北京市第十八中学2024-2025学年七年级下学期期中 数学试题（含解析）

这是一份北京市第十八中学2024-2025学年七年级下学期期中 数学试题（含解析），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
I卷（选择题）
一、选择题（本题每小题3分，共24分）
1. 下列各组图形或图案中，能将其中一个图形或图案通过平移得到另一个图形或图案的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平移的基本性质，平移不改变图形的形状、大小和方向．注意结合图形解题的思想．根据平移的性质，结合图形，对选项进行一一分析，选出正确答案．
【详解】解：A、图形的方向发生变化，不符合平移的性质，不能平移得到，故A不符合题意；
B、图形的大小没有发生变化，符合平移的性质，属于平移得到，故B符合题意；
C、图形的方向发生变化，不符合平移的性质，不能平移得到，故C不符合题意；
D、图形由轴对称得到，不能通过平移得到，故D不符合题意．
故选：B．
2. 16的算术平方根是（ ）
A. 4B. ±4C. 8D. ±8
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根，根据算术平方根的定义即可求解，熟练掌握：“，那么这个正数叫做的算术平方根”是解题的关键．
【详解】解：16的算术平方根是4，
故选A．
3. 在−2，0，2，−这组数中，最小的数是（ ）
A. -2B. 0C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，比较即可．
【详解】解：∵，
∴-2＜-＜0＜2，
∴最小的数是-2．
故选：A．
【点睛】本题考查了实数的大小比较法则的应用，实数的大小比较法则是：负数都小于0，负数都小于正数，两个负数，其绝对值大的反而小．
4. 在平面直角坐标系中，点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了第三象限点坐标的特征．熟练掌握第三象限点坐标为是解题的关键．
根据第三象限点坐标为，进行判断作答即可．
【详解】解：由题意知，位于第三象限，
故选：C．
5. 下列图形中，由，能得到的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．根据平行线的性质逐项分析即可．
【详解】解：A、由，得到，与不一定相等，不符合题意；
B、记的对顶角为，则，由，得到，故，符合题意；
C、由，得不到，故不符合题意；
D、由，可以得到，但，得不到，故不符合题意，
故选：B．
6. 下列命题：
①经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
③两条直线被第三条直线所截，内错角相等
④所有实数都可以用数轴上的点表示
其中真命题的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查命题的真假判断，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题，解答的关键是熟知相关的几何知识．根据平行线的判定与性质、垂线性质，实数与数轴逐个判断即可作出选择．
【详解】解：①经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，正确，是真命题；
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，是真命题；
③两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，原命题错误，是假命题；
④所有实数都可以用数轴上点表示，正确，是真命题；
综上分析，是真命题的有3个，
故选：C．
7. 如图，正方形的面积为3，顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，数轴上有一点E在点A的左侧，若，则点E表示的数为（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查算术平方根的应用，实数与数轴，解题的关键是根据正方形的面积求出．先根据正方形的面积求出正方形的边长，即可求出，根据点A表示的数为1，且点E在点A的左侧，即可求出E点所表示的数．
【详解】解： 正方形的面积为3，
，
，
，
点A表示的数为1，且点E在点A的左侧，
点所表示的数为 .
故选：A.
8. 幻方的起源与中国古代的“河图”和“洛书”紧密相关，被认为是三阶幻方的最早形式．现将个不同的整数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则和的值分别是（ ）

A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，根据表格列出方程组．根据题意列出关于、的二元一次方程组即可求解．
【详解】解：根据题意可得：，
解得：，
故选：C．
II卷（非选择题）
二、填空题（本题每小题2分，共16分）
9. 在实数，，，中，是无理数的是_____．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查无理数的识别，算术平方根，熟练掌握其定义是解题的关键．无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可．
【详解】解：在实数，，，中，属于无理数的是，
故答案为：．
10. 如图，小明在长方形的篮球场上沿直线进行折返跑训练，他从场地一边的点处出发，选择到对面的______（填，或）点处折返一次回到点时，跑过的路程最短，理由是______．
【答案】 ①. B ②. 垂线段最短
【解析】
【分析】本题主要考查了点到直线的线段中，垂线段最短，解题的关键是理解垂线段最短．
根据题意，由垂线段最短即可求解．
【详解】解：小明在长方形的篮球场上沿直线进行折返跑训练，他从场地一边的点处出发，选择到对面的B点处折返一次回到点时，跑过的路程最短，理由是垂线段最短，
故答案为：B；垂线段最短．
11. 点P（m﹣1，m+3）在平面直角坐标系的x轴上，则P点坐标是_____．
【答案】
【解析】
【分析】利用在x轴上的点坐标特征解答即可．
【详解】解：由题意，得：m+3＝0，解得m＝﹣3，
∴m﹣1＝﹣4，
∴点P的坐标为（﹣4，0）．
故答案为（﹣4，0）．
【点睛】本题考查了x轴上点的坐标特征，掌握在x轴上的点纵坐标为0的特征是解答本题的关键．
12. 已知是关于x，y的二元一次方程的一个解，那么a的值是______．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程的解，理解掌握二元一次方程的解是解题的关键．把代入方程得到关于a的一元一次方程，解之即可．
【详解】解： 是关于x，y的二元一次方程的一个解，
，
解得．
故答案为：3.
