福建省福州第十六中学2024-2025学年七年级下学期 数学期中考试卷（含解析）

这是一份福建省福州第十六中学2024-2025学年七年级下学期 数学期中考试卷（含解析），共29页。试卷主要包含了单选题，解答题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．下列实数是无理数的是（ ）
A．B．C．D．
2．在平面直角坐标系中，点(-3，3)所在的象限是( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．用符号表示“4的平方根是”，正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．对于命题“如果，那么．”能说明它是假命题的反例是（ ）
A．B．，
C．，D．，
5．《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为x人，物价为y钱，以下列出的方程组正确的是（ ）
A．B．
C．D．
二、解答题（本大题共9小题）
6．已知，点，，且．
(1)求的值．
(2)平移线段，点的对应点在轴的正半轴上，点的对应点恰好在轴的负半轴上，点以每秒3个单位长度从点向轴负半轴运动，同时，点以每秒2个单位长度从点向轴正半轴运动，直线交于点，设点运动的时间为秒．
①如图，当时，探究三角形的面积和三角形的面积的数量关系，并说明理由；
②若三角形的面积为10，直接写出点的坐标．
7．如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一出水口．利用图中信息解决下列问题：
(1)王老师拿空水杯先接了的温水，又接了的开水，刚好接满，且水杯中的水温为．
①王老师的水杯容量为______；
②求此时杯中的水温（不计热损失）；
(2)嘉琪同学拿空水杯先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失），求嘉琪同学的接水时间．
8．【阅读理解】公元前5世纪，毕达哥拉斯学派中的一名成员希伯索斯发现了无理数，导致了第一次数学危机．
定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看做分母为1的有理数；反之为无理数．如不能表示为两个互质的整数的商，所以是无理数．可以这样证明：
设，与是互质的两个整数，且，
则，即 ① ．
因为是整数且不为0，
所以是不为0的偶数．
设（是整数，且），则．
所以 ② ．
所以也是偶数，与是互质的整数矛盾．
所以是无理数．
【解决问题】
(1)写出①，②表示的代数式，使证明过程完整；
(2)证明：是无理数．
9．当m，n．都是实数，且满足时，称为巧妙点．
(1)若是巧妙点，则_____；
(2)判断点是否为巧妙点，并说明理由；
(3)已知关于x，y的方程组且为正整数，若以方程组的解为坐标的点是巧妙点，求的坐标．
10．（列二元一次方程组解应用题）2025年春节档票房冠军《哪吒之魔童闹海》受到广大青少年、小朋友的喜爱，某电影院有两个不同规格的观影厅，长行厅每张票售价40元，星瀚厅每张票售价50元．李叔叔购买了20张票，一共用了950元，请问李叔叔分别买了多少张长行厅票和星瀚厅票？
11．如图，的顶点，，．若向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到．
(1)画出；
(2)若内有一点经过以上平移后的对应点为，直接写出点的坐标；
(3)求的面积．
12．如图，中，是上一点，过作交于点，是上一点，连接．若．求证：．
13．解方程组：
(1)
(2)
14．计算
(1)
(2)
三、填空题（本大题共6小题）
15．冰雹猜想描述了一个数学运算序列，任意取一个正整数，如果它是奇数，则将其乘以3再加1；如果它是偶数，则将其除以2，重复这个过程，经过有限次运算后最终会进入一个循环：，在平面直 角坐标系中，将点中的 和分别按照冰雹猜想同步进行运算，得到新的点的横、纵坐标，其中 和 均为正整数，例如点经过次运算得到点，经过次运算得到点，以此类 推，则点经过次运算后，得到的点坐标是 ．
16．若的整数部分为，小数部分为，则的值为 ．
17．若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k＝ ．
18．如图，，分别交直线、于点、，，若，则 度．
19．若P（﹣4，3），则点P到x轴的距离是 ．
20．已知方程，用含的代数式表示，则 ．
四、单选题（本大题共5小题）
21．用大小完全相同的长方形在直角坐标系中摆成如图所示图案，已知点A的坐标为，则点B的坐标是（ ）
A．B．C．D．
22．空竹在中国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就记载了空竹的玩法和制作方法．小洛在观察抖空竹时发现，可以从运动员某一时刻的姿势中抽象出数学问题：如图，，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
23．已知二元一次方程组的解是，则*表示的方程可能是（ ）
A．B．C．D．
24．已知点轴，且，则点N的坐标是（ ）
A．B．C．或D．或
25．如图，以数轴的单位长度为边长作一个正方形，以表示数的点为圆心，正方形对角线长为半径画半圆，交数轴于点和点，则点表示的数是（ ）
A．B．C．D．
参考答案
1．【答案】A
【分析】明确无限不循环小数是无理数，按照定义判断即可．
【详解】解：是无理数，，，是有理数，
故选A．
2．【答案】B
【详解】∵-30, ∴点（﹣3，3）在第二象限，故选B.
