福建省福州第十九中学2024-2025学年下学期期中测试七年级 数学试题（含解析）

这是一份福建省福州第十九中学2024-2025学年下学期期中测试七年级 数学试题（含解析），共29页。试卷主要包含了选择题．，填空题．，解答题等内容，欢迎下载使用。
（满分150分 时间：120分钟）
一、选择题（每小题4分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．
1. 下列实数中，是无理数的是（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查无理数的识别，整数和分数统称为有理数，无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可．
【详解】解：A．是分数，不是无理数；
B．是整数，不是无理数；
C．是无理数；
D．0是正数，不是无理数，
故选：C．
2. 如果，那么下列不等式不成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了不等式的性质：不等式的两边加上或减去同一个数，不等号的方向不变；不等式的两边乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质分析判断．
【详解】解：∵，
∴，，，，
故选：D．
3. 如图，三条直线，，两两相交，的同位角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了同位角的定义，
根据同位角的定义逐一判断即可．
【详解】解：因为和是直线b，c被直线a所截得到的内错角，所以A不符合题意；
因为和是直线a，c被直线b所截得到的同位角，所以B符合题意；
因为和不具有同位角的特征，所以C，D不符合题意．
故选：B．
4. 下列各式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平方根，算术平方根，立方根的性质，熟练掌握平方根，算术平方根，立方根的性质是解决本题的关键．
利用平方根，算术平方根，立方根的性质对各项计算得到结果，即可作出判断．
【详解】解：A，原式无意义，不能化简，故A选项错误；
B，，故B选项错误；
C，，故C选项正确；
D，，故D选项错误，
故选：C．
5. 下列命题中，真命题是（ ）
A. 互补的角是邻补角
B. 同旁内角互补
C. 过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
D. 如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线也相互垂直
【答案】C
【解析】
【分析】根据两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角去判断；根据两直线平行，同旁内角互补判定；根据平行线的性质和判定去判定．
【详解】A、互补的角不一定是邻补角，故不符合题意；
B、两直线平行，同旁内角互补，故不符合题意；
C、过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，符合题意；
D、如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线平行，故不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了邻补角的定义，平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
6. 已知：在平面直角坐标系中，点的坐标为，点是轴上的一个动点，则当线段的长度最小时，点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形，根据题意得到当轴时，线段的长度最小是解题关键．根据题意可得：当轴时，线段的长度最小，此时点P、Q的纵坐标相同，即可求解．
【详解】解：设点的坐标为，
由垂线段最短可知，当轴时，线段的长度最小，
点的坐标为，
点的坐标为，
故选：B．
7. 关于“”，下列说法不正确的是（ ）
A. 它可以表示面积为21的正方形的边长
B. 它表示21的算术平方根
C. 它的小数部分是
D. 方程的解是
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式，解题的关键是掌握用夹逼法估算无理数的方法，二次根式的加法法则．根据正方形的面积公式，即可判断A；根据的意义，即可判断B；根据无理数的估算方法，即可判断C；根据平方根定义，即可判断D．
【详解】解：A、设面积为21的正方形边长为，则，
∴，故A正确，不符合题意；
B、表示21的算术平方根，故B正确，不符合题意；
C、∵，
∴，
∴的小数部分是，故C正确，不符合题意；
D、方程的解是，故D不正确，符合题意．
故选：D．
8. 我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容如下：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？若设买甜果x个，买苦果y个，则下列关于x、y的二元一次方程组中符合题意的是（ ）
A.
B.
C.
