四川省成都市棕北中学2024-2025学年下学期七年级 数学期中考试卷（含解析）

这是一份四川省成都市棕北中学2024-2025学年下学期七年级 数学期中考试卷（含解析），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
A卷（共100分）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1. 下列等式错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了积的乘方、同底数幂的除法、幂的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握其运算规则是解题的关键．根据积的乘方、同底数幂的除法、幂的乘方、同底数幂的乘法进行计算逐一验证即可．
【详解】解：A、，该选项正确，不符合题意；
B、，该选项正确，不符合题意；
C、，该选项错误，符合题意；
D、，该选项正确，不符合题意；
故选：C．
2. 当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是折射现象（如图所示）.若，光线传播方向改变了，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据对顶角相等，角之间的位置关系求解．
【详解】解：如图，,
∴
故选：A
【点睛】本题考查对顶角相等，理解两直线相交，对顶角相等是解题的关键．
3. 石墨烯是一种以sp杂化连接的碳原子紧密堆积成单层二维蜂窝状的晶格结构的材料，现已初步应用于生物医学、移动设备、航空航天、新能源电池等诸多领域，而中国自主研发的新型石墨烯加热材料，是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度仅有0.00000000034米，将数据0.00000000034用科学记数法表示为，则n的值为（ ）
A. B. 10C. D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：，
故则n的值为．
故选：A．
4. 将一把直尺与一块三角板如图所示放置，若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行线的性质求解即可．
【详解】解：如图，

由题意可得：，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查平行线的性质，理解题意是关键．
5. 某种麦粒在相同条件下进行发芽试验，结果如下表所示：
则任取一粒麦粒，估计它能发芽的概率约为（ ）（结果精确到0.01）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据表格即可求出．
【详解】解：由表格可得：随着实验麦粒数的增加，其发芽的频率稳定在左右，
故选：C．
【点睛】本题考查概率估计，读懂表格是关键．
6. 根据下列已知条件，能画出唯一的的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】D
【解析】
【分析】看是否符合所学的全等的公理或定理及三角形三边关系即可．此题主要考查由已知条件作三角形，应用了全等三角形的判定和三角形三边之间的关系．
【详解】解：A、只有两个条件，不能作出唯一三角形;
B、属于全等三角形判定中的情况，不能作出唯一三角形；
C、不符合三角形三边之间关系，不能作出三角形；
D、符合全等三角形的，能作出唯一三角形．
故选D．
7. 如图，是的中线，点E是的中点，连接，若，则四边形的面积为（ ）
A. 10B. 12C. 15D. 18
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了三角形的中线，三角形的面积公式，熟练掌握中线的概念，三角形面积公式是解题的关键．根据是的中线，点E是的中点，可得，，由此可求得．
【详解】解：设的边上的高为，的边上的高为，
则，
是的中线，点E是的中点，
，，
，
，
．
故选：C．
8. 如图，在边长为的正方形中，剪去一个边长为a的小正方形，将余下部分对称剪开，拼成一个平行四边形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于x，a的恒等式是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据公式分别计算两个图形的面积，由此得到答案．
【详解】解：正方形中阴影部分的面积为，
平行四边形的面积为x（x+2a），
由此得到一个x，a的恒等式是，
故选：C．
【点睛】此题考查了平方差公式与几何图形，正确掌握图形面积的计算方法是解题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9. 如图，自行车车架中部做成三角形形状，运用的几何原理是______．

【答案】三角形具有稳定性
【解析】
【分析】本题考查三角形的稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．
【详解】解：运用的几何原理是三角形具有稳定性．
故答案为：三角形具有稳定性
10. 如图，，，，则的度数为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查对全等三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等，根据全等三角形的性质得出，，根据三角形的内角和定理求出的度数即可．
【详解】解：∵，，，
∴，，
∴，
故答案为：．
11. 已知一个矩形的面积为，若一边长为，则另一边长为________．
【答案】##
【解析】
【分析】此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．
【详解】解：∵长方形的面积为，一边长为，
∴另一边长为：．
故答案为：．
12. 不透明袋子中装有10个球，其中有8个绿球、2个红球，这些球除颜色外无其他差别，现再放入n个除颜色外无其他差别的红球，如从袋子中随机取出1个球，它是红球的概率为，那么n的值为______．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查概率公式，由概率公式可列方程为，求出n的值即可．