3．【答案】D
【分析】根据的平方根是求出即可．
【详解】解：4的平方根是，用数学式子表示为：，
故选D．
4．【答案】B
【分析】根据反例满足条件，不满足结论可对各选项进行判断．
【详解】解：A. ，满足条件，满足条件和结论，不能作为说明原命题是假命题的反例，不符合题意；
B.，，满足条件，不满足结论，可作为说明原命题是假命题的反例，符合题意；
C.，，不满足条件，不能作为说明原命题是假命题的反例，不符合题意；
D.，，不满足条件，不能作为说明原命题是假命题的反例，不符合题意；
故选B．
5．【答案】D
【分析】仔细审题，找出题目的已知量和未知量，设两个未知数，并找出两个能代表题目数量关系的等量关系，然后列出方程组求解即可．
【详解】解：设合伙人数为x人，物价为y钱，根据题意可得：
，
故选D．
6．【答案】(1)，
(2)①；理由见解析；②点D的坐标为或
【分析】（1）由算术平方根、绝对值的非负性知，解得，；
（2）根据题意，，沿y轴负方向平移2个单位，得，，①，， ，，于是， 可证.
② 时，，，，点D不存在.当，如图1，点D在三角形内部，此时，不符合题意.当时，如图2，点D在第四象限，设，由①得，得，连接，则，解得；当时，如图3，点D在第二象限，得，连接OD，则，解得．
【详解】（1）解：由可知，
，，
解得：，；
（2）解：依题意，平移后点的对应点M在y轴的正半轴上，点的对应点N在x轴的负半轴上，
∴，沿y轴负方向平移2个单位得到，
∴，
①.
理由如下：由题意得，，
∵，
，，
，
，
，
，
即.
②当 时，，
可以看作由向下平移3个单位长度，向右平移2个单位长度得到，
此时，点D不存在；
当，如图，点D在三角形内部，此时，不符合题意；

当时，如图，点D在第四象限，

设，由①得，
，
，
连接，
，
，
，
，，
；
当时，如图，点D在第二象限，
，
，
连接，
，
，
，
，，
；
综上，点D的坐标为或．
7．【答案】(1)①400；②
(2)求嘉琪同学的接水时间为
【分析】（1）①根据水量等于水速乘时间列式计算，即可作答．
②结合“开水的体积开水降低的温度温水的体积温水升高的温度．”即可列式，结合题意列式，解方程，即可作答．
（2）设嘉琪接温水的时间为，接开水的时间为，列出二元一次方程组，再解方程，即可作答．
【详解】（1）解：①依题意：
∴王老师的水杯容量为．
②接入水杯的温水吸收的热量为：；
由题意：
解得
答：王老师的水杯容量为，水温约；
（2）解：设嘉琪接温水的时间为，接开水的时间为，
则，
解得，
，
∴嘉琪同学的接水时间为．
8．【答案】(1)①；②
(2)见解析
【分析】（1）根据等式性质得出结论即可；
（2）类比是无理数的证明进行证明即可．
【详解】（1）解：设，a与b是互质的两个整数，且，
则
即．
因为b是整数且不为0，
所以a是不为0的偶数．
设（n是整数，且），
则．
所以．
所以b也是偶数，与a，b是互质的整数矛盾．
所以是无理数．
（2）设，a与b是互质的两个整数，且，则，
所以，
∵a，b是整数且不为0，
∴a为6的倍数．
设（n是整数），
∴，
∴，
∴b也是6的倍数，与a与b是互质的整数矛盾，
∴是无理数．
9．【答案】(1)5
(2)不是巧妙点，理由见解析
(3)或或．
【分析】（1）根据巧妙点的定义代入求解即可；
（2）根据巧妙点的定义判定即可；
（3）先解方程组，再代入求解即可．
【详解】（1）解：是巧妙点，则，解得，
故答案为：5．
（2）解：不是巧妙点；
∵，
∴不是巧妙点．
（3）解：解方程组得，，
点是巧妙点，则，化简得，
∵为正整数，
∴，，，
则点C的坐标为或或．
10．【答案】李叔叔分别买了5张长行厅票和15张星瀚厅票
【分析】设李叔叔购买了x张张长行厅票，则买了y张星瀚厅票，根据张长行厅票和星瀚厅票共购买了20张票，一共用了950元，列出方程组，解方程组即可．
【详解】解：设李叔叔购买了x张张长行厅票，则买了y张星瀚厅票，根据题意得：
，
解得：，
答：李叔叔分别买了5张长行厅票和15张星瀚厅票．
11．【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）由平移方式画出图形即可；
（2）由平移方式确定点的坐标即可；