D
【答案】B
【解析】
【分析】设买甜果x个，买苦果y个，根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题．
【详解】解：由题意可得，
故选：B．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
9. 共享单车是一种低碳环保的出行方式，图①是某品牌共享单车，图②是其示意图，其中，都与地面l平行，平分，，则当为（ ）度时，与平行．
A. 69B. 64C. 59D. 52
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的判定以及性质，角平分线的定义，由题意可得，可得出，即可求出，由角平分线的定义可得出，即可得出当时，与平行．
【详解】解：∵，都与地面l平行，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴当时，与平行．
故选：B．
10. 已知关于，的二元一次方程组（其中是常数），不论取什么实数，代数式（是常数）的值始终不变，则的值是（ ）
A. 11B. 12C. 13D. 14
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组的知识，将方程组中的两个方程联立消掉m是解题的关键．将方程组中的两个方程变形后消掉m即可得出结论．
【详解】解：，
，得，
∵代数式（是常数）的值始终不变，
∴．
故选D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）．
11. 在平面直角坐标系中，M（2，－1）在第____________象限．
【答案】四
【解析】
【分析】根据点的横纵坐标的符号可得所在的象限．
【详解】解：∵点M的横坐标为正，纵坐标为负，
∴点M（2，－1）四象限；
故答案为：四．
【点睛】本题考查点在各象限内的符号特征，掌握各象限内点的坐标特征是解答此类问题的关键．象限内点的坐标特征为：第一象限（+，+），第二象限（-，+），第三象限（-，-），第四象限（+，-）．
12. 在学习“用直尺和三角板画平行线”的时候，课本给出如图的画法，这种画平行线方法的依据是________________________________．
【答案】同位角相等，两直线平行
【解析】
【分析】根据同位角相等，两直线平行即可得．
【详解】解：由图可知，，
所以这种画平行线方法的依据是同位角相等，两直线平行，
故答案为：同位角相等，两直线平行．
【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握同位角相等，两直线平行是解题关键．
13. 已知：实数，满足，则的算术平方根是______．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了非负数的性质、求代数式的值、立方根，先根据非负数的性质得出，，即可得出的值，再由立方根的定义计算即可得出答案．
【详解】解：∵，，，
，，
解得：，，
，
的算术平方根是1，
故答案为：．
14. 若是二元一次方程的一个解，则的值是______．
【答案】2029
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程的解，代数式求值．熟练掌握二元一次方程的解，代数式求值是解题的关键．根据二元一次方程的解的定义得出，根据，代值求解即可．
【详解】解：∵是二元一次方程的一个解，
∴，
∴
，
故答案为：2029．
15. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴距离的较大值，称为点的“长距”，当点的“长距”等于点的“长距”时，称，两点为“等距点”．若，两点为“等距点”，则的值是______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，解绝对值方程，正确理解题意利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
根据点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，点到y轴的距离为横坐标的绝对值分两种情况：且或且，据此讨论求解即可．
【详解】解：∵，两点为“等距点”，
∴且或且，
当且时，
解得或；
当且，
解得（舍去）或（舍去）；
综上所述，或
故答案为：或．
16. 如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角．这就是光的反射定律（若垂直入射，则光线原路返回）．如图2，小峰同学将支架平面镜放置在水平桌面上，镜面的调节角激光笔发出的光束射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线）的夹角，则反射光束与天花板所形成的角（记为）的取值范围是______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理，
先作，可得，，再分两种情况：当调节角的调节范围在时，当调节角的调节范围在时，根据三角形内角和定理可得答案．
【详解】解：当时，，
∴．
∵，
∴，此时入射光线与反射光线重合．
过点G作，
∴，
∴，．
当调节角的调节范围在时，
由图可得．
∵，
∴；
当调节角的调节范围在时，
由图可得．
∵，
∴．
故答案为：或．
三、解答题（本大题共9小题，共86分，解答应写出必要的文字说明、证明过程、正确作图或演算步骤）
17. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了立方根、绝对值及实数的运算，熟练掌握立方根、绝对值的定义及化简方法是解题关键．
根据立方根的定义、绝对值的定义化简后合并即可．
【详解】解：原式
．
18. 解方程组：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键．用加减消元法求解即可．
【详解】解：
，得③，
，得，
解得．
把代入②，得，
解得．
∴原方程组的解为．
19. 解不等式，并在数轴上表示它的解集．
【答案】，数轴见解析
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答．
【详解】解：
．
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．
20. 如图，已知，于点，，
求证：．

【答案】见解析
【解析】
【分析】由，，得到，推出，又，得到，即可证明．
【详解】证明：，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质，垂线，关键是由，，推出，得到．
21. 在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点的坐标分别是，，．
（1）将三角形平移得到三角形，其中点的对应点为，请在所给的图中，先画出这个平面直角坐标系，再画出三角形．
