吉林省长春市德惠市2024届九年级下学期中考第一次模拟数学试卷(含解析)

这是一份吉林省长春市德惠市2024届九年级下学期中考第一次模拟数学试卷(含解析)，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．实数在数轴上对应点的位置如图所示，若，则的取值可以是（ ）
A．B．0C．1D．2
2．国家游泳中心—“水立方”是北京2008年奥运会场馆之一，它的外层膜的展开面积为260000平方米，将260000用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
3．某个几何体的三视图如图所示，该几何体是（ ）
A．B．C．D．
4．图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成，若要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在（ ）
A．区域①处B．区域②处C．区域③处D．区域④处
5．将一个长为，宽为的矩形纸片，用剪刀沿图1中的虚线剪开，分成四块形状和大小都一样的小矩形纸片，然后按图2的方式拼成一个正方形，则中间小正方形的面积为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，四边形内接于，，为中点，，则等于（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在中，，利用尺规在上分别截取，使；分别以点和点为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．若为上一动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为（4，0），点B在y轴上，若反比例函数y＝（k≠0）的图像过点C，则k的值为（ ）

A．4B．﹣4C．﹣3D．3
二、填空题
9．因式分解：a3－a= ．
10．方程组的解是 ．
11．当时，关于的方程根的情况是 ．
12．如图所示的正方形网格中，O，A，B，C，D是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点O，则与的长度之比为 ．
13．在数学课外实践活动中，小欣在河北岸上，在处测得对岸的灯塔位于南偏东方向，往东走米到达处，测得对岸的灯塔位于南偏东方向．则灯塔到河北岸的距离约为 米(结果保留根号)．
14．如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．那么喷头高 m时，水柱落点距O点．
三、解答题
15．先化简，再求值：，其中．
16．中国古代“四大发明”是在世界上具有很大影响的四种发明，它是中国古代劳动人民的重要创造，具体是：A指南针、B造纸术、C黑火药、D印刷术，如图是小刚收集的四大发明的卡片，现将这4张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后第一次从中任意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，第二次再从中任意取出1张卡片，求两次取出的2张卡片中至少有1张图案为“A指南针”的概率．
17．在全民健身运动中，骑行运动颇受人民青睐．甲、乙两骑行爱好者约定从地沿相同路线骑行去距离30千米的地，已知甲骑行的平均速度是乙骑行平均速度的倍，若乙先骑行20分钟，然后甲从地出发，则甲、乙恰好同时到达地，求甲骑行的平均速度是每分钟多少千米？
18．如图，已知四边形是平行四边形，其对角线相交于点O，．

(1)是直角三角形吗？请说明理由；
(2)求证：四边形是菱形．
19．香醋中有一种物质，其含量不同，风味就不同，各风味香醋中该种物质的含量如下表
某超市销售不同包装（塑料瓶装和玻璃瓶装）的以上三种风味的香醋，小明将该超市1-5月份售出的香醋数量绘制成如下条形统计图．
已知1-5月份共售出150瓶香醋，其中“偏酸”的香醋占．
(1)求出的值．
(2)售出的玻璃瓶装香醋中该种物质的含量的众数为__________，中位数为__________．
(3)根据小明绘制的条形统计图，你能获得哪些信息？（写出一条即可）
20．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点均落在格点上，以为直径的半圆的圆心为，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．（保留作图痕迹）

