2025年中考数学总复习课件(山东省专用)33 第一部分 第六章 第一节 圆的有关概念和性质

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第一节　圆的有关概念和性质
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考点一　垂径定理及推论1．圆的有关概念(1)弦：连接圆上任意两点的____叫做弦．(2)直径：________的弦叫做直径．在同一个圆中，直径是半径的2倍，是圆中最长的弦．
(3)弧：圆上____________部分叫做圆弧，简称弧．弧用符号“⌒”表示．(4)半圆：圆的任意一条直径的________________________________都叫做半圆．(5)等圆：________的两个圆叫做等圆．两个等圆能够重合．(6)等弧：在__________中，能够重合的两条弧叫做等弧．等弧只能存在于同圆或等圆中．(7)劣弧、优弧：小于半圆的弧称为____，大于半圆的弧称为____，优弧用三个字母表示．
两个端点分圆为两条等弧，每一条弧
2．垂径定理及推论(1)垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．(2)垂径定理的推论推论1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
考点二　圆心角、圆周角定理及推论1．圆心角、弧、弦之间的关系定理1：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的__相等，所对的__相等．定理2：在同圆或等圆中，如果两个______、两条__、两条__中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
注意：(1)在同圆或等圆中，如果弦不相等，那么弦心距也就不相等，大弦的弦心距较小，小弦的弦心距较大；反之，弦心距较小时，则弦较大．(2)在同圆或等圆中，不能认为大弧所对的弦也较大．只有当弧是劣弧时，这一命题才成立；当弧为优弧时，弧越大，其所对的弦越短．
2．圆周角定理及推论定理：圆周角的度数等于____________________________．推论1：圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半．推论2：__________所对的圆周角相等．注意：在同圆或等圆中，要证明两个圆周角相等，常借助于圆周角所对的弧是同弧或等弧进行证明．推论3：半圆(或直径)所对的圆周角是____；90°的圆周角所对的__是直径．
它所对弧上的圆心角度数的一半
考点三　三角形的外接圆及圆内接四边形1．三角形的外接圆定义经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆．外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．性质：三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．
2．圆内接四边形如果一个四边形的所有__________________，那么这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做______________．定理：圆内接四边形的对角____，圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角．
1．如图，在⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC．若∠A＝60°，∠ADC＝85°，则∠C的度数是(　　)A．25°B．27.5°C．30°D．35°
D　[∵∠A＝60°，∠ADC＝85°，∴∠B＝85°－60°＝25°，∠CDO＝95°，∴∠AOC＝2∠B＝50°，∴∠C＝180°－95°－50°＝35°．故选D．]
D　[∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝60°，∴∠C＝180°－60°＝120°．故选D．]
2．四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝60°，则∠C＝(　　)A．60°B．80°C．100°D．120°
3．如图，AB是半圆的直径，C，D是半圆上的两点，∠ADC＝106°，则∠CAB等于(　　)A．32°B．28°C．16°D．14°
C　[∵AB是半圆的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ADC＝106°，∴∠BDC＝106°－90°＝16°，∴∠CAB＝∠BDC＝16°．故选C．]
4．如图，在⊙O中，OC⊥AB于点C，若⊙O的半径为10，AB＝16，则OC的长为________．
5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形OABC是菱形，则∠D＝________°．
考点突破 对点演练
命题点1　垂径定理及推论【典例1】　(2024·肥城二模)把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图，已知EF＝CD＝8 cm，则球的半径长是(　　)A．4 cm　　　B．5 cm　　　C．6 cm　　　D．8 cm
