2024-2025学年云南省红河哈尼族彝族自治州高二下学期期中数学检测试题3（含答案）

这是一份2024-2025学年云南省红河哈尼族彝族自治州高二下学期期中数学检测试题3（含答案），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．用列表法将函数表示如下：
则（ ）
A．0B．1C．2D．3
2．如图所示，中，，，则
B．
C． D．
3．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则（ ）
A．B．1C．D．2
4．下列幂函数在区间内单调递减的是（ ）
A．B．C．D．
5．已知为焦点在轴上的双曲线，其离心率为，为上一动点（除顶点），过点的直线，分别经过双曲线的两个顶点，已知直线的斜率，则直线的斜率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．已知正项等比数列的前项和为，若，，成等差数列，则的最小值为( )
A．B．C．D．
7．在三棱锥中，底面，，，，是线段AC上一点，且，三棱锥的各个顶点都在球的表面上，过点作球的截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
8．已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．下列运算法则正确的是（ ）
A．
B．
C．（且）
D．
10．某学校为了丰富同学们的课外活动，为同学们举办了四种科普活动：科技展览、科普讲座、科技游艺、科技绘画．记事件：只参加科技游艺活动；事件：至少参加两种科普活动；事件：只参加一种科普活动；事件：一种科普活动都不参加；事件：至多参加一种科普活动，则下列说法正确的是（ ）
A．与是互斥事件B．与是对立事件
C．D．
11．在直三棱柱中，，，点分别是，的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．平面
B．异面直线与所成的角为
C．若点是的中点，则平面截直三棱柱所得截面的周长为
D．点是底面三角形内一动点（含边界），若二面角的余弦值为，则动点的轨迹长度为
三、填空题
12．已知函数且，则的值为 ．
13．已知偶函数在上单调递减，且，若，则的取值范围是 ．
14．已知定义在上的函数满足，且当时，，则方程的所有解的和为 .
四、解答题
15．国务院于2023年开展第五次全国经济普查，为更好地推动第五次全国经济普查工作，某地充分利用信息网络开展普查宣传，向基层普查人员、广大普查对象及社会公众宣传经济普查知识．为了解宣传进展情况，现从参与调查的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄（单位：岁）分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示．
(1)求图中a的值；
(2)求这200人年龄的平均数（同一组数据用该组所在区间的中点值作代表）和中位数（精确到0.1）；
(3)现要从年龄在与的两组中按照人数比例用分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中任选3人进行问卷调查，求从中至少抽到2人进行问卷调查的概率．
16．已知的内角A，，所对的边分别为，，，且.
(1)求A；
(2)若，且，求内切圆的半径.
17．已知椭圆：的左焦点为，长轴长为，过右焦点的直线交椭圆于，两点
(1)求椭圆的方程；
(2)设线段的中点为，求点到直线的距离的取值范围.
18．如图所示，在矩形ABCD中，，，E是CD的中点，O为AE的中点，以AE为折痕将向上折起，使D点折到P点，且．
(1)求证：面ABCE；
(2)求AC与面PAB所成角的正弦值．
19．已知抛物线.
