辽宁省大连市2025届九年级下学期中考一模数学试卷(含答案)

这是一份辽宁省大连市2025届九年级下学期中考一模数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了，则顶点 D 的坐等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分）
1．（3 分）某种食品保存的温度是﹣10±3℃，以下几个温度中，不适合储存这种食品的是（ ）
A．﹣6℃ B．﹣8℃ C．﹣10℃ D．﹣13℃
2．（3 分）如图所示的几何体的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3 分）如图，▱ ABCD 的顶点 A，B，C 的坐标分别是（0，2），（ ﹣4，﹣4），（4，﹣4），则顶点 D 的坐
标是（ ）
A．（8，2） B．（4，1） C．（﹣8，2） D．（4，﹣1）
4．（3 分）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3 分）观察关于 x 的方程 mx2+（1﹣m）x﹣1＝0，思考下列对这个方程的根的描述，其中正确的是（ ）
A．当 m＝0 时，方程无解
B．当 m＝1 时，方程只有一个实数解
C．当 m＝﹣1 时，方程有两个相等的实数解
D．当 m≠0 时，方程总有两个不相等的实数解
6．（3 分）若反比例函数 y ，当 x＜0 时，y 随 x 的增大而增大，则 k 的取值范围是（ ）
A．k＞﹣2 B．k＜﹣2 C．k＞2 D．k＜2
7．（3 分）如图，面积为 7 的正方形 ABCD 的顶点 A 在数轴上，且点 A 表示的数为 1，若点 E 在数轴上，（点
E 在点 A 的右侧）且 AB＝AE，则点 E 所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
8．（3 分）如图，已知直线 AB∥CD，直线 EF 与 AB 交于点 E，与 CD 交于点 F，过 E 作 EG⊥EF，交 CD
于点 G，若∠1＝55°，则∠2 的度数为（ ）
A．35° B．45° C．50° D．55°
9．（3 分）如图，在△ABC 中，按以下步骤作图：①分别以点 B，C 为圆心，以大于 的长为半径画弧，
两弧相交于两点 M，N（注：画弧时，半径保持不变）；②作直线 MN 交 AB 于点 D，连接 CD．如果 CD
＝AC，∠B＝15°，那么∠ACB 的度数为（ ）
A．120° B．125° C．130° D．135°
10．（3 分）已知华氏温度 y（℉）与摄氏温度 x（℃）之间的关系为一次函数关系，部分对应数据如下表所
示，则 y 与 x 之间的函数关系式是（ ）
x（℃） … ﹣10 0 10 20 30 …
y（℉） … 14 32 50 68 86 …
A．y＝1.2x B．y＝1.8x+32
C．y＝0.56x2+7.4x+32 D．y＝2.1x+26
第二部分 非选择题（共 90 分）
二．填空题（共 5 小题，满分 15 分，每小题 3 分）
11．（3 分）命题“如果 x2≥1，那么 x≥1”是 命题．（选填“真”或“假”）
12．（3 分）一个盒子中装有除颜色外其他都相同的 20 个蓝色小球和若干个红色小球．小明通过多次摸取小
球的试验发现，摸取到红色小球的频率稳定在 0.2 左右，则盒子中约有 个红色小球．
13．（3 分）已知菱形 ABCD 的面积为 24cm2，若对角线 AC＝6cm，则这个菱形的另一条对角线 BD＝
cm．
14．（3 分）△AOB 三个顶点的坐标分别为 A（5，0），O（0，0），B（3，6），以原点 O 为位似中心，相似
比为 ，将△AOB 缩小，则点 B 的对应点 B′的坐标是 ．
15．（3 分）如图，抛物线 y＝（x﹣2）2﹣1 与 y 轴交于点 A，与 x 轴交于 B、C，点 A 关于抛物线对称轴的
对称点为点 D，点 E 在 y 轴上，点 F 在以点 C 为圆心，半径为 的圆上，当 DE+EF 取得最小值时，点 E
坐标是 ．
三．解答题（共 8 小题，满分 75 分）
16．（10 分）计算
（1） ；
（2） ．
17．（8 分）随着旅游旺季的到来，贵州某景区游客人数逐月增加，6 月份游客人数为 1.6 万人，8 月份游客
人数为 2.5 万人．