13. 我们知道，由角的数量关系可得两条直线的位置关系．如图，为使成立，请写出一组角的数量关系作为条件：__________．

【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定，掌握平行线的三个判定方法是解答本题的关键；根据平行线的判定，结合图形可考虑同位角相等或同旁内角互补来解答．
【详解】解：当时，有；
也可以是或；
故答案为：（答案不唯一）．
14. 将一副三角板按如图所示摆放在一组平行线内，，则的度数为______．
【答案】##70度
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行内错角相等是解题的关键．根据题意知，，，得到，再根据平行线的性质得到，即可求解．
【详解】解：根据题意知，，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
15. 如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，靠背与支架平行，前支架与后支架分别与交于点和点，与交于点，当，时，人躺着最舒服，此时扶手与靠背的夹角________°．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平行线性质，三角形的外角性质，解题的关键是掌握平行线的性质．根据题意可得，得到，由，可得，再根据三角形的外角性质即可求解．
【详解】解：根据题意可得，
，
，
，
，
故答案为：．
16. 为了传承中华文化，激发学生的爱国情怀，提高学生的文学素养，某学校初一（2）班举办了“古诗词”大赛，现有小恩、小地、小奕三位同学进入了最后冠军的角逐，决赛共分为六轮，规定：每轮分别决出第1，2，3名（没有并列），对应名次的得分都分别为a，b，c（且a，b，c均为正整数）．选手最后得分为各轮得分之和，得分最高者为冠军．如表是三位选手在每轮比赛中的部分得分情况．根据题中所给信息，________，小奕同学第三轮的得分为________分．
【答案】 ①. 5 ②. 2
【解析】
【分析】本题考查方程的解逻辑推理能力，根据三位同学的最后得分情况列出关于的等量关系式，然后结合且均为正整数确定的值，从而确定小奕同学第三轮的得分，理解题意，分析数据间的等量关系，抓住第二轮比赛情况是解题关键，
【详解】由题意可得：，
∴，
∵均为正整数，
若每轮比赛第一名得分a为4，则最后得分最高的为，
∴a必大于4，
又∵，
∴最小取3，
∴，
∴，，，
∴小恩同学最后得分27分，他5轮第一，1轮第二；
小地同学最后得分11分，他1轮第一，1轮第二，4轮第三；
又∵表格中第二轮比赛，小地第一，小奕第三，
∴第二轮比赛中小恩第二，
∴第三轮中小恩第一，小地第三，小奕第二，
∴小奕的第三轮比赛得2分，
故答案为：5，2．
三、计算题（每题4分，共16分）
17. 计算：．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及化简绝对值，求一个数的立方根，掌握运算法则，正确化简计算是解题的关键．
分别化简计算绝对值，立方根，再进行加减计算即可．
详解】解：
．
18. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及求一个数的立方根和算术平方根，以及化简绝对值，掌握运算法则，正确化简是解题的关键．
分别化简计算算术平方根、绝对值，立方根，再进行加减计算．
【详解】解：
．
19. 解方程组：
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查解二元一次方程组，掌握加减消元法是解题的关键．
先将第①个方程，然后利用加减消元法解方程组即可．
【详解】解：
由得，,
解得：，
将代入①得，，
解得：，
∴原方程组的解为：．
20. 解方程组：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握代入消元法和加减消元法是解题的关键．
先将原方程组进行适当变形，再由加减消元法求解即可．
【详解】解：原方程组化为
由得，，
将代入①得，，
解得：，
∴原方程组的解为：．
四、解答题
21. 补全下列证明过程．
如图，在四边形中，，垂足为点A，点E在边上，且，垂足为点F，．求证：．

