江苏省泰州市姜堰区2025届高三第二次适应性调研测试数学试题（解析版）

这是一份江苏省泰州市姜堰区2025届高三第二次适应性调研测试数学试题（解析版）试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据题意，，
则，所以.
故选：A
2. 已知复数，为z的共轭复数，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由复数，可得，
所以复数的虚部为.
故选：C.
3. 抛物线的准线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】抛物线方程为：，
所以所求准线方程为.
故选：B
4. 在三棱锥中，底面为斜边的等腰直角三角形，顶点S在底面上的射影为的中点．若，为线段上的一个动点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图，在三棱锥中，设点为线段中点，连接.
由题易知：，，平面.
在中，，故，
所以是边长为2的等边三角形.
将展开到与共面，如图所示，
则，当且仅当三点共线时等号成立，即取得最小值.
在中，，，
由余弦定理可得：，
所以，
即的最小值为.
故选：A.
5. 2025年央视春晚的四个分会场分别为重庆、武汉、无锡和拉萨，现有11个志愿者名额分配给这四个分会场，其中一个分会场分5个名额，在余下的三个分会场中每个会场至少分一个名额，则名额分配的不同种数为（ ）
A. 210B. 35C. 40D. 120
【答案】C
【解析】依题意，选择一个分会场获取5个名额，有种方法，
再将余下的6个名额分配到另三个分会场，用隔板法有种，
所以名额分配的不同种数为.
故选：C
6. 在等边中，，P为所在平面内的一个动点，若，则的最大值为（）
A. 4B. C. D. 6
【答案】B
【解析】以为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
，
点在以为圆心，1为半径的圆上，设
为等边三角形，，
，
，
，
当，即时，，
故选：B.
7. 某同学用3个全等的小三角形拼成如图所示的等边，已知，，则的面积为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】在中，，
又，则，设，则，
在中，由正弦定理得，解得，
在中，由余弦定理得，
即，又，解得，则，
所以，
故选：B.
8. 在平面直角坐标系中，已知点，点是平面内的一个动点，若以为直径的圆与圆：相切，记点P的轨迹为曲线C，过曲线C上一点Q作直线分别与直线，相交，交点为M、N，且交点分别在第一象限和第四象限，若，，则面积的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】依题意，以为直径的圆的圆心为，而点在圆外，且圆圆心，半径1，
由两圆相切，得，整理得，
设，由，得，
而点在上，则，整理得，
直线，的倾斜角为，则，
的面积，
对勾函数在上单调递减，在上单调递增，
则，因此，
所以面积的取值范围为.
故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知函数，则下列结论正确的是（）
A. 当时，若有三个零点，则的取值范围是（0，1）
B. 当且时，
C. ，
D. 若存在极值点，且，其中，则
【答案】ABD
【解析】对于A，当时，，
由，可得或，由，可得，
故函数在和上单调递增；在上单调递减．
则函数在处取得极大值，在处取得极小值，
若有三个零点，则f(0)=2b>0f(1)=-2+2b0，所以，
由A函数在上单调递减，故，故B正确；
对于C，因为
，故C错误；
对于D，由求导得，，
依题意，，可得①
由，可得，
由于，化简得②
将①代入②式，可化简得：，
即，因，故得，即D正确．
故选：ABD．
10. 对一列整数进行如下操作：输入第一个整数，只显示不计算，接着输入第二个整数，只显示的结果，此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差再取绝对值．设全部输入完毕后显示的最后结果为．若数列满足，，现把数列的前2025项随机地输入，则（ ）
A. 最小值为0B. 的最小值为1
C. 的最大值为2025D. 的最大值为2024
【答案】BC
【解析】对于，对于连续四个奇数，，由题意运算，其结果最小值为；
同理，对于连续四个偶数，，由题意运算，其结果最小值为，
在1到2025的2025个整数中有1013个奇数和1012个偶数，，，
由，经过计算最小值为，且，经过计算最小值为，则的最小值为；
除2025外，前2024个数中有1012个奇数和1012个偶数，前2024个数经过计算最小值为0，
所以的最大值为2025.
故选：BC
11. 勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲）．利用这一原理，科技人员发明了转子发动机．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体（如图乙）．若正四面体的棱长为3，则下列说法正确的是（ ）
A. 勒洛四面体表面上任意两点间距离的最大值大于3
B. 勒洛四面体被平面截得的截面面积是
C. 勒洛四面体四个曲面交线长的和为
D. 勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为
【答案】AD
【解析】对于A，分别为正四面体的棱的中点，连接并延长交勒洛四面体的曲面于点，
，则等腰的高，
等腰的高，
由对称性知，，则，
而勒洛四面体表面上任意两点间距离的最大值不小于长，A正确；
对于B，勒洛四面体被平面截得的截面是3个弓形加上，
面积为，B错误；
对于C，由对称性知，勒洛四面体四个曲面的每条交线长相等，
其中交线所在圆的圆心在以中点为圆心，则该圆半径，
由余弦定理得，，
因此勒洛四面体四个曲面交线长的和为，C错误；
对于D，勒洛四面体能够容纳的最大球的半径即为该四面体内切球半径，
由对称性知，勒洛四面体内切球球心是正四面体的内切球、外接球球心，

正外接圆半径，正四面体的高，
令正四面体的外接球半径为，在中，，解得，
取正四面体中心为，连接交平面于点，交曲面于点，
其中即为正四面体外接球半径，点均在以点B为球心的球面上，
则，勒洛四面体内切球半径，D正确.

