广东省茂名地区2024-2025学年七年级下学期期中 数学试题（含解析）

这是一份广东省茂名地区2024-2025学年七年级下学期期中 数学试题（含解析），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
（1）本试题从1至4页共4页
（2）考试时间共120分钟，满分为120分
（3）全部答案必须在答题卡上完成，在本试题上作答无效
（4）答题卡必须保持整洁，考试结束后，只将答题卡交回
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出四个选项中，其中只有一个是正确的，把选出的答案填涂在答题卡上）
1. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方、积的乘方，熟记运算法则是解题的关键；
根据同底数幂的乘除法，幂的乘方、积的乘方计算公式分别计算判断即可．
【详解】A．，原式计算正确，故本选项符合题意；
B．，原式计算错误，故本选项不符合题意；
C．，原式计算错误，故本选项不符合题意；
D．，原式计算错误，故本选项不符合题意；
故选：A．
2. 下列事件中，必然事件是（ ）
A. 明天是晴天B. 地球自西向东自转
C. 篮球队员在罚球线投篮一次，投中D. 掷一枚硬币，正面朝上
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断即可．
【详解】解：A、明天是晴天是随机事件，本选项不符合题意；
B、地球自西向东自转是必然事件，本选项符合题意；
C、篮球队员在罚球线投篮一次，投中是随机事件，本选项不符合题意；
D、掷一枚硬币，正面朝上是随机事件，本选项不符合题意；
故选：B．
3. 已知，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查同底数幂的乘法及求代数式的值，解题的关键是将已知等式转化为，再根据同底数幂的乘法法则将转化为，再整体代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选：D．
4. 刻蚀机是芯片制造和微观加工最核心的设备之一，中国自主研发的5纳米刻蚀机已获成功，5纳米就是0.000000005米．数据0.000000005用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数．
【详解】解：0.000000005米用科学记数法表示为米，
故选：B．
【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，表示时关键是要正确确定的值以及的值．
5. 在一个不透明的箱子里装有白球和红球共12个，这些球除颜色外完全相同．每次从箱子中摸出一个球，记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.25左右，则箱子中红球的个数约是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查利用频率估计概率，掌握用频率的集中趋势来估计概率是解题的关键．
根据利用频率估计概率可知红球出现概率为0.25，从而可以计算出红球的个数．
【详解】解：∵经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.25左右，
∴箱子中红球的个数约是（个）．
故选：A．
6. 如图，下列能判定的条件有（ ）个．
（1）
（2）
（3）
（4）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据题目中的条件，可以写出各个小题中的条件可以得到哪两条线平行，从而可以解答本题．
【详解】解：（1），
，符合题意；
（2），
，不符合题意；
（3），
，符合题意；
（4），
，符合题意；
综上所述，能判定的条件有3个，
故选：C．
7. 一个小球在如图所示的地面上自由滚动，小球停在阴影区域的概率为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分别计算整个图形的面积和阴影部分面积，再根据概率公式求解即可．
详解】解：整个图形面积，
阴影部分面积，
∴小球停在阴影区域的概率，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了几何概率公式，解题的关键是掌握几何概率公式：一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率．
8. 如图，，点E 在上，连接，若平分，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．先根据平行线的性质求出，，再根据角平分线的定义即可求解．
【详解】解：∵，，
∴．
∵平分，
∴，
∴，
故选：B．
9. 已知，，，则a、b、c的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了幂的乘方，熟练掌握幂的乘方运算法则是解题的关键．根据幂的乘方可得，，即可求解．
