2025年中考数学总复习讲义（山东专用）32 第一部分 第五章 章末综合评价卷(五) 四边形

这是一份2025年中考数学总复习讲义（山东专用）32 第一部分 第五章 章末综合评价卷(五) 四边形，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求)
1．若一个多边形的内角和为1 080°，则这个多边形的边数为( )
A．6 B．7
C．8D．9
C [设这个多边形的边数为n，
根据题意，得180°(n－2)＝1 080°，
解得n＝8．
故选C．]
2．小明是这样画平行四边形的：如图，将三角尺ABC的一边AC贴着直尺推移到A1B1C1的位置，这时四边形ABB1A1就是平行四边形．小明这样做的依据是( )
A．有两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．有两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C [根据平移的性质，得到AB∥B1A1，AB＝B1A1．
故选C．]
3．量角器测角度时摆放的位置如图所示，在△AOB中，射线OC交边AB于点D，则∠ADC的度数为( )
A．60° B．70° C．80° D．85°
C [∵OA＝OB，∠AOB＝140°，
∴∠A＝∠B＝12(180°－140°)＝20°．
∵∠AOC＝60°，
∴∠ADC＝∠A＋∠AOC＝20°＋60°＝80°．
故选C．]
4．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，E为AB的中点，连接OE．若菱形的周长为72，则OE的长为( )
A．3B．6
C．9D．12
C [∵四边形ABCD是菱形，且周长为72，
∴AB＝18，OA⊥OB，
∵E为AB的中点，
∴OE＝12AB＝9．
故选C．]
5．如图，将长方形纸片折叠，使A点落在BC上的F处，折痕为BE，若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是( )
A．邻边相等的矩形是正方形
B．对角线相等的菱形是正方形
C．两个全等的直角三角形构成正方形
D．轴对称图形是正方形
A [∵将长方形纸片折叠，点A落在BC上的F处，
∴BA＝BF．
∵折痕为BE，沿EF剪下，
∴四边形ABFE为矩形，
∴四边形ABFE为正方形．
故用的判定定理是：邻边相等的矩形是正方形．
故选A．]
6．(2024·岱岳区期中)如图1，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，要在对角线BD上找两点M，N，使得四边形AMCN是菱形，现有图2中的甲、乙两种方案，则正确的方案是( )
A．只有甲B．只有乙
C．甲和乙D．甲、乙都不是
C [∵四边形ABCD是菱形，
∴OB＝OD，OA＝OC，AC⊥BD．
∵BM＝DN，
∴OM＝ON，
∵OA＝OC，MN⊥AC，
∴四边形AMCN是菱形，
故方案甲正确．
∵四边形ABCD是菱形，
∴OB＝OD，OA＝OC，AC⊥BD，∠BAC＝∠DAC．
∵AM，AN分别是∠BAC和∠DAC的平分线，
∴∠MAC＝∠NAC，
∵∠AOM＝∠AON＝90°，
在△AOM和△AON中，
∠MAC=∠NAC，AO=AO，∠AOM=∠AON，
∴△AOM≌△AON(ASA)，
∴OM＝ON，
∵OA＝OC，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∵AC⊥MN，
∴四边形AMCN是菱形．
故方案乙正确．
故选C．]
7．如图，矩形ABCD的四个顶点分别在直线l3，l4，l2，l1上．若直线l1∥l2∥l3∥l4且间距相等，AB＝4，BC＝3，则tan α的值为( )
A．38B．34
C．52 D．1515
A [作CF⊥l4，垂足为点F，交l3于点E，设CB交l3于点G．
由已知可得，
GE∥BF，CE＝EF，
∴△CEG∽△CFB，
∴CECF＝CGCB．
∵CECF＝12，
∴CGCB＝12．
∵BC＝3，
∴GB＝32．
∵l3∥l4，
∴∠α＝∠GAB．
∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，
∴∠ABG＝90°，
∴tan ∠BAG＝BGAB＝324＝38，
∴tan α的值为38．
故选A．]
8．如图，在▱ABCD中，CD＝2AD，BE⊥AD，垂足为点E，F为DC的中点，连接EF，BF，下列结论：
①∠ABC＝2∠ABF；②EF＝BF；③S四边形DEBC＝2S△EFB；④∠CFE＝3∠DEF，其中正确结论的个数共有( )
A．1个B．2个
C．3个D．4个
D [如图，延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点为H，连接FH．
∵CD＝2AD，DF＝FC，
∴CF＝CB，
∴∠CFB＝∠CBF．
∵CD∥AB，
∴∠CFB＝∠FBH，
∴∠CBF＝∠FBH，
∴∠ABC＝2∠ABF．故①正确．
∵DE∥CG，
∴∠D＝∠FCG，
∵DF＝FC，∠DFE＝∠CFG，
∴△DFE≌△CFG(ASA)，
∴FE＝FG．
∵BE⊥AD，
∴∠AEB＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBG＝90°，
∴BF＝EF＝FG，故②正确．
∵S△DFE＝S△CFG，
∴S四边形DEBC＝S△EBG＝2S△BEF，故③正确．
∵AH＝HB，DF＝CF，AB＝CD，
∴CF＝BH，
∵CF∥BH，
∴四边形BCFH是平行四边形，
∵CF＝BC，
∴四边形BCFH是菱形，
∴∠BFC＝∠BFH．
∵FE＝FB，FH∥AD，BE⊥AD，
∴FH⊥BE，
∴∠BFH＝∠EFH＝∠DEF，