（1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；
（2）预计 9 月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区
9 月 1 日至 9 月 21 日已接待游客 2.225 万人，则 9 月份后 9 天日均接待游客人数最多是多少万人？
18．（8 分）某中学为选拔“校园形象代言人”，先后进行了笔试和面试．在笔试中，甲、乙两位同学脱颖而
出，他们的笔试成绩（满分为 100 分）分别是 87 分，85 分．在面试中，十位评委对甲、乙两位同学的
表现进行打分，每位评委最高打 10 分，面试成绩等于各位评委打分之和．对两位同学的面试数据进行整
理、描述和分析，并给出了相关信息．
a．评委给甲、乙两位同学打分的折线图．
b．甲、乙两位同学面试情况统计表（单位：分）：
同学 评委打分的中位数 评委打分的众数 面试成绩
甲 m 9 和 10 85
乙 8.5 8 87
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：表中的 m＝ ；
（2）通过比较方差，可判断评委对学生面试表现评价的一致性程度．据此，请你推断评委对 同
学的评价更一致（选填“甲”或“乙”）；
（3）按笔试成绩占 40%，面试成绩占 60%计算综合成绩最高的同学是谁？
19．（8 分）根据以下素材，完成任务．
探究淋浴喷头的位置
素材 1 图 1 是一种淋浴喷头，淋浴
喷头固定器装在升降杆上的
某处，手柄与固定器的连接
处记为点 A（点 A 与墙之间
的距离忽略不计）．图 2 视作
淋浴喷头喷水后的截面示意
图，线段 AB 为手柄，射线
BC 为水流，BC 与 AB 的夹角
∠ABC 为 90°，手柄 AB 与
墙 EH 的夹角∠HAB 为淋浴
喷头的“调整角”，记为α．已
知 AB 长为 20cm．
素材 2 图 3 中的矩形 EFGH 是淋浴
房的截面图，EF＝90cm，EH
＝195cm．为了方便在淋浴房
里淋浴，规定淋浴时，人一
直站在 D 处，DE＝52cm．
素材 3 我们把人竖直站立时，头顶
以下 30cm 处记为这个人的
“舒适喷淋点”，即“舒适喷
淋点”到地面的距离等于人
的身高减 30cm．
已知小明的身高是 130cm，
他爸爸和妈妈的身高分别是
176cm 和 160cm．某次爸爸洗
澡时，将淋浴喷头固定器调
整至如图 3 的点 A 处，“调整
角”α为 37°，此时水流正好
喷在爸爸的“舒适喷淋点”C
处（即 CD＝爸爸身高﹣30）．
素材 4 参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75， 1.73．
问题解决 任务一 求图 3 中，淋浴喷头手柄与固定器的连接
处点 A 到地面的距离 AE．
任务二 爸爸洗完澡后，不改变固定器的位置（即
AE 不变），把淋浴喷头的“调整角”α调整
至 60°，然后小明进淋浴房洗澡．
①小明发现水流无法喷在他的“舒适喷淋
点”处，请通过计算说明理由；
②下降固定器（将固定器下降后的位置记
为点 A′）后，小明发现水流可以喷在他的
“舒适喷淋点”处，求此时固定器下降的
距离 AA′（精确到 1cm）．
20．（8 分）甲、乙两货车分别从相距 225km 的 A、B 两地同时出发，甲货车从 A 地出发途经配货站时，停
下来卸货，半小时后提高速度匀速驶往 B 地，乙货车沿同一条公路从 B 地驶往 A 地，但乙货车到达配货
站时接到紧急任务立即以原来的速度原路返回 B 地．如图是甲、乙两货车距 A 地的距离 y（km）与行驶
时间 x（h）之间的函数图象，结合图象回答下列问题．
（1）求乙货车在返回 B 地的过程中距 A 地的距离 y（km）与行驶时间 x（h）之间的函数解析式；
（2）乙货车在返回 B 地的过程中追上甲货车，此时距离 B 地 40km，则甲货车比乙货车早多长时间到达
B 地．
21．（8 分）如图，△ABC 内接于⊙O，BC 为⊙O 的直径，过点 O 作 OD⊥AC 于点 E，交⊙O 于点 F，连接
AD，∠C＝∠D．
（1）求证：AD 是⊙O 的切线；
（2）若 AB＝2，EF＝2OE，求 DF 的长．
22．（12 分）综合与实践
折纸是一项有趣的活动，有的同学玩过折纸，可能折过小动物、飞机、小船等．在折纸过程中，不仅可
以得到一些美丽的图形，还蕴含着丰富的数学知识．