证明：∵，、
．
______．（理由： ）
______．（理由： ）
∵，
_____．（理由： ）
______．（理由： ）
．（理由： ）
【答案】；同位角相等，两直线平行；；两直线平任，同位角相等；；等量代换；；内错角相等，两直线平行；两直线平任，同旁内角互补
【解析】
【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质定理是解题的关键．
先根据同位角相等，两直线平行得出，再根据平行线的性质得出，从而可得出，然后根据内错角相等，两直线平行得出，最后由两直线平行同旁内角互补得出结论．
【详解】证明：∵，，
．
．（理由：同位角相等，两直线平行）
．（理由：两直线平任，同位角相等）
∵，
．（理由：等量代换）
．（理由：内错角相等，两直线平行）
．（理由：两直线平行，同旁内角互补）
22. 在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别是，．
（1）画出三角形，并求它的面积；
（2）将三角形平移到三角形，其中点A，B，C对应点分别是，，，已知点的坐标是，
①点的坐标是_________，点的坐标是 ；
②写出一种将三角形平移到三角形的方法： ．
【答案】（1）见解析；11
（2）①；；②先向右平移4个单位，再向下平移2个单位（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查坐标与图形，坐标与平移．解题的关键是熟练掌握平移规律．
（1）根据点A、B、C的坐标进行描点，然后连线即可得出三角形，利用割补法求出三角形的面积即可；
（2）①根据点A的坐标和平移后点的坐标是得出平移方式，然后求出点和点的坐标即可；
②根据点A平移得出点，得出将三角形平移到三角形的方法即可．
【小问1详解】
解：如图，为所求作的三角形；
；
【小问2详解】
解：①∵点平移后点的坐标是，
∴点A向右平移4个单位，向下平移2个单位到，
∴点B、C分别向右平移4个单位，向下平移2个单位到，，
∴点的坐标是，点的坐标是；
②∵点A向右平移4个单位，向下平移2个单位到，
∴将三角形先向右平移4个单位，再向下平移2个单位到三角形．
23. 列二元一次方程组解决问题：某商店决定购进甲、乙两种文创产品．若购进甲种文创产品7件，乙种文创产品3件，则费用是285元；若购进甲种文创产品2件，乙种文创产品6件，则费用是210元．求购进的甲、乙两种文创产品每件的费用各是多少元？
【答案】甲种文创产品每件的费用为30元，乙种文创产品每件的费用为25元．
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意，建立二元一次方程组是解题的关键．
设甲种文创产品每件的费用为元，乙种文创产品每件的费用为元，由“若购进甲种文创产品7件，乙种文创产品3件，则费用是285元；若购进甲种文创产品2件，乙种文创产品6件，则费用是210元”建立方程组求解即可．
【详解】解：设甲种文创产品每件的费用为元，乙种文创产品每件的费用为元，
由题意可得，
得：，
将代入②中可得：，
∴，
答：甲种文创产品每件的费用为30元，乙种文创产品每件的费用为25元．
24. 如图，三角形中，，过点C作的平行线l，在线段上任取一点D（不与点A，B重合），过点D作的垂线交于点E，交直线l于点F．

（1）依题意补全图形；
（2）求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定和性质和垂直的性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
（1）依据题意补全图形即可；
（2）由，，得到，进而得到，又根据得到，由此得证．
【小问1详解】
解：补全图形如下图．
【小问2详解】
证明：∵，
∴，
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
25. 小兵喜欢研究数学问题，他设计了如下两种变换：
A变换：首先对实数取算术平方根，减去1；
B变换：首先对实数取立方根，然后取不超过该立方根的最大整数；例如：实数7经过一次变换得到，实数10经过一次变换得到2．
（1）①实数25经过一次变换所得的数是_______；
②实数25经过一次B变换所得的数是_______；