故选：AD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，且，则________．
【答案】
【解析】由题可知，两边平方可得：，解得，
又，故，则；
故为方程的两根，则，解得或，则.
故答案为：.
13. 已知函数的值域为R，则实数a的取值范围为________．
【答案】
【解析】由函数的值域为R，得函数的值域包含，
因此，解得或，
所以实数a的取值范围为.
故答案为：
14. 甲、乙两人进行五子棋比赛，比赛采用积分制，赛前每人的基础分为3分．在一轮比赛中，获胜的一方加一分，输的一方减一分，平局分数不改变，直至某人得到满分6分，获得6分的人获胜，比赛结束．已知在每一局中，甲胜的概率为，乙胜的概率为，各局的输赢互不影响．若表示在甲所得分数为时，最终甲获胜的概率，若，，则________．
【答案】
【解析】由题意得甲所得分数为时，下一局可能的结果有三种情况：
若甲胜，则甲得分变为，对应概率为，
若乙胜，则甲得分变为，对应概率为，
若平局，则甲得分保持，对应的概率为，
所以由全概率公式可得，
所以，，
所以（），
所以数列（）是以为公比的等比数列，
所以，
所以，，，
，，
所以
,
所以，
所以，
因为，，所以，解得.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在正三棱台中，，，侧棱与底面所成角的正切值为．若存在球与正三棱台的5个面同时相切，求：
（1）正三棱台的体积；
（2）正三棱台的表面积．
解：（1）在正三棱台中，取BC和的中点分别为，上、下底面的中心分别为，
连接，设，内切球半径为r，则，棱台的高为2r，
于是，，同理，
由内切球与平面相切，切点在上，得，
在等腰梯形中，，则，
在梯形中，，则，解得，
因此棱台的高，棱台的体积为．
（2）由（1）知，在正三棱台中，，斜高，
所以正三棱台的表面积
16. 在中，角A、B、C的对边分别是a、b、c．已知，为常数．
（1）若，，求面积的最大值；
（2）若，，求的值．
解：（1）由，，得，而，
由余弦定理得，则，
于是的面积，
整理得，其中锐角由确定，
而，则，因此，当且仅当时取等号，
由，解得，所以面积的最大值.
（2）由，，得，由正弦定理得，
又
，
整理得，而，所以.
17. 在平面直角坐标系中，抛物线：的焦点为F，点，过F的直线交C于M、N两点．当直线的斜率为1时，．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线、与抛物线C的另一个交点分别为A、B，，求的值；
（3）在（2）的条件下，记直线、的倾斜角分别为、，求的最大值．
解：（1）由题意，，
当直线的斜率为1时，直线的方程为，设，
联立，得,
则，,
所以，即，
所以抛物线C的方程为.
（2）由（1）知，，
设，直线，
联立，可得，
则，设直线，
联立，得，
则，，即，
同理可得，即，
又，且，
所以，
将，，代入得，
又，则，又，则.
（3）因为直线、的倾斜角分别为、，
所以，，
由，，，
则，
则，
若要使最大，则，设，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最大值为．
18. 某科技公司食堂每天中午提供A、B两种套餐，员工小李第一天午餐时随机选择一种套餐，如果前一天选择A套餐，那么第二天选择A套餐的概率为；如果前一天选择B套餐，那么第二天选择A套餐的概率为．
（1）食堂对A套餐的菜品种类与品质等方面进行了改善后，对员工对于A套餐的满意程度进行了调查，统计了120名员工的数据，如下表（单位：人）
参考数据：，其中．
根据小概率值的独立性检验，能否认为员工对于A套餐的满意程度与套餐的改善有关？
（2）若A套餐拟提供2种品类的素菜，种品类的荤菜，员工小李从这些菜品中选择3种菜品，记选择素菜的种数为X，求的最大值，并求此时n的值；
（3）设员工小李第n天选择B套餐概率为，求．
解：（1）
零假设：认为员工对于A套餐的满意程度与套餐的改善无关，
由已知数据计算，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，即接受，
因此认为员工对于A套餐的满意程度与套餐的改善没有关系.
（2）依题意，，令，
，当且仅当时取等号，
当时，，当时，，即当时，数列单调递减，
于是，
所以的最大值为，此时或.
（3）由员工小李第n天选择B套餐的概率为，得员工小李第n天选择A套餐的概率为，
因此，而，
，又，因此，所以.
19. 设数列和都有无穷项，已知存在非零常数，使得，此时称数列是由“-生成”的．
（1）如果是等比数列，满足的，若数列是由“-生成”，求的值；
（2）已知数列是由“-生成”的，如果存在非零常数，使得是由“-生成”的，求数列的通项；
（3）设，且数列，，分别是由数列，，“-生成”的，表示数列的前n项和．已知，求的最小值．
解：（1）设，
则由，解得，
又，
而，因此，解得.
当时，；
当时，，
当时，，
即，符合题意，
所以或.
（2）由是由“生成”的，是由“生成”的，
得，则，
于是或，而，因此，
若，则，，
若，且，
假设是第一个使不同时为0的整数，则，
此时，而，则，矛盾，
从而不存在使不同时为0的整数，
所以.
（3）设分别表示的前项和，
即分别是由-生成"的，
由，得；
当时，.
于是，同理，
而，则，
，，
.
所以，，
令，则，
，，
因此，
所以取到最小值.套餐A满意度
A套餐改善前
A套餐改善后
合计
满意
20
40
60
不满意
30
30
60
合计
50
70
120
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828