∴∠EFC＝3∠DEF，故④正确．
故选D．]
9．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝12，∠ABC＝60°，BE平分∠ABC，交边AD于点E．连接CE，若AE＝2ED，则CE的长为( )
A．10B．6
C．63D．36
C [∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D＝∠ABC＝60°，CD＝AB＝12，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE．
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AE＝AB＝12．
∵AE＝2ED，
∴2ED＝12，
∴ED＝6，
如图，过点E作EF⊥CD，垂足为点F，
则∠EFC＝∠EFD＝90°，
∴∠FED＝90°－∠D＝90°－60°＝30°，
∴DF＝12ED＝3，
∴EF＝ED2-DF2＝62-32＝33，CF＝CD－DF＝12－3＝9，
CE＝EF2+CF2＝332+92＝63，
故选C．]
10．如图，直角三角形BEF顶点F在矩形ABCD的对角线AC上运动，连接AE．∠EBF＝∠ACD，AB＝6，BC＝8，则AE的最小值为( )
A．5425B．125
C．145D．7225
D [过点B作BH⊥AC，垂足为点H，连接EH，如图所示，
∴∠BEF＝∠BHF＝90°，
∴E，B，F，H四点共圆，
∴∠EHB＝∠EFB．
∵∠AHE＋∠EHB＝90°，∠EBF＋∠EFB＝90°，
∴∠AHE＝∠EBF，
∵∠EBF＝∠ACD，
∴∠AHE＝∠ACD为定值，
∴点E在射线HE上运动，当AE⊥EH时，AE的值最小．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝6，BC＝AD＝8，∠D＝90°，
∴AC＝CD2+AD2＝62+82＝10，
∴sin ∠AHE＝sin ∠ACD＝ADAC＝45，
∵S△ACB＝12AB·CB＝12AC·BH，
即12×6×8＝12×10×BH，
∴BH＝245，
在Rt△AHB中，由勾股定理得：
AH＝AB2-BH2＝62-2452＝185，
∴AE的最小值为AH·sin ∠AHE＝185×45＝7225．故选D．]
二、填空题(本大题共6小题，满分18分．只要求填写最后结果，每小题填对得3分)
11．把正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放，若∠1＝52°，∠2＝18°，则∠3＝________．
32° [正三角形的内角的度数是60°，正四边形的内角度数是90°，正五边形的内角的度数是：15(5－2)×180°＝108°，
则∠3＝360°－60°－90°－108°－∠1－∠2＝32°．
故答案为32°．]
12．(2024·泰山模拟)如图，在▱ABCD中，∠D＝100°，∠DAB的平分线AE交DC于点E，连接BE．若AE＝AB，则∠EBC的度数为________．
30° [∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠D＝100°，AB∥CD，
∴∠BAD＝180°－∠D＝80°．
∵AE平分∠DAB，
∴∠BAE＝80°÷2＝40°．
∵AE＝AB，
∴∠ABE＝(180°－40°)÷2＝70°，
∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝30°．
故答案为30°．]
13．如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(3，0)，(－2，0)，点D在y轴上，则点D的坐标是________．
(0，4) [∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(3，0)，(－2，0)，点D在y轴上，
∴AB＝AO＋OB＝5，
∴AD＝AB＝5，
∴DO＝AD2-AO2＝25-9＝4，
∴点D(0，4)．
故答案为(0，4)．]
14．如图，在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB＝8，BC＝12，则EF的长为________．
4 [∵四边形ABCD为平行四边形，AB＝8，
∴CD＝AB＝8，AD∥BC，
∴∠AFB＝∠CBF，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴AF＝AB＝8，
同理DE＝DC＝8，
∵AD＝AF＋(DE－EF)＝12，
∴EF＝4．
故答案为4．]
15．如图，把长方形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA，OC分别落在x轴、y轴上，连接AC，将纸片OABC沿AC折叠，使点B落在点D的位置，AD与y轴交于点E，若B(2，4)，则OE的长为________．
32 [∵四边形OABC是矩形，
∴OC∥AB，
∴∠ECA＝∠CAB，
根据题意得：∠CAB＝∠CAD，∠CDA＝∠B＝90°，
∴∠ECA＝∠EAC，
∴EC＝EA，
∵B(2，4)，
∴AD＝AB＝4，
设OE＝x，则AE＝EC＝OC－OE＝4－x，
在Rt△AOE中，AE2＝OE2＋OA2，
即(4－x)2＝x2＋4，
解得：x＝32，
∴OE＝32．
故答案为32．]
16．(2024·泰安模拟)在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为(1，0)，点D的坐标为(0，2)．延长CB交x轴于点A1，作第1个正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作第2个正方形A2B2C2C1，…，按这样的规律进行下去，第2 016个正方形的面积是________．