（2）整数m经过两次B变换得到的数是1，则m的最小值是_______；最大值是_______；
（3）实数经过一次变换得到数是，实数经过一次变换得到的数是，是否存在使得成立？若存在请直接写出的值，若不存在请说明理由．
【答案】（1）①4；②2
（2）1，511 （3）存在，x的值为4或9
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算，涉及算术平方根，立方根，无理数的估算．
（1）①根据题意，列式进行计算即可；②根据题意，列式进行计算即可；
（2）根据立方根的定义列式求解即可；
（3）根据题意，列出x的方程求解即可得出结论．
【小问1详解】
解：①根据题意得：，
故答案为：4；
②，
，
不超过的最大整数为2，
故答案为：2；
【小问2详解】
解：根据题意得：，
，且m是整数，
m的最小值是1；最大值是；
故答案为：1，511；
【小问3详解】
解：存在，x的值为4或9，
，，
当时，即，
，
当时，，
，
∴当时，，
当时，，
，
所以当时，，
当时，的最小值为，的最小值为3，
，
不存在x值使得，
x的值为4或9时，成立．
26. 阅读下列材料：
如图，点P是线段所在直线之间的一点，且，连接．小马同学通过观察，度量，提出猜想：．
接着他时猜想进行了证明，证明思路是：如图1，过点P作，由．可得．
根据平行线的性质，可得，从而得证．
请你参考小马同学的证明思路，完成下列问题：
（1）如图2，点P是线段AB，CD所在直线上方的一点，且，连接．用等式表示，，之间的数量关系，并说明理由；
（2）在（1）的条件下，和的角平分线所在直线交于点M．在图3中补全图形，用等式表示与之间的数量关系．
【答案】（1），理由见解析
（2）（或）
【解析】
【分析】本题考查平行线性质，角平分线定义，三角形内角和定理，外角和定理等．
（1）根据题意过点P作，利用平行线性质即可得到本题答案；
（2）根据题意过点作，利用角平分线定义得，，再利用内角和定理和外角和定理即可得到本题答案．
【小问1详解】
解：数量关系：．
证明：过点P作，
∴（两直线平行，内错角相等）．
∵（已知），
∴（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．
∴（两直线平行，内错角相等）．
∵ （如图），
∴ （等量代换）．
即；
【小问2详解】
解：补全图形：
∵和的角平分线所在直线交于点M，
∴将图按如下命名：
∴，，
又∵，
过点作，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
数量关系：（或）．
27. 在平面直角坐标系中，已知点，若点Q的坐标为，则称Q是点P的非常变换点．例如：点的非常变换点为．
（1）已知点的非常变换点为Q，当时，点Q的坐标为_________，当时，点Q的坐标为___________；
（2）在正方形中，点，已知点．
①若点M的非常变换点为C，求a的值；
②若线段上的所有点（含端点）和它们的非常变换点都在正方形的边上或内部，直接写出a的最小值及此时x的值．
【答案】（1）；
（2）① ②；1
【解析】
【分析】本题主要考查了非常变换点的定义，二元一次方程组的应用，一元一次不等组的应用，理解非常变换点的定义是解题的关键．
（1）根据非常变换点的定义求解即可．
（2）①由题意得，的非常变换点为．根据非常变换点的定义列出关于x和a的二元一次方程组求解即可． ②根据线段在正方形内部及边上，列出关于x以及a的一元一次不等式组，解不等组求出x和a的取值范围，根据，则a的最小值为得出M和N的坐标，根据非常变换点的定义求出M和N各自对应的非常变换点和，最后验证和是否在正方形的边上或内部即可．
【小问1详解】
解：当时，点，
∴，，
∴，
当时，，
∴，，
∴．
故答案为：；
【小问2详解】
①由题意得，的非常变换点为．
则，
整理得：，
解得：，
∴．
②若线段在正方形内部及边上，
则，解得：，
，解得：
∴a的最小值为，
若a取最小值，则x取最大值，
∴，则a的最小值为，
此时，其非常变换点，，其非常变换点，
则线段上的所有点（含端点）和它们的非常变换点都在正方形的边上或内部成立．
故a的最小值为，此时.
第一轮
第二轮
第三轮
第四轮
第五轮
第六轮
最后得分
小恩
a
a
27
小地
a
b
c
11
小奕
c
b
10