（2）三角形的面积是______．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】此题考查了平移作图，求三角形面积，
（1）根据三角形三个顶点的坐标分别是，，，即可确定坐标系，再结合平移后点的对应点为，即可确定平移方式为“向右平移1个单位，向下平移2个单位”，画图即可．
（2）根据三角形的面积是矩形的面积减去三个三角形的面积即可求解．
【小问1详解】
解：平面直角坐标系和三角形如图．
【小问2详解】
解：三角形的面积．
22. 为鼓励同学们参加主题为“阅读润泽心灵，文字见证成长”的读书月活动，学校计划购进一批科技类和文学类图书作为活动奖品．已知同类图书中每本书价格相同，购买2本科技类图书和3本文学类图书需120元，购买4本科技类图书和5本文学类图书需210元．
（1）科技类图书和文学类图书每本各多少元？
（2）经过评选有300名同学在活动中获奖，学校对每位获奖同学奖励一本科技类或文学类图书．如果学校用于购买奖品的资金不超过7300元，那么文学类图书最多能买多少本？
【答案】（1）科技类图书每本15元，文学类图书每本30元
（2）文学类图书最多能买186本
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系和不等关系，列出方程组和不等式组．
（1）设科技类图书每本元，文学类图书每本元，根据两种购买方案列出方程组求解即可；
（2）设文学类图书能买本，根据不等量关系列出不等式组求解即可．
【小问1详解】
解：设科技类图书每本元，文学类图书每本元．
依题意，得
解得
答：科技类图书每本15元，文学类图书每本30元．
【小问2详解】
解：设文学类图书能买本．
依题意，得
解得即．
又∵为整数
∴的最大值为186．
答：文学类图书最多能买186本
23. 小茗同学探索的近似值的过程如下：
∵面积为145的正方形的边长是且
∴设，其中．
画出示意图，如图所示．
根据示意图，可得图中正方形的面积
依题意，得
∴
∵
∴
此时可忽略，得
解得
∴即的近似值是12.04
（1）的整数部分为______．
（2）仿照小茗的探索过程，求的近似值．（画出示意图，标注数据，并写出求解过程，近似值精确到0.01）
【答案】（1）16 （2）16.44
【解析】
【分析】本题考查了无理数的估算，解题关键是准确理解题目中的方法，按照方法进行估算；
（1）根据270附近的平方数确定的整数部分即可；
（2）按照题目给出的方法求出的近似值即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
的整数部分为16，
故答案为：16．
【小问2详解】
解：示意图如图所示：
∵面积为270的正方形边长为，
且，
∴设，其中
根据示意图，可得图中正方形面积
又∵，
∴，
当时，可忽略，得：，解得：
即．
24. 【数学活动回顾】七年级下册教材中我们曾探究过“以方程的解为坐标（的值为横坐标、的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与它的图象上点的坐标的关系．
规定：以方程的解为坐标的所有点的全体叫做方程的图象．
结论：一般地，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线．
示例：如图1，我们在画方程的图象时，可以取点和作出直线．
【解决问题】（1）请在图2所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象．
（2）观察（1）的图象，两条直线的交点坐标是______，由此得出这个二元一次方程组的解是______．
【拓展延伸】
（3）①在同一平面直角坐标系中，二元一次方程的图象和的图象，如图3所示．请根据图象，直接判断方程组的解的情况是______．
②已知点，在二元一次方程的图象上，求，的值．
③在②的条件下，以关于、的方程组的解为坐标的点在方程的图象上，当时，化简．
【答案】（1）图见解析
（2）；
（3）①无解；②；③1
【解析】
【分析】（1）给出二元一次方程的两个解，利用两点确定一条直线，画出直线即可；
（2）利用画出的图象写出交点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标即可得到方程组的解；
（3）①根据两条直线平行，对应方程组无解即可判断；
②把，代入，得到关于a、b的方程组，解方程组即可；
③根据二元一次方程组的解的定义，得出，根据绝对值以及二次根式的性质化简，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示， 取点，，作出的图象，取点，，作出的图象；
；
（2）解：观察图象，两条直线的交点坐标为，由此得出这个二元一次方程组的解是，
故答案为：；．
（3）解：①由图像可知，图象和图象平行，
∴方程组无解，
故答案为：无解；
②把，代入，
得，
解得；
③，
相加得，
∵已知以关于x、y的方程组的解为坐标的点在方程的图象上，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴，，
∴
．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解的定义，一次函数的交点与二元一次方程组的关系，二次根式的化简，化简绝对值，二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系，数形结合是解题的关键．
25. 已知点为直线外一点，过点作直线．现将一个含角的三角板按如图1放置，使点、分别在直线、上，且点在点的右侧，其中，，，设．
（1）根据图1填空：______°．
（2）如图2，的平分线交直线于点，而且，求此时的度数．
（3）在（2）的条件下，将三角板绕点以每秒的转速逆时针旋转，同时射线绕点以每秒的转速进行顺时针旋转，射线旋转一周后停止转动，同时三角板也停止转动．在旋转过程中，当时，求射线的运动时间的值．
【答案】（1）270 （2）
（3）的值为秒或秒或60秒
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，分类讨论是解题的关键．
（1）先作辅助线构造平行，根据平行线的性质求出，进而可求出的值；
（2）由平行线的性质求出，从而，由角平分线的定义得，进而可求出；
（3）分三种情况，先把图形画出来，然后数形结合找到角之间的数量关系，列出方程，从而求出t．
【小问1详解】
解：如图1，过点G，作，
，
，
，，
，
∴．
故答案为：；
【小问2详解】
，
，
∵，
∴，
∵，
∴．
∵的平分线交直线于点H，
，
∵
∴，
即；
【小问3详解】
∵射线旋转一周后停止转动，同时三角板也停止转动．
∴
分三种情况：
当在下方时，
由题意，得，
∵，
∴，即，
解得；
如图，当在直线的上方时，
由题意，得，
∴．
∵，
∴，即，
解得；
当在直线上方时，
由题意，得，
∵
∴
∴
解得；
综上可知，的值为秒或秒或60秒．