠CAD 时，过点E作 EF∥BC交射线CA于点F，若 EF＝EN，则BN的长是多少？请解答这个问题．
10．（2024•海安模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y=12x+1与抛物线y＝ax2+bx﹣3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与A、B点重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D．
（1）求a、b及sin∠ACP的值；
（2）设点P的横坐标为m；
①用含有m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；
②连接PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积之比为9：10？若存在，直接写出m的值；若不存在，说明理由．
11．（2024•海门区二模）直观感知：
（1）如图1，在四边形ABCD中，△ABC是等边三角形，∠BDC＝22°，∠BDA＝46°，将△BDC绕点C顺时针旋转60°得到△APC，点B与点A重合，点D的对应点是点P．补全图形，并直接写出∠DAP的度数；
类比探究：
（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ADC＝45°，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD＝4，DC＝6，求BD的长．
拓展运用：
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ADC＝α，tan∠ACB=43，AD＝4，DC＝6，在α的变化过程中时，求BD的最大值．
12．（2024•通州区二模）如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，折痕为EF；再一次对折纸片，使EF与BC重合，折痕为GH；把纸片展平，MN也为折痕；点P为线段AD上一点，再次沿BP折叠矩形纸片，使点A落在原矩形所在平面的点Q处．
问题解决：
（1）如图1，若点Q在线段EF上，延长PQ交BC于点W，求证：△BPW为等边三角形；
（2）如图2，若点Q在线段GH上，求tan∠ABP的值；
（3）矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，直线PQ交DC的延长线于点K．若CK=14CD，求线段PD的长．
13．（2024•海门区校级模拟）一张边长为16cm正方形的纸片，剪去两个面积一定且一样的小矩形得到一个“E”图案如图1所示．小矩形的长x（cm）与宽y（cm）之间的函数关系如图2所示：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）“E”图案的面积是多少？
（3）如果小矩形的长是6≤x≤12cm，求小矩形宽的范围．
14．（2024•海安市二模）（1）【活动背景】在鹿鸣成长课程中，同学们探究了一类“三等分线段、角”的问题．如图1，在矩形ABCD的边AD和BC上分别取点E、F，且CF＝2DE，连接CE、DF交于点O，将边AD沿着过点O的直线折叠，使得点A、D分别落在AB和CD上，试说明：点Q是边CD的三等分点．
（2）【活动操作】同学们进一步发现，在作图的过程中也可以参考类似的方法．如图2，已知线段BC，点E是BC的中点，请用无刻度直尺和圆规作平行四边形ABCD，使得AE⊥BD．（不写作法保留作图痕迹）
（3）【活动证明】同学们通过查阅资料发现，不能通过圆规直接三等分角，但可以通过圆规和带刻度的直尺得出三等分角，如图3，点C是OA上一点，用尺规作出CD⊥OB，CF∥OB后，将直尺一端放在点O处，不断转动直尺与CD、CF交于点M、N，当MN与CO满足某种数量关系时，即可得到∠MOD=13∠AOB，试猜想MN与CO的数量关系并证明．
（4）【活动思考】在上面的活动操作中所探究的平行四边形ABCD，若BC＝kAB，请直接写出k的取值范围．
15．（2024•启东市二模）如图，在矩形ABCD中，BC＝3，∠BAC＝30°，M是对角线AC上的动点，过点M作AC的垂线交折线AD﹣DC于点N，当点N不和点A，C，D重合时，以MN为边作等边△MNP，使点P和点D在直线MN的同侧，设AM＝m．
（1）若点N落在边AD上，求等边△MNP的边长（用含m的代数式表示）．
（2）若点P落在△ACD的边上，求m的值．
（3）作直线DP，若点M，N关于直线DP的对称点分别为M′，N′，M′N′∥CD，求m的值．
16．（2024•海门区一模）问题情境
如图，折叠矩形纸片ABCD，使点C的对应点F落在边AB上，得到折痕BE，把纸片展平；继续沿过点E的直线折叠，点A的对应点M落在边BC上，得到折痕EG，把纸片展平，AD的对应边MN交CD于点P．
初步探究
（1）四边形BCEF的形状是 ；
深入探究
（2）用等式表示线段PE，PM之间的数量关系，并证明；
拓展延伸
（3）设MG交BE于点Q，BM＝2CM＝4，求△BGQ的面积．
17．（2025•广陵区校级一模）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D为AC边上的一个动点（不与点A，C重合），作点C关于直线BD的对称点E．
（1）小明给出了下面框图中的作法：
请判断小明给出的作法是否符合题目要求，并说明理由；
（2）当点E在边AB上时，请用无刻度直尺和圆规在图2中作出点D，E（不写作法，保留作图痕迹，并用黑色签字笔描深痕迹），连接DE，并求出DE的长；
（3）连接AE，CE，当△ACE为直角三角形时，求∠BCE的正切值．
18．（2024•沧州一模）问题情境：
“综合与实践”课上，老师让同学们以“矩形的翻折”为主题开展数学活动．
第1步：有一张矩形纸片ABCD，在AD边上取一点P沿BP翻折，使点A落在矩形内部A′处；
第2步：再次翻折矩形，使PD与PA′所在直线重合，点D落在直线PA′上的点D′处，折痕为PE．
翻折后的纸片如图1所示．
（1）∠BPE的度数为 ；
（2）若AD＝32cm，AB＝24cm，求DE的最大值；
拓展应用：
一张矩形纸片通过问题情境中的翻折方式得到如图2所示的四边形纸片FKQG，其中∠KFG的一边与矩形纸片的一边重合，KQ⊥FK，FG⊥GQ，FG＝45cm，FK＝35cm，KQ＝30cm，求该矩形纸片的面积．
19．（2024•南通一模）如图1，P是正方形ABCD边BC上一点，线段AE与AD关于直线AP对称，连接EB并延长交直线AP于点F，连接CF．
（1）补全图形，求∠AFE的大小；
（2）用等式表示线段CF，BE之间的数量关系，并证明；
（3）连接CE，G是CE的中点，AB＝2，若点P从点B运动到点C，直接写出DG的最大值．
甲小组的操作与猜想
操作：如图1，在AB，BC上分别取一点N，M，将△BMN沿直线MN翻折180°，得到△EMN．
猜想：当∠NME＝∠CAD 时，MN∥AC．