B　[设圆心为O，过点O作ON⊥AD于点N，交CB于点M，连接OF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠D＝90°，∴四边形CDNM是矩形，∴MN＝CD＝8 cm，设OF＝x cm，则OM＝OF，∴ON＝MN－OM＝(8－x) cm，NF＝EN＝4 cm，在Rt△ONF中，ON 2＋NF 2＝OF 2，即(8－x)2＋42＝x2，解得x＝5，故选B．]
方法总结　垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．
[对点演练]1．(典例1变式)(2024·岱岳区期末)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝20，CD＝16，则线段BE的长为(　　)A．4　　　　　B．6C．8D．9
2．在⊙O中，直径AB＝15，弦DE⊥AB于点C，若OC∶OB＝3∶5，则DE的长为(　　)A．6　　　B．9　　　C．12　　　D．15
命题点2　圆周角定理及推论【典例2】　(2024·泰安)如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，BA平分∠CBD，若∠AOD＝50°，则∠A的度数为(　　)A．65°B．55°C．50°D．75°
方法总结　在解答与圆的直径有关的问题时，常常利用直径所对的圆周角是直角这一性质．有时还需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，以便转化为直角三角形的问题去解答．
[对点演练]1．(2023·泰安)如图，AB是⊙O的直径，D，C是⊙O上的点，∠ADC＝115°，则∠BAC的度数是(　　)A．25°B．30°C．35°D．40°
法二：∵∠ADC＝115°，∴∠ABC＝180°－115°＝65°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＝90°－∠ABC＝90°－65°＝25°．故选A．]
3．(2024·山东)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若OA∥CB，∠ACB＝25°，则∠CAB＝________．
[对点演练]1．(2024·肥城一模)如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，E为AB延长线上的一点，∠CBE＝50°，则∠AOC等于(　　)A．100°B．80°C．40°D．20°
A　[∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠D＋∠ABC＝180°，∵∠CBE＋∠ABC＝180°，∠CBE＝50°，∴∠D＝∠CBE＝50°，由圆周角定理得：∠AOC＝2∠D＝100°．故选A．]
2．(2024·泰安模拟)如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD＝140°，则∠BOD的度数是(　　)A．40°B．50°C．80°D．90°
C　[在圆上取一点A，连接AB，AD，∵点A，B，C，D在⊙O上，∠BCD＝140°，∴∠BAD＝40°，∴∠BOD＝80°．故选C．]
【教师备选资源】(2022·泰安)问题探究(1)在△ABC中，BD，CE分别是∠ABC与∠BCA的平分线．①若∠A＝60°，AB＝AC，如图1，试证明BC＝CD＋BE；②将①中的条件“AB＝AC”去掉，其他条件不变，如图2，问①中的结论是否成立？并说明理由；(2)若四边形ABCD是圆的内接四边形，且∠ACB＝2∠ACD，∠CAD＝2∠CAB，如图3，试探究线段AD，BC，AC之间的等量关系，并证明．
∵BE＝BG，∠EBO＝∠GBO，BO＝BO，∴△EBO≌△GBO(SAS)，∴∠BOE＝∠BOG＝60°，∴∠COD＝∠COG＝60°，∵CO＝CO，∠DCO＝∠GCO，∴△OCD≌△OCG(ASA)，∴CD＝CG，∴BE＋CD＝BG＋CG＝BC．
(2)结论：AC＝AD＋BC．理由：如图3中，作点B关于AC的对称点E，连接AE，EC，AE交DC于点F．∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠DAB＋∠BCD＝180°，∵∠ACB＝2∠ACD，∠CAD＝2∠CAB，∴3∠BAC＋3∠ACD＝180°，∴∠BAC＋∠ACD＝60°，∵∠BAC＝∠EAC，
∴∠FAC＋∠FCA＝60°，∴∠AFC＝120°，∴∠AFD＝∠EFC＝60°，∵∠DAF＝∠FAC，∠FCA＝∠FCE，由②可知AD＋EC＝AC，∵EC＝BC，∴AD＋BC＝AC．
课时分层评价卷(二十二)　圆的有关概念和性质
(说明：选择题每题3分，填空题每题3分，本试卷共65分) 1．(2024·宁阳月考)将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的读数分别为86°，30°，则∠ACB的度数是(　　)A．28°　B．30°　C．36°　D．56°