5×324 032 [∵点A的坐标为(1，0)，点D的坐标为(0，2)，
∴OA＝1，OD＝2，BC＝AB＝AD＝5．
∵四边形ABCD，四边形A1B1C1C都为正方形，
∴∠OAD＋∠A1AB＝90°，∠ADO＋∠OAD＝90°，
∴∠A1AB＝∠ADO．
∵∠AOD＝∠A1BA＝90°，
∴△AOD∽△A1BA，
∴AOA1B＝ODAB，
∴1A1B＝25，
∴A1B＝52，
∴A1B1＝A1C＝A1B＋BC＝32 5，
以此类推，A2B2＝94 5＝3225，
A3B3＝3235，
…
A2 016B2 016＝322 0165，
∴S第2 016个正方形的面积＝S正方形C2 015 C2 016 B2 016 A2 016
＝322 01652＝5×324 032，
故答案为5×324 032．]
三、解答题(本大题共5小题，满分72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤)
17．(12分)如图，在▱ABCD中，DF平分∠ADC，交AB于点F，BE∥DF，交AD的延长线于点E．若∠A＝40°，求∠ABE的度数．
[解] ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A＋∠ADC＝180°，
∵∠A＝40°，
∴∠ADC＝140°，
∵DF平分∠ADC，
∴∠CDF＝12∠ADC＝70°，
∴∠AFD＝∠CDF＝70°，
∵DF∥BE，
∴∠ABE＝∠AFD＝70°．
18．(12分)如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在BD上，满足∠EAO＝∠DCO．
(1)求证：四边形AECD是平行四边形；
(2)若AB＝BC，CD＝5，AC＝8，求四边形AECD的面积．
[解] (1)证明：在△AOE和△COD中，
∠EAO=∠DCO，AO=CO，∠AOE=∠COD，
∴△AOE≌△COD(ASA)，
∴OD＝OE．
又∵AO＝CO，
∴四边形AECD是平行四边形．
(2)∵AB＝BC，AO＝CO，
∴OB⊥AC，
∴平行四边形AECD是菱形．
∵AC＝8，
∴CO＝12AC＝4，
在Rt△COD中，由勾股定理得：OD＝CD2-CO2＝52-42＝3，
∴DE＝2OD＝6，
∴菱形AECD的面积为12AC×DE＝12×8×6＝24．
19．(12分)如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC，若AD＝AF，求证：四边形ABFC是矩形．
[证明] ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAE＝∠CFE，∠ABE＝∠FCE．
∵E为BC的中点，
∴EB＝EC，
∴△ABE≌△FCE(AAS)，
∴AB＝CF．
∵AB∥CF，
∴四边形ABFC是平行四边形．
∵AD＝BC，AD＝AF，
∴BC＝AF，
∴四边形ABFC是矩形．
20．(17分)如图，在正方形ABCD中，点P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA＝PE，PE交CD于点F．
(1)证明：PC＝PE；
(2)求∠CPE的度数．
[解] (1)证明：∵四边形ABCD是正方形，BD是正方形ABCD的对角线，
∴AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝45°，
在△ABP和△CBP中，
AB=BC，∠ABP=∠CBP，PB=PB，
∴△ABP≌△CBP(SAS)，
∴PA＝PC．
∵PA＝PE，
∴PC＝PE．
(2)由(1)知，△ABP≌△CBP，
∴∠BAP＝∠BCP，
∴∠DAP＝∠DCP．
∵PA＝PE，
∴∠DAP＝∠E，
∴∠DCP＝∠E．
∵∠CFP＝∠EFD，
∴180°－∠PFC－∠PCF＝180°－∠DFE－∠E，
即∠CPE＝∠EDF＝90°．
21．(19分)(2024·泰山二模)如图，正方形ABCD中，AB＝1，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，垂足为点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接AG，EB．
(1)求证：①∠EFB＝∠EBF；
②矩形DEFG是正方形．
(2)求AG＋AE的值．
[解] (1)①证明：过点E作EM⊥AD，垂足为点M，EN⊥AB，垂足为点N，
则∠EMA＝∠EMD＝∠ENF＝∠ENB＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EAD＝∠EAB＝45°，AD＝AB，
又∵AE＝AE，
∴△ADE≌△ABE(SAS)，EM＝EN，
∴DE＝BE．
∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°，
∴四边形ANEM是矩形，
又∵四边形DEFG是矩形，
∴∠MEN＝∠DEF＝90°，
∴∠DEM＝∠FEN＝90°－∠MEF．
又∵∠EMD＝∠ENF＝90°，EM＝EN，
∴△EMD≌△ENF(ASA)，则DE＝EF，
∴EF＝BE，则∠EFB＝∠EBF．
②∵四边形DEFG是矩形，DE＝EF，
∴四边形DEFG是正方形．
(2)∵四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正方形，
∴DG＝DE，DC＝DA，∠GDE＝∠ADC＝90°，
∴∠ADG＝∠CDE，
∴△ADG≌△CDE(SAS)，
∴AG＝CE，
∴AG＋AE＝CE＋AE＝AC＝2AB＝2．