（1）设为抛物线上横坐标为1的定点，为圆上的上的动点，若抛物线与圆无公共点，且的最小值，求的值；
（2）设直线交抛物线于，两点，另一条直线交抛物线于，两点，交于点，且直线，的斜率均存在，（为坐标原点），四边形的四条边所在直线都存在斜率，直线的斜率不等于0，求证：（，分别为直线，的斜率）x
0
y
0
答案
1．A
【分析】由表格可得答案.
【详解】由表格可得，
故选：A.
2．D
【分析】利用向量加法和减法的运算表示出.
【详解】，
故选D．
本小题主要考查向量的加法和减法运算，考查平面向量基本定理，属于基础题.
3．C
【分析】根据双曲线的渐近线方程、直线倾斜角列方程即可求得的值.
【详解】双曲线的渐近线方程为
又一条渐近线的倾斜角为，所以，解得.
故选：C.
4．D
由幂函数的知识可直接选出答案.
【详解】、、在区间内单调递增，在区间内单调递减
故选：D
5．C
【分析】由离心率可得由题意可得，由斜率，即可得斜率的取值范围.
【详解】设双曲线的方程为为上一动点，上顶点下顶点离心率为，即可得
直线为直线PA, 直线为直线PB,
则，
，又，，可得，
故选：C
6．B
【分析】利用等比数列前项和的性质表示出，再表示成同一变量，然后利用基本不等式求出其最小值即可.
【详解】因为是正项等比数列，
所以，，仍然构成等比数列，
所以.
又，，成等差数列，
所以，，
所以.
又是正项等比数列，
所以，，当且仅当时取等号.
故选：B.
7．C
【分析】如图，将三棱锥补成直三棱柱，根据球的性质确定球心位置，要使过点作球的截面圆的面积最小，只需截面与垂直；当截面过球心时，截面面积最大，即可求解.
【详解】将三棱锥补成直三棱柱，如图所示，
则三棱锥和该直三棱柱的外接球都是球，
设三角形ABC的中心为，球的半径为R，，连接，
则球心到平面ABC的距离为，即，连接，，则，
所以，即．
在中，取AC的中点，连接OD，，
则，，，所以．
连接OD，在中，，
由题意得，当截面与直线OD垂直时，截面圆面积最小，
设此时截面圆的半径为r，则，
所以截面圆的最小面积为；
当截面过球心时，截面圆面积最大，为，
所以，解得，所以球的表面积为，
故选：C．
8．D
【分析】构造函数以及函数，分别利用导数研究其单调性，进而根据单调性比较函数值的大小.
【详解】令，，
当时，，，，单调递增，
，即，，即，
令，
，
令，
令，，
当时，，单调递增，
在上单调递减，，
，在上单调递减，
，即，
综上.
故选：D.
9．CD
【分析】取可判断A选项的正误；取，可判断B选项的正误；利用对数的换底公式可判断C选项的正误；利用指数的运算性质可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项，若，则无意义，A选项错误；
对于B选项，若，，则无意义，B选项错误；
对于C选项，由换底公式可得（且），C选项正确；
对于D选项，当，、时，，D选项正确.
故选：CD.
10．ABC
【分析】根据互斥事件和对立事件的概念判断AB的真假，根据事件的交、并的概念判断CD的真假.
【详解】对A：互斥事件表示两事件的交集为空集.事件：只参加科技游艺活动，
与事件：一种科普活动都不参加，二者不可能同时发生，交集为空集，故A正确；
对B：对立事件表示两事件互斥且必定有一个发生. 事件和事件满足两个特点，故B正确；
对C：表示：至多参加一种科普活动，即为事件，故C正确；
对D：表示：只参加一种科普活动，但不一定是科技游艺活动，故D错误.
故选：ABC
11．ACD
【分析】利用直线和平面垂直的性质定理证明平面，利用交线法找出截面，利用平行关系找出异面直线与所成的角，选项D可以先在上找一点满足题意，再找到平面与直三棱柱的截面，即可找到点在底面的轨迹.
【详解】选项A，由已知得△为等腰直角三角形，是的中点，则，
∵为直三棱柱，∴平面，∵平面，
∴，
∵平面，，∴平面，∴，
设与交于点，其中，，
∵∽，，，
∵，∴，
∵平面，，∴平面，故选项A正确；