(1)在图1中线段上确定一点，使得；
(2)在图2中作出的边上的高；
(3)在图3中作出的切线．
21．某水果店购进甲、乙两种苹果的进价分别为8元、12元，这两种苹果的销售额（单位：元）与销售量（单位：）之间的关系如图所示．
(1)小明经计算甲种苹果销售额与销售量之间的函数关系式为：，请你求出乙种苹果销售额与销售量之间的函数关系式，并写出的取值范围；
(2)若不计损耗等因素，当甲、乙两种苹果的销售量均为时，它们的利润和为1500元．求的值．
22．【探究】在一次数学课上，老师出示了这样一道题目：“如图，在矩形中，为对角线，，E、F分别为边、上的点，连结、，分别将和沿、翻折，使点B、D的对称点G、H都落在上．求证：四边形是平行四边形．”以下是两名学生的解题方法：
甲学生的方法是：首先由矩形的性质和轴对称的性质证得，，，，易得，可得≌，由平行四边形的判定定理可得结论．
乙学生的方法是：不利用三角形全等知识，依据平行四边形的定义证明．
(1)甲学生证明四边形是平行四边形所用的判定定理的内容是______．
(2)用乙学生的方法完成证明过程．
【应用】当学生们完成证明后，老师又提出了一个问题：
若四边形是菱形，则的值为______．
23．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于A、B两点，过点作轴垂线，垂足为，连接．现有动点同时从点出发，分别沿向终点和终点运动，若点的运动速度为每秒个单位长度，点的运动速度为每秒2个单位长度．设运动的时间为秒．
(1)求A、B两点的坐标；
(2)当时，__________；
(3)设的面积为，写出与的函数关系式，并求面积的最大值；
(4)当为轴对称图形时，直接写出的值．
24．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)当时，求二次函数的最大值和最小值；
(3)点为此函数图象上任意一点，其僙坐标为，过点作轴，点的横坐标为．已知点与点不重合，且线段的长度随的增大而减小．
①求的取值范围；
②当时，直接写出线段与二次函数的图象只有1个交点时的取值范围．
风味
偏甜
适中
偏酸
含量/（mg/100mL）
71.2
89.8
110.9
《2024学年吉林省长春市德惠市九年级第一次模拟考试数学模拟试题》参考答案
1．A
解：∵，且a在b的左侧，
∴，
故只有符合题意，
故选：A．
2．D
解：；
故选D．
3．A
解：由三视图可知：该几何体为上下两部分组成，上面是一个圆柱，下面是一个长方体且圆柱的高度和长方体的高度相当．
故选：．
4．B
如图所示的图形是中心对称图形，
故选：B．
5．D
解：中间空的部分的面积=大正方形的面积-4个小长方形的面积，
=（a+b）2-4ab，
=a2+2ab+b2-4ab，
=（a-b）2
故选：D．
6．A
∵为中点，
∴,
∴∠ADB=∠ABD，AB=AD，
∵，
∴∠CBD=∠ADB=∠ABD，
∵四边形内接于，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∴3∠ADB+60°=180°，
∴=40°，
故选：A．
7．B
如图，过点作于点．
由作图过程可知：平分，
∴，
设，则有
∴，
∵为上一动点，
则的最小值为，
故选：B．
8．C
解：如图，过点C作CE⊥y轴于E，在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBE＝90°，
∵∠OAB+∠ABO＝90°，
∴∠OAB＝∠CBE，
∵点A的坐标为（4，0），
∴OA＝4，
∵AB＝5，
∴OB＝＝3，
在△ABO和△BCE中，，
∴△ABO≌△BCE（AAS），
∴OA＝BE＝4，CE＝OB＝3，
∴OE＝BE﹣OB＝4﹣3＝1，
∴点C的坐标为（﹣3，1），
∵反比例函数y＝（k≠0）的图像过点C，
∴k＝xy＝﹣3×1＝﹣3，
故选：C．