【详解】解∶∵，，，且，
∴．
故选：A．
10. 如图，将边长分别为和的两个正方形拼在一起，，三点在同一直线上，连接，若两正方形的边长满足，则阴影部分的面积为（ ）
A. 8B. 10C. 14D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，根据图形特征，得，结合，得出，即可作答．
【详解】解： 由题意可知： ，
，
．
故选：C．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分，请将下列各题的正确答案写在答题卡相应的位置上）
11. 计算的结果等于__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据同底数幂乘法计算法则求解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了同底数幂乘法计算，熟知相关计算法则是解题的关键，注意同底数幂乘法的指数是相加．
12. 已知，，则________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了平方差公式，根据平方差公式得到，据此可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
13. 中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．若从这四部著作中随机抽取1本，则抽到《论语》的概率是_____________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了概率公式，解题的关键是熟悉概率公式．根据概率公式进行计算即可．
【详解】解：由题意得：共有种等可能的结果，
故，
故答案为：．
14. 如图，已知，，则____．
【答案】
【解析】
【分析】根据垂直的定义、余角的定义列式计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故答案．
【点睛】本题主要考查了垂直的定义、余角的定义、角的运算等知识点，理解垂直的定义、余角的定义是解答本题的关键．
15. 某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，如图1，某品牌共享单车放在水平地面上，图2是其示意图，其中都与地面平行，，，当为_____时，与平行．
【答案】63
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质．根据平行线的性质，得到，根据同旁内角互补，两直线平行，得到时，与平行，求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
∴，
当时，与平行，
∴，
∴；
故答案为：63．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】根据零指数幂公式，负整数指数幂公式，逆用幂的乘方，解答即可．
本题考查了零指数幂公式，负整数指数幂公式，逆用幂的乘方，熟练掌握公式是解题的关键．
【详解】解：
．
17. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，112
【解析】
【分析】本题主要考查整式的混合运算，熟练掌握乘法公式是解题的关键；因此此题根据乘法公式进行化简，然后再代值求解即可．
【详解】解：
；
∵，
∴原式．
18. 一个不透明的口袋中放有只有颜色不同的10个球，其中有5个白球、3个黑球、2个红球，以下事件哪些是随机事件？哪些是必然事件？哪些是不可能事件？
（1）从口袋中任取1个球是黑球；
（2）从口袋中任取5个球，全是白球；
（3）从口袋中任取6个球，没有白球；
（4）从口袋中任取9个球，白、黑、红三种颜色的球都有；
（5）从口袋中任取1个球，该球是黄色的．
【答案】（1）随机事件；（2）随机事件；（3）不可能事件；（4）必然事件；（5）不可能事件
【解析】
【分析】根据一定会发生的事件是必然事件，一定不会发生的事件是不可能事件，不一定发生的事件是随机事件，也叫不确定事件，必然事件和不可能事件统称为确定事件，即可判断出来答案．
【详解】解：袋中有5个白球、3个黑球、2个红球，
（1）从口袋中任取1个球是黑球，是随机事件；
（2）从口袋中任取5个球，全是白球，是随机事件；
（3）从口袋中任取6个球，没有白球，是不可能事件；
（4）从口袋中任取9个球，白、黑、红三种颜色的球都有，是必然事件；
（5）从口袋中任取1个球，该球是黄色的，是不可能事件．
【点睛】本题考查了事件的识别，属于基础题型．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 一个不透明的袋中有红、黄、白三种颜色球共50个，它们除了颜色外其他都相同，其中黄球个数比白球个数的2倍少5个，已知从袋中摸出一个红球的概率是．
（1）求袋中白球的个数；
（2）求从袋中摸出一个球是黄球的概率；
（3）取走2个白球和3个黄球后，求从剩余的球中摸出一个球是红球的概率．