已知正方形纸片 ABCD 的边长为 4．
实践操作：
（1）如图①，连接 AC，将正方形纸片分别沿过点 A 和点 C 的直线折叠，使点 B 和点 D 都落在 AC 上，
对应点分别是点 B′和点 D′，折痕分别与 BC 和 AD 交于点 M，N．猜想线段 AM 与线段 CN 之间的数
量关系和位置关系是 ；
（2）将图①的纸片展开，如图②，顺次连接点 B，B′，D，D′，猜想四边形 BB′DD′是什么特殊四
边形，并说明理由；
操作程究：
（3）折叠正方形 ABCD，使点 B 落在 CD 上的点 B′处，得到折痕 EF（点 E，F 分别是折痕与边 BC 和
边 AD 的交点）．
①如图③，若 B′恰好是 CD 边的中点，则 AF 的长为 ；
② 如 图 ④ ， 若 △ B′ CE 为 等 腰 直 角 三 角 形 ， 连 接 BF， BB′ ， 则 四 边 形 A′ B′ BF 的 面 积
是 ．
23．（13 分）我们定义【a，b，c】为函数 y＝ax2+bx+c 的“特征数”．如：函数 y＝2x2﹣3x+5 的“特征数”
是【2，﹣3，5】，函数 y＝x+2 的“特征数”是【0，1，2】，函数 y＝﹣2x 的“特征数”是【0，﹣2，0】．
（1）若一个函数的特征数是【1，﹣4，1】，将此函数的图象先向左平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位，
得到一个图象对应的函数“特征数”是 ．
（2）将“特征数”是【0， ，﹣1】的函数图象向上平移 2 个单位，得到一个新函数，这个新函数
的解析式是 ．
（3）当“特征数”是【1，﹣2m，m2﹣3m】的函数在直线 x＝m﹣2 和直线 x＝1 之间的部分（包括边界
点）的最高点的纵坐标为 5 时，求 m 的值．
（4）点 A（﹣2，1）关于 y 轴的对称点为点 D，点 B（﹣2，﹣3m﹣1）关于 y 轴的对称点为点 C．当若
（3）中的抛物线与四边形 ABCD 的边有两个交点，且两个交点到抛物线的对称轴的距离之和为 3 时，直
接写出 m 的值．（m 为常数）
参考答案与试题解析
一．选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D A D C B A A D B
二．填空题（共 5 小题，满分 15 分，每小题 3 分）
11．假．
12．5．
13．8cm．
14．（1，2）或（﹣1，﹣2）．
15．（0， ）．
三．解答题（共 8 小题，满分 75 分）
16．解：（1）原式＝4﹣2﹣5÷1＝2﹣5＝﹣3；
（2）原式
．
17．解：（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为 x，
根据题意得：1.6（1+x）2＝2.5，
解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合题意，舍去）．
答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为 25%；
（2）设 9 月份后 9 天日均接待游客人数是 y 万人，
根据题意得：2.225+9y≤2.5×（1+25%），
解得：y≤0.1，
∴y 的最大值为 0.1．
答：9 月份后 9 天日均接待游客人数最多是 0.1 万人．
18．解：（1）把甲的得分从小到大排列，排在中间的两个数分别是 9，9，故中位数 m 9，
故答案为：9；
（2）由折线统计图可知乙的得分的波动比甲小，所以评委对乙同学的评价更一致；
故答案为：乙；
（3）甲的综合成绩为：87×40%+85×60%＝85.8（分），
乙的综合成绩为：85×40%+87×60%＝86.2（分），
86.2＞85.8，
所以综合成绩最高的同学是乙．
19．解：作 BN⊥AH 于点 N，延长 DC 交 BN 于点 M，则∠ANB＝∠M＝90°，
∵爸爸身高是 176cm，此时水流正好喷在爸爸的“舒适喷淋点”C 处，
∴CD＝176﹣30＝146（cm），
∵AB＝20cm，α＝37°，
∴BN＝20×sin37°≈20×0.60＝12（cm），AN＝AB×cs37°≈20×0.80＝16（cm），∠ABN＝53°，
∵DE＝52cm，∠ABC＝90°，
∴BM＝40（cm），∠CBM＝37°，
∴CM＝40×tan37°≈40×0.75＝30（cm），
∴DM＝146+30＝176（cm），