【详解】解：由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解且符合题意，
∴n的值为4．
故答案为：4．
13. 如图，长方形为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面平行于水平面，交于点E，当水杯底面与水平面的夹角为时，则的度数为______．
【答案】54
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，平角的定义求出的度数，平行线的性质，求出的度数，再利用平行线的性质求出的度数即可．
【详解】解：∵长方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
故答案为：54．
三、解答题（本大题共5个题，共48分）
14. 计算与化简
（1）；
（2）．
【答案】（1）7 （2）
【解析】
【分析】本题考查整式混合运算和实数运算．
（1）先算乘方、负整数指数幂、零指数幂，去绝对值，再算加减；
（2）用完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式法则展开，再合并同类项即可．
小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
15. 先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算化简求值，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．先利用完全平方公式，单项式乘多项式，单项式除以单项式的法则进行计算，然后把，的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【详解】解：
，
当，时，原式．
16. 如图，四边形中，点E、F分别在、上，，，G为延长线上一点，且，试说明．
请将下面证明过程补充完整．
证明：∵，（已知），
∴（ ）
∴（ ）
∵（已知）
（平角的定义）
（ ）
∴（ ）
∴（ ）
∴．（ ）
【答案】垂直的定义；同位角相等，两直线平行；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，同位角相等
【解析】
【分析】此题考查了平行线的判定与性质，根据平行线的判定与性质求证即可．
【详解】证明：∵，（已知），
∴（垂直的定义），
∴（同位角相等，两直线平行），
∵（已知），
（平角的定义），
∴（同角的补角相等），
∴（内错角相等，两直线平行），
∴（平行于同一直线的两直线平行），
∴．（两直线平行，同位角相等）
故答案为：垂直的定义；同位角相等，两直线平行；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，同位角相等．
17. 如图所示，分别是的高，已知．
（1）请画出的高和；
（2）求的面积；
（3）若，求的长．
【答案】（1）见详解 （2）30
（3）
【解析】
【分析】（1）根据三角形的高的定义，分别画出和即可；
（2）利用三角形面积公式列式计算，即可求得；
（3）根据三角形面积公式得到，即可得到，从而求得．
本题主要考查了三角形的高、三角形的面积，熟知三角形的面积公式是解题的关键．
【小问1详解】
解：依题意，即为所求作的高，如图所示：
；
【小问2详解】
解：∵，是的高，
∴．
【小问3详解】
解：∵是的高，且
∴，
∴，
∴．
18. 如图1，在中，于点D．
（1）求证：；
（2）如图2，点E在上，连接交于点F，若，求证：平分；
（3）如图3，在（2）的条件下，过A作，交的延长线于点G，交的延长线于点H．若的面积为40，且，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）2
【解析】
【分析】（1）根据同角的余角相等进行解答即可；
（2）根据同角的余角相等得出，根据等边对等角得出，根据三角形外角的性质得出，根据等式性质得出，即可证明结论；
（3）证明，得出，根据三角形面积公式得出，即可得出，根据，，，得出，，求出结果即可．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴平分；
【小问3详解】
解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵的面积为40，
∴，
∴，
∴，
∵，，
又∵，
∴，，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，余角的性质，垂线定义，直角三角形两锐角互余，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质．
B卷（共50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19. 等腰三角形的周长是，其中一条边长为，则等腰三角形的腰长为______．
【答案】12
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的定义，分两种情况，当底边为 时，可得出腰长为，当腰长为时，则底边长为，此时不符合三角形三边关系，构不成三角形，故可得出腰长为．
【详解】解：当底边为时，则腰长为：，
当腰长为时，则底边长为：，
则，不符合三角形三边关系，构不成三角形，
故等腰三角形的腰长为．
故答案为：12．
20. 已知，则的值为______．
【答案】1
【解析】
【分析】本题主要考查同底数幂的乘除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
利用同底数幂的乘除法的法则对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：1．
21. 如图，在长方形中，，，点P从点A出发，以的速度沿边向点B运动，到达点B停止，同时，点Q从点B出发，以的速度沿边向点C运动，到达点C停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当v为______时，存在某一时刻，与全等．