（3）利用割补法求三角形面积即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到，
点；
（3）．
12．【答案】见解析
【分析】根据平行线的性质得到，结合得到证明．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
13．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用加减消元法进行求解即可；
（2）利用加减消元法进行运算即可．
【详解】（1）解：
得：
解得：，
将代入①得，
解得：
∴方程组的解为；
（2）解：
得：③
由②可得④
得，
解得：
将代入①得，
解得：
∴方程组的解为
14．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据算术平方根定义，立方根定义，进行计算即可；
（2）根据二次根式加减运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
15．【答案】
【分析】根据新定义的运算，找出点坐标的规律即可求解．
【详解】解：点，
第次，，得，
第次，，得，
第次，，得，
第次，，得，
，
∴每次一循环，
∴，
∴点经过次运算后，得到的点坐标是
16．【答案】15
【分析】首先得出的取值范围，进而得出a，b的值，即可代入求出即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴的整数部分为：，小数部分为：，
∴
17．【答案】2
【分析】方程组两方程相减表示出，代入求出的值即可．
【详解】解：，
②①得：，即，
代入得：，
解得：．
18．【答案】65
【详解】解：如图：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
19．【答案】3．
【分析】坐标系中，根据点到x轴的距离，即为该点的纵坐标的绝对值，解答出即可．
【详解】解：∵点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，
∴点P（﹣4，3）到x轴的距离是|3|＝3．
20．【答案】/
【分析】利用等式的基本性质将原式变形即可．
【详解】解：∵，
∴
21．【答案】D
【分析】设长方形的长边长为a，短边长为b，根据点A的横坐标的绝对值为3个长边加上1个短边，纵坐标为1个长边加上1个短边减去2个短边列出方程组求出a、b的值即可得到答案．
【详解】解：设长方形的长边长为a，短边长为b，
∵，
∴，
解得，
∴点B的横坐标为，纵坐标为，即，
故选D．
22．【答案】C
【分析】过作，由平行线的性质得，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，即可求解
【详解】解：过作，
，
，
，
，
，，
，
，
；
故选C．
23．【答案】C
【分析】根据方程组的解使方程组中的每一个方程都成立，求出的值，再将方程组的解分别代入各个选项中，进行判断即可．
【详解】解：∵二元一次方程组的解是，
∴，
∴，
∴二元一次方程组的解为：，
∴，
，
，
，
故*表示的方程可能是；
故选C．
24．【答案】C
【分析】根据轴，可求得点N的横坐标，再根据，即可求得点N的纵坐标．
【详解】解：∵轴，
∴点N的横坐标是，
∵，
∴点N的纵坐标是或0，
∴点N的坐标是或，
故选C．
25．【答案】C
【分析】根据图形可知正方形的边长为1，面积为1，将两个边长为1正方形沿对角线剪开，拼成以对角线为边长的大正方形，利用大正方形的面积公式求得对角线的长度，即圆的半径，据此即可解答．
【详解】解：根据题意可知，正方形的边长为1， 面积为1，
如图所示，将两个边长为1正方形沿对角线剪开，拼成以对角线为边长的大正方形，
则大正方形的面积为
设小正方形对角线长为，那么大正方形的边长为，
则，
，
圆的半径为，
点表示的数为．
故选C．
物理常识开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为“开水的体积开水降低的温度温水的体积温水升高的温度”．