河北省部分学校2025届高三下学期高考综合能力提升卷（一）数学试卷（解析版）

这是一份河北省部分学校2025届高三下学期高考综合能力提升卷（一）数学试卷（解析版），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由集合，即集合为偶数集，
又由，可得.
故选：B.
2. 已知复数满足（是虚数单位），则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】复数满足，
可得，
所以，则.
故选：A.
3. 已知偶函数的定义域为，且当时，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由偶函数的性质可知，，得，
即时，，.
故选：C
4. 已知焦距为的双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】直线的斜率为，所以一条渐近线的斜率为，
即，且满足，，得，，
所以双曲线方程.
故选：C
5. “的展开式中的系数为60”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】“的展开式中含的项为，
.
所以“的展开式中的系数为60”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D
6. 已知为抛物线上的一点，到的焦点距离与到轴距离之和为16，则点的横坐标为（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】C
【解析】抛物线的焦点，准线方程为，设点的横坐标为，
由到的焦点距离与到轴距离之和为16，得，
所以.
故选：C
7. 已知函数，，且，则（ ）
A. 的图象关于对称
B. 的单调递增区间为
C. 当时，的值域为
D. 的图象可由函数的图象向右平移个单位长度获得
【答案】D
【解析】因为，且，
所以，解得，
所以，
所以函数的解析式为：，
对于A，当时，，所以的图象不关于对称，故A错误；
对于B，由,得，所以的单调递增区间为，故B错误；
对于C，因为，所以，所以，所以，所以的值域为，故C错误；
对于D，函数的图象向右平移个单位长为，故D正确.
故选：D.
8. 已知函数，，若函数在上有两个不同的极值点，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由函数，可得其定义域为，且，
令，即，可得，
因为函数在上有两个不同的极值点，
所以方程有两个不同的正实数根，
则满足，解得或，且，
则，所以，
又由
，其中，
令，其中，可得，
再令，可得，
所以单调递减，因为，所以，即，
所以函数在单调递减，所以，
所以的取值范围是.
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】因为，所以，则，
所以，故A正确；
则，所以，故B正确；
因为，所以，则，故C错误；
由，则，所以，故D正确；
故选：ABD
10. 某商场统计了180天日收入（单位：万元），并分组如下：，，，⋯，，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（ ）
A. 这180天中日收入不低于8万元的有54天
B. 用比例分配的分层随机抽样法从日收入低于8万元的天数中抽取14天，则这14天中有6天的日收入低于4万元
C. 这组数据的平均数是6万元（每组数据以区间中点值为代表）
D. 这组数据的第75百分位数为8.5万元
【答案】AD
【解析】对于A，由频率分布直方图得这180天中日收入不低于8万元的有天，故A正确；
对于B，日收入低于8万元的各组的频率比为，
所以从日收入低于8万元的天数中抽取14天各组抽取的天数依次为2天、3天、4天、5天，
则这14天中有天的日收入低于4万元，故B错误；
对于C，这组数据的平均数是
万元，故C错误；
对于D，因为前4组的频率为，
前5组的频率为，
所以这组数据的第75百分位数在第5组为万元，故D正确.
故选：AD
11. 已知是圆上的一点，是圆上的一点，为直线上一点，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最大值为B. 的最小值为
C. 的最小值为D. 的最大值为
【答案】ACD
【解析】由题意可得圆圆心为，半径为3，圆圆心为，半径为1，
则两圆心距离，即两圆相离，
对于A，由题意可得两圆上的点的距离最大值为，故A正确；
对于B，由题可设，则，
所以当时，取得最小值为，故B错误；
对于C，因为点关于直线对称的点为，
所以点关于直线对称的点为，
所以如图，作圆和点N关于l对称的圆，
则由图可知当对称圆的圆心和对称点以及M、四点共线时可得的最小值为，故C正确；
对于D，如图可知当P位于N一侧且三点共线时取得最大值为，
而最大值为，故D正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，向量，若向量与平行，则__________．
【答案】
【解析】，
即.
13. 若，，则________．
【答案】
【解析】由，，得，
所以.
故答案为：
14. 秦量是秦代为统一全国量制而由官府颁发的标准量器，秦量多为铜质和陶质，铜量有方升和椭量，陶量则多为圆桶形（即圆台形状，如图所示）．某地出土秦诏文陶量1件，高为10厘米，上部外径（即上底面外部直径）为24厘米，下部外径（即下底面外部直径）为16厘米，则此陶量的外接球的表面积为________平方厘米．