5．(2024·泰山二模)如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，且BC平分∠ABD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论不一定成立的是(　　)A．OC∥BDB．AD⊥OCC．△CEF≌△BEDD．AF＝FD
C　[∵AB是⊙O的直径，BC平分∠ABD，∴∠ADB＝90°，∠OBC＝∠DBC，∴AD⊥BD，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠DBC＝∠OCB，∴OC∥BD，选项A成立；∴AD⊥OC，选项B成立；∴AF＝FD，选项D成立；∵△CEF和△BED中，没有相等的边，∴△CEF与△BED不全等，选项C不成立．故选C．]
6．(2024·新泰模拟)如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝68°，则∠ADC的度数是________．
112°　[∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝68°，∴∠ADC＝180°－∠ABC＝180°－68°＝112°．故答案为112°．]
7．如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A，B，C，D，连接AB，则∠BAD的度数为________．
8．(2024·岱岳区期末)如图，AD＝BC，AC＝1，∠D＝30°．(1)求证：AB＝CD；(2)求⊙O的半径长．
(2)如图，连接OA，OC，则OA＝OC，∵∠D＝30°，∴∠AOC＝2∠D＝60°，∴△AOC是正三角形，∴OA＝OC＝AC＝1，即⊙O的半径为1．
9．[易错题](2024·岱岳区二模)已知⊙O的直径为10 cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝8 cm，CD＝6 cm，则AB与CD之间的距离为(　　)A．1 cmB．7 cmC．1 cm或7 cmD．3 cm或4 cm
10．(2024·泰山开学)往水平放置的半径为13 cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图所示，若水面宽度AB＝24 cm，则水的最大深度为(　　)A．5 cmB．8 cmC．10 cmD．12 cm
C　[如图，以BC为轴作矩形ABCD的对称图形A′BCD′以及对称圆A′，连接A′D交BC于P，则DE′就是PE＋PD的最小值．∵在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，圆A的半径为1，∴A′D′＝BC＝3，DD′＝2DC＝4，AE′＝1，∴A′D＝5，∴DE′＝5－1＝4，∴PE＋PD＝PE′＋PD＝DE′＝4．故选C．]
12．(2024·宁阳期末)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，DB平分∠ADC，连接OC，OC⊥BD，∠A＝66°，则∠ADB＝________．
13．[数学文化]“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”转化为现在的数学语言表达就是：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长度为________寸．
14．(2024·泰山一模)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，延长CD至点E．(1)若AB＝AC，求证：AD平分∠BDE；(2)若BC＝4，⊙O的半径为6，求cs ∠BAC．
[解]　(1)证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ABC＋∠ADC＝180°，∵∠ADE＋∠ADC＝180°，∴∠ABC＝∠ADE，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠ADB＝∠ACB，∴∠ADB＝∠ADE，∴AD平分∠BDE．
15．(2024·岱岳区二模)如图，正方形ABCD的边长为7．E，F在半径为4的⊙A上，且EA⊥FA，连接DE，BE，BF，DF．(1)试探求线段DE，BF的数量和位置关系；(2)求证：DF2＋BE2＝EF2＋BD2，并求DF2＋BE2的值．
[解]　(1)如图，延长DE交BF于H，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠DAB＝90°，∵EA⊥FA，∴∠EAF＝90°，∴∠BAD－∠BAE＝∠EAF－∠BAE，
即∠DAE＝∠BAF，∵AE＝AF，∴△DAE≌△BAF(SAS)，∴DE＝BF，∠ADE＝∠ABF，∴∠ADE＋∠BDH＝∠ABF＋∠BDH＝45°，∵∠ABD＝45°，∴∠BDH＋∠DBH＝90°，∴DH⊥BF，即DE⊥BF，∴DE，BF的数量和位置关系是DE＝BF，DE⊥BF．
(2)∵DH⊥BF，∴在Rt△DHF和Rt△DHB中，DF2－FH2＝DH2＝BD2－BH2，即DF2－FH2＝BD2－BH2，在Rt△EHF和Rt△EHB中，EF2－FH2＝EH2＝BE2－BH2，即EF2－FH2＝BE2－BH2，将所得两个等式相减得，DF2－EF2＝BD2－BE2，即DF2＋BE2＝EF2＋BD2．