辽宁省辽阳市2025届高考二模数学试卷（解析版）

这是一份辽宁省辽阳市2025届高考二模数学试卷（解析版），共15页。试卷主要包含了 复数的虚部为， 已知命题，命题，则， 已知为第一象限角，且，则， 已知是奇函数，则， 已知变量和的统计数据如下表， 已知函数，则下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。
1. 复数的虚部为（ ）
A. 6B. C. D.
【答案】A
【解析】，所以复数的虚部为6．
故选：A
2. 已知命题，命题，则（ ）
A. 和都是真命题B. 和都是真命题
C. 和都是真命题D. 和都是真命题
【答案】A
【解析】由，得是真命题，是假命题；
当时，，则，则是真命题，是假命题．
综上，和都是真命题.
故选：A
3. 已知为第一象限角，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】．
因为为第一象限角，所以．
故选：C
4. 已知是奇函数，则（ ）
A. 0B. 1C. 2D.
【答案】D
【解析】当时，，则，
因为是奇函数，所以，
即时，，则．
故选：D
5. 函数图象上一点到直线的最短距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设与直线平行且与曲线相切的直线的切点坐标为．
因为，所以，解得，则切点坐标为．
最短距离为点到直线的距离，即．
故选：C
6. 已知变量和的统计数据如下表：
若和线性相关，则关于的回归直线方程为（ ）
（附：回归直线方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题意得,
因为，
所以，，
故回归直线方程为,
故选：D.
7. 一个盒子中有5个白色乒乓球和4个橘黄色乒乓球．现从盒子中任取3个乒乓球，记取出的3个乒乓球中的颜色为橘黄色的个数为，则（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】C
【解析】盒中有两种颜色的球，任取3个，橘黄色的可能有0个，1个，2个，3个，属于超几何分布，
取出的3个乒乓球中的颜色为橘黄色的个数为，则．
故选：C.
8. 已知双曲线的焦距为，左、右焦点分别为，过点作斜率不为0的直线与双曲线的左、右支分别交于两点．若的内切圆与直线相切于点，且，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】设的内切圆分别切于点，
则，，
因为，
所以，得，
所以，即，①
因为，所以，
即，②，
所以①②，得，得，
因为，所以，
所以，
所以双曲线的渐近线方程为，
即.
故选：D

二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 的定义域为B. 的值域为
C. 是奇函数D. 在上单调递减
【答案】BCD
【解析】的定义域为，值域为，A错误，B正确．
是奇函数，C正确．
当时，，函数上单调递减，
函数在上单调递增，所以在上单调递减，D正确．
故选：BCD
10. 已知，且为等比数列，公比为，记，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】由等比数列的性质得，A正确
共有项，则2，即，B正确．
若为偶数，则为奇数，由得．若为奇数，则为偶数，由得，C错误．
当为偶数，，
所以，
当为奇数时，，
，
当为奇数时，，
，
综上D正确．
故选：ABD
11. 已知曲线，则下列结论正确的是（ ）
A. 曲线关于轴对称
B. 曲线上的点到轴的距离的最大值为1
C. 若，且点在上，则
D. 若曲线与圆只有2个公共点，则的取值范围为
【答案】ABC
【解析】把点关于轴对称的点代入轨迹方程成立，A正确．
因为，所以，所以曲线上的点到轴的距离的最大值为1，正确．
因为，所以．
当时，因为点在上，
所以．
因为，所以，即．
当时，因为点在上，所以．
因为，所以．故1，C正确．
联立得．
当时，，当时，，即是曲线与圆的2个公共点．
因为曲线与圆只有2个公共点，所以方程除外没有其他解．
因为，所以4，所以，D错误．
故选：ABC.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 已知向量，若，则__________．
【答案】
【解析】由，可得，解得，
则，所以．
故答案为：.
13. 甲、乙等5人站成一排拍照，已知甲没有站在最中间，则甲、乙相邻的概率为__________．
【答案】
【解析】设事件为甲没有站在最中间，事件表示甲、乙相邻，
则甲没有站在最中间的概率为，即，
甲没有站在最中间，且甲，乙相邻的概率为，即，
所以．
故答案为：
14. 如图，在棱长为6的正四面体中，点满足，则四面体的外接球的表面积为__________．
【答案】
【解析】在正四面体中，取的中点为，连接．
易知平面．
设四面体的外接球的球心为，则点在平面上．
设在平面上的射影分别为，显然为的重心，
则．
在中，，
则．
以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则．
设，外接球的半径为，则，
即，
即解得即，
则所求外接球的表面积．
四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 在中，内角所对的边分别为，已知．
（1）求角大小；
（2）若的周长为，证明：为等边三角形．
（1）解：由及正弦定理，得．
因为，所以，则，得．
（2）证明：由余弦定理得．
因为周长为，即，
所以，即，
所以，故为等边三角形．
16. 已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若，求的取值范围．
解：（1）当时，，
．
故曲线在点处的切线方程为．
（2）因为，所以．
令，则，
所以在上单调递减，，
所以，即的取值范围为．
17. 在矩形中，为上两个不同的三等分点，如图1．将和分别沿向上翻折，使得点重合，记重合后的点为，如图2．已知，四棱锥的体积为．
（1）求；
（2）求平面与平面所成角的正弦值．
解：（1）取的中点分别为，连接，
过点作，垂足为，
设，则，
为等边三角形，，
在中，，
在中，，
，
又梯形的面积，
所以四棱锥的体积为，
解得（舍去），即；
（2）由（1）可得．
以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以．．
设平面的法向量为，则
取，得．
设平面的法向量为，则
取，得．
所以，，
所以平面与平面所成角的正弦值为．
18. 已知分别为椭圆的左、右顶点，均为椭圆上异于顶点的点，为椭圆上的点，直线经过左焦点，直线经过右焦点．
（1）求椭圆的标准方程．
（2）试问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由．
（3）设的面积与的面积分别为，求的最小值．
解：（1）依题意可得：，解得，，
所以椭圆的标准方程
（2）易得，，设，，
则，
所以
得，，
同理可得，
则.
（3）由（2）易得
由，得
因为所以，解得或(舍去)，
当且仅当时，等号成立，
故的最小值为.
19. 已知集合，集合满足，当取不同值时，各不相同．记的所有元素之和为，将数列的所有项重新排列为，使得．
（1）当时，求．
（2）当时，证明：成等差数列．
（3）设，证明：．
（1）解：当时，集合，其子集及其对应的为：
①空集：；②：；③：；④：；
重新排列之后：；
（2）证明：当时，设，
其中，，
由得，去除的相同元素，
设剩余元素中最大的元素为，设剩余元素中最大的元素为，
，
若，则同理由，
所以对任意的，，即恒成立，
由题意可知，，
因为对任意的，，恒成立，且，
所以，所以，
故，所以成等差数列；
（3）证明：①若，，
即，
②若不包含于，则，，
不妨设，
则，，，
由，得，
设，
由，，得，
因为，所以，则，
所以，
因为，所以，因为，，所以，
，
即，得，
，所以，
即，
综上所述：.2
4
5
6
8
30
40
60
50
70