【答案】
【解析】如图，画出圆台的轴截面，

，，，
由题意可知，球心在上，设，，
所以，解得：，，
所以外接球的表面积.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知数列满足，．
（1）求证：是等差数列；
（2）若，求数列的前项和．
（1）证明：数列中，，，则，，
所以数列是以为首项，公差为2的等差数列.
（2）解：由（1）知，，则，，
所以数列的前项和.
16. 如图，四棱锥中，平面ABCD，，E为PA上一点，且．
（1）证明：平面平面PAC；
（2）求直线PB与平面BEC所成角的正弦值．
（1）证明：平面ABCD，平面ABCD，，
∵在直角梯形ABCD中，，
，
又．平面PAC，平面PAC，
平面PAC，平面EBC，
∴平面平面PAC；
（2）解：以A为坐标原点，AD，AB，AP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图所示）．
易知．
则．
设是平面BCE的法向量．
则即 所以可取
∴直线PB与平面BEC所成角正弦值为．
17. 某农业科学院果树研究所在培育新品种苹果树的研究中，选择6个果园试种新品种苹果树，得到样本数据如下表：
（1）若果园的面积（单位：亩）与产量（单位：吨）满足线性回归关系，试求关于的线性回归方程；
（2）果树研究所在某县大面积推广此品种苹果树，以这6个果园亩产量高于3吨/亩的频率为概率，从该县果园中随机抽取3个，其中亩产量高于3吨/亩的果园的个数记为，求的分布列和数学期望．
参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．
参考数据：．
解：（1），，
，
所以，
，
所以；
（2）由题意可知，6个果园亩产量高于3吨/亩的频率为，
则，
，，
，，
即
.
18. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过的直线与交于，两点，当直线垂直于时，．
（1）求的方程；
（2）若的内切圆的半径为，求直线的方程．
解：（1）令椭圆的半焦距为，由离心率为，得，，
椭圆，当时，，依题意，，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）由（1）知，，设直线的方程为，，
由消去并整理得，
，，
的面积，
由的内切圆的半径，得，
因此，整理得，即，
解得，所以直线的方程.
19. 若存在正数，对任意的，恒成立，则称函数，在上具有性质“”．
（1）判断函数，在上是否具有性质“”，并说明理由；
（2）若函数，在上具有性质“”，求的取值范围；
（3）若函数与在上具有性质“”，且存在，，使得，求证：．
（1）解：函数和在上具有性质“”.
理由如下：
因为和在上均为偶函数，且在上单调递增，
所以只需考虑的情况，
令，则，
所以在区间上单调递增，且，所以恒成立，
则，即，
则，再根据函数是偶函数，
即，，
所以函数和在上具有性质“”.
（2）解：，在区间单调递增，在上单调递增，
设，若函数和具有性质“”，
则，整理为
设，由以上可知，在区间上单调递增，
即，
当时，恒成立，
令，，，得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以当时，取得最小值，
所以；
（3）证明：由题意可知，存在，，
，又，
则，即，
，，设，，
，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
设，，不妨设，，，且，
设，
，
所以在区间上单调递减，且，即，
即，即，则，
即，则，得，即证.果园的面积（单位：亩）
1
2
3
4
5
6
产量（单位：吨）
2.6
6.3
9.3
11.2
16.5
18.3
0
1
2
3