∴EN＝176（cm），
∴AE＝176﹣16＝160（cm）．
答：点 A 到地面的距离 AE 约为 160cm；
（2）①当α＝60°时，∠ABN＝30°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBM＝60°，
∵AB＝20cm，
∴AN＝10（cm），BN＝10 （cm），
∴BM＝（52﹣10 ）（cm），
∴CM＝（52﹣10 ） 52 30≈59.96（cm），
∴CD＝AE+AN﹣CM＝160+10﹣59.96≈110.04（cm），
∵小明的身高是 130cm，
∴小明的舒适距离 CD＝130﹣30＝100（cm），
∵110.04＞100，
∴水流无法喷在小明的“舒适喷淋点”处；
②设点 A 移动到了点 A′，此时在小明的“舒适喷淋点”，
∴C′D＝100cm，
由题意得：C′M′＝CM≈59.96cm，A′N′＝AN＝10cm，
∴A′E＝C′D+C′M′﹣A′N′＝100+59.96﹣10≈150（cm），
∴AA′＝AE﹣A′E≈10（cm）．
答：固定器下降的距离 AA′约为 10cm．
20．解：（1）根据题意，得点 M 的横坐标为 3，
∴M（3，105）．
设乙货车在返回 B 地的过程中距 A 地的距离 y 与行驶时间 x 之间的函数解析式为 y＝kx+b（k、b 为常数，
且 k≠0），
将坐标 M（3，105）和 N（6，225）分别代入 y＝kx+b，
得 ，
解得 ，
∴乙货车在返回 B 地的过程中距 A 地的距离 y 与行驶时间 x 之间的函数解析式为 y＝40x﹣15（3≤x≤6）．
（2）乙货车在返回 B 地的过程中追上甲货车，此时距离 A 地 225﹣40＝185（km），
当 y＝185 时，得 40x﹣15＝185，
解得 x＝5，
∴EF 与 MN 交点坐标为（5，185），
∵E（4，105），
∴甲货车在返回 B 地的过程中的速度为（185﹣105）÷（5﹣4）＝80（km/h），
4+（225﹣105）÷80＝5.5（h），
∴F（5.5，225），
6﹣5.5＝0.5（h）．
答：甲货车比乙货车早 0.5h 到达 B 地．
21．（1）证明：如图，连接 OA，
∵OA＝OC，
∴∠OAE＝∠C，
∵∠C＝∠D，
∴∠OAE＝∠D，
∵OD⊥AC，
∴∠AED＝90°，
∴∠D+∠OAD＝90°，
∴∠OAE+∠EAD＝90°，
即∠OAD＝90°，
∴AD 是⊙O 的切线；
（2）解：∵OD⊥AC，
∴CE＝EA，
∵OB＝OC，
∴OE 是△ABC 的中位线，
∴OE 1，
∴EF＝2OE＝2，
∴OA＝OF＝3，
∵∠OEA＝∠OAD＝90°，∠AOE＝∠DOA，
∴△OEA∽△OAD，
∴ ，即 ，
∴OD＝9，
∴DF＝OD﹣OF＝9﹣3＝6．
22．解：（1）由折叠可得 ， ，
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AB＝CD，∠B＝∠D＝90°，∠BAC＝∠DCA＝45°，
∴∠BAM＝∠B'AM＝∠DCN＝∠D'CN，
∴△ABM≌△CDN（ASA），
∴AM＝CN，
∵∠B′AM＝∠D′CN，
∴AM∥CN，
故答案为：AM＝CN，AM∥CN；
（2）四边形 BB'DD'是菱形，理由如下：
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴∠BAD'＝∠DAD'，AB＝AD，
∵AD'＝AD'，
∴△BAD'≌△DAD'（SAS），
∴BD'＝DD'，
同理可得 BB'＝DB'，
由折叠可得 AB＝AB'，CD＝CD'，
∵AB＝CD，
∴AB'＝CD'，
∴AD'＝CB'，∠BAD'＝∠BCB'＝45°，BA＝BC，
∴△BAD'≌△BCB'（SAS），
∴BD'＝BB'，
∴BD'＝BB'＝DB'＝DD'，
∴四边形 BB'DD'是菱形；
（3）①如图，设 AD 与 A'B'相交于点 M，
∵B'是 CD 边的中点，
∴ ，
由折叠可得 BE＝B'E，AF＝A′F，∠A'B'E＝∠B＝90°，∠A'＝∠A＝90°，
设 BE＝B′E＝x，则 CE＝4﹣x，
在 Rt△B'CE 中，CE2+CB'2＝B'E2，
∴（4﹣x）2+22＝x2，
解得 ，
∴ ， ，
∵∠A'B'E＝90°，
∴∠CB'E+∠MB'D＝90°，