【答案】1或
【解析】
【分析】主要考查了全等三角形的性质，一元一次方程的几何应用，解本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．可分两种情况：①得到，，②得到，，然后分别计算出的值，进而得到的值．
【详解】解：①当，时，，
，
，
，
，
，解得：，
，
，
②当，时，，
，
，解得：，
，
，
解得：，
综上所述，当或时，存在某一时刻，与全等，
故答案为：1或
22. 杨辉三角是中国古代数学杰出研究成果之一，它把（其中为自然数）的展开式中的各项的系数直观地体现了出来，其中的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第行的每一项，如图所示：
根据上述材料，则展开式中项的系数为______．
【答案】40
【解析】
【分析】本题考查了数字变化的规律，利用杨辉三角的规律得到的展开式中的各项系数，依此规律解答即可得出结论．
【详解】解：由题意得：，
∴的展开式中含项是第 3 项，该项为，
∴的展开式中含项的系数为40 ，
故答案为：40．
23. 如图，在中，，，，延长至点，使得，连接并延长，交的延长线于点，现给出以下结论：
①；
②；
③；
④若，则．
其中正确的是______（写出所有正确结论的序号）．
【答案】①③④
【解析】
【分析】根据，即可证明，得出①正确；结合，得出，根据等腰三角形的性质得出，设，则，结合，得出，根据和三角形内角和得出，根据同角的余角相等得出，结合，即可得出，得出③正确；根据，得出，即可证明，根据，得出，，不能证明与全等，故②错误；当时，结合，得出，即可得，，证出，结合和，即可得，故④正确；
【详解】解：∵在中，，
∴，故①正确；
，
，
，
，
设，则，
∵，
，
，
，
，
∵，
，
，
，
，
，故③正确；
，
，
，
，
，
，
，
，
与不能证明全等，故②错误；
当时，
，
∴，
∴，
，
，
，
，
，，
∴，故④正确；
综上分析可知，正确的有①③④．
故答案为：①③④．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，三角形面积的计算，全等三角形的判定，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质．
二、解答题（本大题共3个题，共30分）
24. 【阅读理解】
已知，求，的值．
解：，
，
，
又，，
，，
，．
【学以致用】
（1）若，求的值；
（2）已知，求，的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．
（1）将变形为即可求出结果；
（2）将变形为，得出，求出结果即可；
【小问1详解】
解：∵，
，
，
解得：；
【小问2详解】
解：，
，
，
，
．
25. 如图1，有边长分别为m，n的两个正方形和两个长宽分别为n，m的长方形，将它们拼成如图2所示的大正方形．四边形，，，的面积分别为．
（1）用两种方法表示图2的面积，可以得到一个关于m，n的等式为______；
（2）在图2中，若，则______；若，，则______；
（3）如图3，连接交于点N，连接．若与的面积之差为18，求m的值．
【答案】（1）
（2）4；74 （3）6
【解析】
【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何证明，通过完全平方公公式进行计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握完全平方公式．
（1）根据正方形面积公式表示出大正方形的面积，用四部分面积之和表示出大正方形的面积，即可得出关于m，n的等式；
（2）根据，得出，，求出m、n的值，然后再求出即可；根据，得出，根据，利用完全平方公式变形求出结果即可；
（3）根据得出，求出m的值即可．
【小问1详解】
解：大正方形的边长为，则面积为，
大正方形看作四个四边形的面积之和，则面积为：，
∴关于m，n的等式为；
【小问2详解】
解：∵若，
∴，，
解得：负值舍去，
∴，
∴；
∵若，
∴，
∵，
∴
．
【小问3详解】
解：∵，
，
∴
，
∵与的面积之差为18，
∴，
∴，
解得：，负值舍去．
26. 【基础回顾】
（1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，，求证：；
【变式探究】
（2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明；
【拓展应用】
（3）小明和科技兴趣小组的同学制作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高，延长交于点．设的面积为，的面积为，请猜想，大小关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2），证明见解析；（3），理由见解析
【解析】
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质．
（1）根据垂直定义得，则，再根据得，由此得，进而可依据判定和全等；
（2）根据三角形外角性质得，再根据得，进而可依据判定和全等得，，由此可得出，，的数量关系；
（3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，则，进而得，再根据得，由此得，进而可依据判定和全等，则，同理可证明得，则，然后再根据三角形的面积公式即可得出，大小关系．
【详解】（1）证明：∵直线l，直线l，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：，，的数量关系是：，证明如下：
∵是外角，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴；
（3），大小关系是：，理由如下：
过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
同理可证明：，
∴，
∴，
∵，，
∴．试验的麦粒数n
100
200
500
1000
2000
5000
发芽的粒数m
93
188
473
954
1906
4748
发芽频率