9．a（a－1）（a + 1）
解：a3-a
=a（a2-1）
=a（a+1）（a-1）
故答案为：a（a－1）（a + 1）．
10．．
解：在方程组中，
①②得：，
解得：．
代入①得：．
即原方程组的解为．
11．有两个不相等的实数根
解：关于的方程，
∴，
∵，
∴，
∴关于的方程有两个不相等的实数根，
故答案为：有两个不相等的实数根．
12．
解：由勾股定理得，，
则，
∴，
∴弧与弧的长度之比为，
故答案为：．
13．
过点作于点，
由题意知，，，米，
，，
，
，
在中，
，
故答案为：．
14．8
解：由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，
当喷头高2.5m时，可设y=ax2+bx+2.5，
将（2.5，0）代入解析式得出2.5a+b+1=0①，
喷头高4m时，可设y=ax2+bx+4，
将（3，0）代入解析式得9a+3b+4=0②，
联立可求出，，
设喷头高为h时，水柱落点距O点4m，
∴此时的解析式为，
将（4，0）代入可得，
解得h=8．
故答案为：8．
15．；2
当时，
原式．
16．
解：画树状图为：
由图可以看出一共有16种等可能结果，其中至少一张卡片图案为“A指南针”的结果有7种．
∴至少有1张图案为“A指南针”的概率为：．
17．甲骑行的平均速度为每分钟千米
解：设乙骑行的平均速度为每分钟千米，则甲骑行的平均速度为每分钟千米，
根据题意，得 ，
解得，
经检验是原方程的根，且符合题意，
（千米/分），
甲骑行的平均速度为每分钟千米．
18．(1)是直角三角形，理由见解析．
(2)见解析
（1）解：是直角三角形，理由如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴是直角三角形．
（2）证明：由（1）可得：是直角三角形，
∴，
即，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形．
19．(1)
(2)110.9，89.8
(3)见解析
（1）解：，
∴，；
（2）由图可知，偏酸口味售出的数量最多，故众数为；
售出的玻璃瓶装的香醋的总数量为，
∵，
∴中位数出在适中口味中，即中位数为；
故答案为：110.9，89.8；
（3）由图可知：玻璃瓶装的香醋的售量高于塑料瓶装．（不唯一，合理即可）
20．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
（1）解：如图，线段即为所求；

（2）解：如图，线段即为所求；

（3）解：如图，直线即为所求．

21．(1)
(2)
（1）解：当时，设，
由图象可知，当时，，
∴，
∴；
当时，
设，
由图象可知：，
解得：，
∴，
综上：；
（2）当，由题意，得：，
解得：（舍去）；
当时，，
解得：；
故．
22．(1)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
(2)证明过程见详解；应用：
（1）证明：四边形是矩形，
，，
，
由翻折可知：，，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
四边形是平行四边形.
故答案：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
（2）证明：四边形是矩形，
，
，
，
，
，，
，
，
四边形是平行四边形．
应用
解：四边形是菱形，
，
由翻折可知：，
，
，

故答案为
23．(1)，
(2)1
(3)，（）， ．
(4)当为轴对称图形，t的值是或或
（1）解：直线分别交轴、轴于、两点，
当时，，
当时，，
，．
（2），，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
；
故答案为：1．
（3）∵，，，，
∴，，，
∴，
即，
∵点的运动速度为每秒个单位长度，点的运动速度为每秒2个单位长度．
∴，，
∴，
∵，
∴
∵
，
即，（）
∴当时，．
（4）当为轴对称图形，即为等腰三角形，
如图1，过作，交于，交直线于，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
分为四种种情况：①如图2，当时，，
（不满足，舍去），；
②如图2，
当时，，
（舍去），；
③如图3，

当时，，，，，
由勾股定理得：，解得，
④当时，
即，t无解．
故不存在这样的t值．
故当为轴对称图形时，的值是或或
24．(1)；
(2)最大值为，最小值为；
(3)①求的取值范围是， ②只有个交点时的取值范围是：或时．
（1）解：将点 代入，得：

解得：
．
（2）解：，
∵抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴当时，取最小值为
∴当时，取最大值：．
（3）解：①
当时，，的长度随的增大而减小，
当时，，的长度随增大而增大，
满足题意，
解得：；
解得：，当时，点P在最低点，与图象有交点，
如图，
增大过程中，时，点与点在对称轴右侧，与图象只有个交点，
直线关于抛物线对称轴直线，对称后直线为
时，与图象有个交点，
当时，与图象有个交点，
综上所述，或时，与图象交点个数为个，时， 与图象有个交点，
∴只有个交点时的取值范围是：或时．