选项B，过点作的平行线，则角为异面直线与所成的角，
因为平面，且∥，所以平面，所以，
所以，因为异面直线所成的角，
所以，故异面直线与所成的角为，故选项B不正确；

选项C ，延长交和的延长线于点，连接交于点，连接，
则四边形为平面BNP截直三棱柱所得的截面，
由已知得，
由∽，则，即，
由∽，则，即，
由余弦定理可知，解得，
其周长为，故选项C正确；

选项 D， 若上存在一点使二面角的余弦值为，连接和，
因为平面，∴，，
∴二面角的平面角为，即，
设，则，，
在中由余弦定理得
，
在△中由余弦定理得，
，解得，
过作的垂线，连接，过作的平行线交于点，则，
所以截面为直三棱柱的截面，
所以符合题意的的轨迹长度为线段的长，所以，故选项D正确；

故选：ACD.
关键点睛：本题第4小问的解决关键是利用二面角的定义求得，从而推得，进而得到的轨迹长度为的长，从而得解.
12．3
【分析】将代回原函数得，再求出即可
【详解】因为，所以，
所以．
故3
本题考查分段函数求值问题，属于简单题
13．
【分析】根据奇偶性与单调性得到当或时，，则不等式等价于或，解得即可.
【详解】解：因为偶函数在上单调递减，所以函数在上单调递增，
又，所以，
所以当或时，，故当或时，，
解得或，故不等式的解集为.
故
14．
【分析】由函数在上的解析式可知在上单调递减，在上单调递增，求出最值，并利用求出其他区间内函数的表达式为，又可得出时关于的方程，利用韦达定理即可求得所有解的和.
【详解】当时，，
易知在上的图象可由函数的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度得到，且函数在上单调递减，在上单调递增，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴，又，且，
∴.
∵，
∴当时，，，∴，，
∴，，
此时的最小值为，最大值为..
易知，∴当时，，，
∴，
整理得，
函数在上单调递减，在上单调递增，且在上的最小值为，最大值为，，，∴方程必有2个解；
由韦达定理可知方程的所有解的和为.
故
关键点点睛：本题关键在于根据函数在上的解析式判断出其单调性求出最值，再结合求出其他区间内函数的表达式，即可构造关于的方程，即可实现问题求解.
15．(1)
(2)平均数为；中位数约为42.1
(3)
【分析】(1)用频率分布直方图的面积和为直接求出；
(2)用平均数，中位数的意义可求；
(3)古典概率问题，先求出不同年龄段抽取的人数，再用古典概率公式求出结果.
【详解】（1）由图可知，
解得．
（2）平均数为．
设中位数为x，由已知可得．
且，
解得，即中位数约为42.1．
（3）年龄在和这两组的人数分别为30，20，
则年龄在的应抽取3人，年龄在的应抽取2人，
设“从这5人中任选3人，年龄在内的至少有2人”为事件A，
则．
16．(1)
(2)
【分析】（1）根据同角三角函数的平方关系化简条件式，利用正弦定理化角为边，再利用余弦定理化边为角计算即可；
（2）由条件得出三角形的面积，再利用三角形的面积与周长的关系转化即可.
【详解】（1）已知可化为：
化简得：，
由正弦定理上式可得：，
由余弦定理可得：，
即，
因为，所以；
（2）由正弦定理，
故，
由（1）知：，故，
所以，
即，解得.
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意可得、，再由可得答案；
（2）当直线的斜率不存在时，点到直线的距离为1；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，与椭圆方程联立，设，，利用韦达定理可得点的横坐标，求出点到直线的距离，由的范围可得答案.
【详解】（1）根据题意可得，，，
∴，
∴椭圆的方程为；
（2）由（1）得，，
当直线的斜率不存在时，点到直线的距离为1；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
联立消去得，
显然，
设，，
则，
∴点的横坐标，
∴点到直线的距离，
∵，
∴，
∴，
综上，点到直线的距离的取值范围为.
18．(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（1）取的中点，连，，证明，，得到面，从而证明，然后可得面；
（2）作交于，则，然后以点为原点建立空间直角坐标系，然后利用向量求解即可.
【详解】（1）
由题意，可得，，则，
取BC的中点F，连OF，，可得，所以，
因为，，且，所以平面，
又因为平面，所以．
又由BC与AE为相交直线，所以平面．
（2）
作交于，则
如图建立空间直角坐标系，
则，
设平面的法向量为，则，所以可取，
所以与面所成角的正弦值.
19．（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）据题意得，可求得；
（2）设，，，，又得，分别设出直线、直线方程与抛物线方程联立得到、，再利用韦达定理和抛物线方程代入化简可得答案.
【详解】（1）据题意， 的最小转化为到圆心的最小值，根据抛物线定义再转化为到抛物线准线的距离，得，
所以（舍）或.
（2）证明：设，，，，
又，所以，
所以，
所以，
设过点的直线方程为，
据得，
所以，
设过点的直线方程为，
据得，
可得，
所以
.
本题考查了抛物线方程、直线与抛物线的位置关系，解题的关键点是利用韦达定理解决，考查了学生分析问题、解决问题的能力和计算能力.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
C
D
C
B
C
D
CD
ABC
题号
11









答案
ACD