∵∠CB'E+∠B'EC＝90°，
∴∠B'EC＝∠MB'D，
又∵∠C＝∠D＝90°，
∴△B'EC∽△MB'D，
∴ ，
即 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵∠A'＝∠A＝90°，∠A'MF＝∠DMB'，
∴△A′MF∽△DMB′，
∴ ，
设 AF＝AF′＝a，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
②如图，设 AD 与 A'B'相交于点 G，
当△B'CE 为等腰直角三角形时，CB'＝CE，∠CB'E＝45°，
设 CB'＝CE＝m，则 ，BE＝4﹣m，
∵BE＝B′E，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵∠A'B'E＝90°，∠CB'E＝45°，
∴∠GB'D＝45°，
∴∠GB′D 为等腰直角三角形，
∴ ，∠DGB'＝45°， ，
∴ ，∠A'GF＝∠DGB'＝45°，
∵∠A'＝90°，
∴△A'GF 为等腰直角三角形，
∴A′F＝A′M，
∴AF＝A'F＝A'M，
设 AF＝A′F＝A′M＝n，则 ，
∵∠A'＝∠D＝90°，∠A'GF＝∠DGB'，
∴△A'GF∽△DGB'，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴S 四边形 A'B'BF＝S 正方形 A'B'BF﹣S△BCB′﹣S△B'DG﹣S△ABF+S△A'FG
，
故答案为： ．
23．解：（1）∵函数的特征数是【1，﹣4，1】，
∴函数为 y＝x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3，
将函数向左平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位得到 y＝x2﹣2，
∴函数 y＝x2﹣2 的“特征数”是【1，0，﹣2】，
故答案为：【1，0，﹣2】；
（2）∵函数的“特征数”是【0， ，﹣1】，
∴函数解析式为 y x﹣1，
将函数 y x﹣1 的图象向上平移 2 个单位得新函数解析式为 y x+1，
故答案为：y x+1；
（3）“特征数”是【1，﹣2m，m2﹣3m】的函数解析式为 y＝x2﹣2mx+m2﹣3m＝（x﹣m）2﹣3m，
抛物线的顶点为（m，﹣3m），对称轴是直线 x＝m，
由抛物线的性质可知，当 x＝m+2 与 x＝m﹣2 时，y 相等且 m﹣2＜m，
①当 m﹣2＜1＜m，即 1＜m＜3 时，抛物线的最高点在 x＝m﹣2 处取得，
∴y＝（m﹣2﹣m）2﹣3m＝5，
解得 m ，不符合题意，舍去；
②当 1＜m﹣2＜m，即 m＞3 时，抛物线的最高点在 x＝1 处取得，
∴（1﹣m）2﹣3m＝5，
解得 m 或 m （舍去），
③当 m﹣2＜m＜m+2＜1，即 m＜﹣1 时，抛物线的最高点在 x＝1 取得，
∴5＝（1﹣m）2﹣3m，
解得 m 1（舍去）或 m （舍去），
④当 m﹣2＜m＜1＜m+2，即﹣1＜m＜1 时，抛物线的最高点在 x＝m﹣2 处取得，
∴（m﹣2﹣m）2﹣3m＝5，
解得 m ，
综上所述，m 的值为 或 ；
（4）由（3）知抛物线的顶点坐标为（m，﹣3m），且﹣3m＞﹣3m﹣1，
①当﹣3m﹣1＜1＜﹣3m，即 m 时，抛物线与矩形没有交点，不符合题意；
②当 1＜﹣3m﹣1＜﹣3m，即 m 时，抛物线与矩形没有交点，不符合题意；
③﹣3m﹣1＜﹣3m＜1，即 m 时，
需要分以下两种情况：
抛物线与直线 y＝1 有两个交点，如图，
∵两个交点到抛物线的对称轴的距离之和为 3，
∴MN＝3，
∴M（m ，1），N（m ，1）；
∴（m m）2﹣3m＝1，
解得 m ，
抛物线与矩形相邻两边有交点，如图，
∵两个交点到抛物线的对称轴的距离之和为 3，P 到 y 轴距离与 B 到 y 轴距离都为 2，
∴M 到 y 轴距离为 1，即 xM＝﹣1，
∴M（﹣1，1），
∴（﹣1﹣m）2﹣3m＝1，
解得 m＝0（舍去）或 m＝1；
④当 m＞2 时，如图：
∵两个交点到抛物线的对称轴的距离之和为 3，
∴m﹣xP+m﹣xM＝3，
又 xP＝2，
∴xM＝2m﹣5（﹣2＜xM＜2），
∴M（2m﹣5，1），
∴（2m﹣5﹣m）2﹣3m＝1，
解得 m 或 m （舍去），
综上所述，m 的取值为 或 1 或 m