【答案】（1）15； （2）；
（3）．
【解析】
【分析】（1）总个数乘以红球的概率求出红球个数，据此得出黄、白球的总个数，设袋中白球的个数为x个，根据黄球个数比白球个数的2倍少5个及球的总个数列出关于x的方程，解之即可；
（2）用黄球的个数除以球的总个数即可；
（3）用红球的个数除以袋中剩余球的总个数即可．
【小问1详解】
袋中红球的个数为（个），
则袋中黄、白球的总个数为（个），
设袋中白球的个数为x个，
则，
解得，
∴袋中白球有15个；
【小问2详解】
由（1）知，袋中黄球的个数为个，
所以从袋中摸出一个球是黄球的概率为；
【小问3详解】
取走2个白球和3个黄球后，红球有10个，球的总个数为45个，
所以从剩余的球中摸出一个球是红球的概率为．
【点睛】本题考查概率公式，随机事件A的概率事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
20. 用4个完全相同的边长为的小长方形（如图1）和两个阴影部分的长方形拼成1个宽（）为6的大长方形（如图2）．
（1）请用含的代数式表示：①的长；②阴影的面积；
（2）说明阴影与阴影的周长的和与的关系．
【答案】（1）①；②
（2）阴影M与阴影N的周长的和与a、b无关
【解析】
【分析】本题考查了列代数式，整式加减的应用，由拼图用含有a、b的代数式表示，，是正确解答的关键．
（1）①由拼图可直接得到AD；②用代数式表示阴影M的长、宽，再根据长方形面积的计算方法即可得出答案；
（2）由阴影M与阴影N的周长的和为，据此求解即可．
【小问1详解】
解：①由拼图可知，，
②阴影M的长为a，宽为，
所以阴影M的面积为，
【小问2详解】
解：阴影M与阴影N的周长的和与a、b无关，理由：
如图，
阴影M与阴影N的周长的和为
，
所以阴影M与阴影N的周长的和与a、b无关．
21 已知，如图，，、分别平分与，且．试说明：．（请根据条件进行推理，得出结论，并注明理由）
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质与判定、角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．
根据平行线的性质与判定、角平分线的定义写出证明过程，补充相应的推理依据即可．
【详解】解：∵、分别平分与，（已知），
∴，（角平分线的定义），
∵（已知），
∴（等量代换），
∵（已知），
∴（等量代换），
∴（内错角相等，两直线平行）．
五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分、23题14分，共27分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
22. 乘法公式的探究及应用．
数学活动课上，老师准备了若干张如图所示的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为，宽为的长方形，并用一张种纸片，一张种纸片，两张种纸片拼成了如图所示的大正方形．
（1）请用两种不同的方法求图中大正方形的面积：（用含的式子表示）
方法： ；
方法： ．
（2）观察图，请写出代数式，，之间的等量关系式 ；
（3）根据（）中的等量关系，解决如下问题：
已知，，求的值；
已知，求的值．
【答案】（1）；；
（2）；
（3）；；．
【解析】
【分析】（）方法可根据正方形面积等于边长的平方求出，方法可根据各个部分面积相加之和求出；
（）由图可得总面积减掉两个小矩形面积等于两个正方形面积之和即可求解；
（）根据题（）公式计算即可；令，从而得到，代入计算即可求解；
本题考查了完全平方公式的几何背景及应用，列代数式，掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键．
【小问1详解】
解：方法：大正方形边长为，
∴；
方法：大正方形面积各个部分面积之和，
∴；
故答案为：；；
【小问2详解】
解：由图可得总面积减掉两个小矩形面积等于两个正方形面积之和，
即，
∴，
故答案为：；
【小问3详解】
解：∵，
∴，
∵ ，
∴，
∴；
令，
∴，
，
∵，
∴，
解得，
∴．
23. 综合与实践
如图，O为直线上的一点，过点O作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点O处．
（1）如图1，将三角板的一边与射线重合，此时______．
（2）如图2，将三角板绕点O逆时针旋转一定角度，使得是平分线，求的度数．
（3）如图3，将三角板持续绕点O逆时针旋转至内部，使得，求的度数．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据即得；
（2）由角平分线得，根据即得；
（3）根据，，得，根据得，由即得
【小问1详解】
解：；
故答案为：；
【小问2详解】
解：∵是的角平分线，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了角的计算．熟练掌握平角性质，直角性质，角平分线定义，余角定义，补角定义，角的和差倍分关系，是解题的关键．