2025年中考数学总复习讲义（山东专用）14 第一部分 第三章 第二节 一次函数（无答案）

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考点一 一次函数的定义
1．一次函数的定义：若两个变量x，y之间的对应关系可以表示成y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)的形式，则称y是x的一次函数(x为自变量，y为因变量)．
2．正比例函数的定义：对于一次函数，当________时，一次函数就变为________(k≠0)，这时，称y是x的正比例函数．
考点二 正比例函数和一次函数的图象与性质
考点三 确定一次函数的表达式
1．常用方法：待定系数法，其一般步骤为
(1)设：设函数表达式为________(k≠0)；
(2)代：将________代入函数表达式，解方程或方程组；
(3)解：求出________的值，得到函数表达式．
2．常见类型
(1)已知两点确定表达式；
(2)已知两对函数对应值确定表达式；
(3)平移转化型：如已知函数是由y＝2x平移所得到的，且经过点(0，1)，则可设要求函数的表达式为________，再把点________代入即可．
3．一次函数的平移
(1)一次函数图象平移前后k值不变，或两条直线可以通过平移得到，则可知它们的k值相同．
(2)若向上平移h个单位长度，则b值增大h；若向下平移h个单位长度，则b值减小h．
考点四 一次函数与方程(组)、不等式的关系
1．一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)的图象与x轴的交点的横坐标是方程________的解．
2．一次函数________与________的图象交点的横、纵坐标是方程组y=k1x+b1，y=k2x+b2的解．
3．一次函数y＝kx＋b的值大于0，反映在图象上是指图象在x轴________的部分；一次函数y＝kx＋b的值小于0，反映在图象上是指图象在x轴________的部分．
考点五 一次函数应用的常见题型
1．根据实际问题中给出的数量关系直接列出相应的函数表达式，解决实际问题．
2．利用一次函数对实际问题中的方案进行比较．
3．结合实际问题的函数图象解决实际问题．

1．(鲁教版七上P149例1改编)下列函数中，是一次函数的是( )
A．y＝x2－2x－1B．y＝6x
C．y＝3x－5D．y＝1x-1
2．若一次函数y＝(k－2)x＋1的函数值y随x的增大而增大，则( )
A．k＜2B．k＞2
C．k＞0D．k＜0
3．一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃5 cm，则剩下长度y(cm)与燃烧时间t(h)之间的函数关系可用下列哪个图象表示( )
A．B．
C．D．
4．(鲁教版七上P162议一议改编)如图所示，一次函数y＝ax＋b的图象与x轴相交于点(2，0)，与y轴相交于点(0，4)，结合图象可知，关于x的方程ax＋b＝0的解是________．
命题点1 一次函数的图象与性质
【典例1】 (2024·甘肃临夏州)一次函数y＝kx－1(k≠0)的函数值y随x的增大而减小，它的图象不经过的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
[听课记录]


解决一次函数的图象与性质有关的问题，关键是明确一次函数y＝kx＋b中系数的作用：k的正负决定图象的倾斜方向及函数的增减性，|k|决定图象的倾斜程度．b决定图象与y轴的交点的位置(或图象的上下位置)．
[对点演练]
1．(2024·四川德阳)正比例函数y＝kx(k≠0)的图象如图所示，则k的值可能是( )
A．12B．－12
C．－1D．－13
2．(2024·山西)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)都在正比例函数y＝3x的图象上，若x1＜x2，则y1与y2的大小关系是( )
A．y1＞y2B．y1＜y2
C．y1＝y2D．y1≥y2
命题点2 待定系数法求一次函数表达式
【典例2】 (2024·陕西)一个正比例函数的图象经过点A(2，m)和点B(n，－6)．若点A与点B关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为( )
A．y＝3xB．y＝－3x
C．y＝13xD．y＝－13x
[听课记录]


本题考查了关于原点对称的点的坐标以及待定系数法求正比例函数表达式，由点A，B关于原点对称，求出点A的坐标是关键．
[对点演练]
1．[图表信息题]已知y是x的一次函数，下表列出了部分对应值，则m＝________．
2．(人教版八下例题)已知一次函数的图象过点(3，5)与(－4，－9)，求这个一次函数的表达式．





命题点3 一次函数与方程(组)、不等式的关系
【典例3】 (2024·福建厦门二模)如图，函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过点B(m，0)(m＞1)，与函数y＝2x的图象交于点A，则不等式kx＋b＜2x的解集为( )
A．x＜2B．x＜1
C．x＞1D．x＞2
[听课记录]


一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax＋b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx＋b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标的取值范围．
[对点演练]
1．(2024·广东)已知不等式kx＋b＜0的解集是x＜2，则一次函数y＝kx＋b的图象大致是( )
A． B．
C． D．
2．(2024·江苏扬州)如图，已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象分别与x，y轴交于A，B两点，若OA＝2，OB＝1，则关于x的方程kx＋b＝0的解为 ________．
命题点4 一次函数的应用
【典例4】 (2024·陕西)我国新能源汽车快速健康发展，续航里程不断提升，王师傅驾驶一辆纯电动汽车从A市前往B市．他驾车从A市一高速公路入口驶入时，该车的剩余电量是80 kW·h，行驶了240 km后，从B市一高速公路出口驶出．已知该车在高速公路上行驶的过程中，剩余电量y(kW·h)与行驶路程x(km)之间的关系如图所示．
(1)求y与x之间的关系式；
(2)已知这辆车的“满电量”为100 kW·h，求王师傅驾车从B市这一高速公路出口驶出时，该车的剩余电量占“满电量”的百分之多少．
[听课记录]


解此类问题的关键是结合题中信息读懂函数图象上关键点的实际意义，找出各个量之间的关系，获取相关信息，通过分析、计算得出所求问题的答案，常常用到待定系数法．
[对点演练]
[图表信息题](2024·广东广州)一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高y和脚长x之间近似存在一个函数关系，部分数据如表：
(1)在图1中描出表中数据对应的点(x，y)；
(2)根据表中数据，从y＝ax＋b(a≠0)和y＝kx(k≠0)中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的表达式(不要求写出x的取值范围)；
(3)如图2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为25.8 cm，请根据(2)中求出的函数表达式，估计这个人的身高．










正比例
函数
k的符号
k________0
k________0
图象的
大体位置
经过的象限
第________象限
第________象限
性质
y随x的增大而________
y随x的增大而________
一次
函数
k，b的
符号
k________0，
b________0
k________0，
b________0
k________0，
b________0
k________0，
b________0
图象的
大体位
置
经过的
象限
第_______
________象限
第_______
________象限
第_______
________象限
第_______
________象限
性质
y随x的增大而_____
y随x的增大而_____
y随x的增大而_____
y随x的增大而_____
x
0
1
2
y
1
m
5
脚长x/cm
…
23
24
25
26
27
28
…
身高y/cm
…
156
163
170
177
184
191
…