2024-2025学年云南省红河哈尼族彝族自治州高一下学期期中数学检测试题2（含答案）

这是一份2024-2025学年云南省红河哈尼族彝族自治州高一下学期期中数学检测试题2（含答案），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（ ）
A．B．
C．D．
2．已知复数，则复数的共轭复数（ ）
A．B．C．D．
3．设集合， 集合，则（ ）
A．B．
C．D．
4．已知菱形的边长为2，为的中点，则（ ）
A．B．C．D．3
5．设，若，则（ ）
A．B．C．D．
6．函数的图象最有可能的是（ ）
A．B．
C．D．
7．已知四棱锥的底面为矩形，，，侧面为正三角形且垂直于底面，M为四棱锥内切球表面上一点，则点M到直线距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，已知是边长为4的等边三角形，分别是的中点，将沿着翻折，使点A到点处，得到四棱锥，则下列命题错误的是（ ）

A．翻折过程中，该四棱锥的体积有最大值为3
B．存在某个点位置，满足平面平面
C．当时，直线与平面所成角的正弦值为
D．当时，该四棱锥的五个顶点所在球的表面积为
二、多选题
9．已知角的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边上的一点为（），则下列各式一定为负值的是（ ）
A．B．C．D．
10．一棱长等于1且体积为1的长方体的顶点都在同一球的球面上，则该球的体积可能是（ ）
A．B．C．D．
11．已知四棱锥的高为，底面是边长为的正方形，，则（ ）
A．的面积为定值
B．
C．四棱锥表面积的最小值为
D．若四棱锥存在内切球，则该球半径为
三、填空题
12．若是虚数单位，则复数 ．（写成最简结果）
13．方程的解
14．正方体棱长为3，点E在边BC上，且满足BE＝2EC，动点M在正方体表面上运动，并且总保持，则动点M的轨迹的周长为 .
四、解答题
15．已知的内角所对的边分别为，满足.
(1)求外接圆的面积；
(2)若，求的面积.
16．一个直角三角形的两条直角边的长分别和，将这个直角三角形以斜边为轴旋转一周，求所得旋转体的体积．
17．如图，某景区是一个以为圆心，半径为的圆形区域，道路，成角，且均和景区边界相切，现要修一条与景区相切的观光木栈道，点，分别在和上，修建的木栈道与道路，围成的三角地块.
（1）求修建的木栈道与道路，围成的三角地块面积的最小值；
（2）若景区中心与木栈道段连线的.
①将木栈道的长度表示为的函数，并指定定义域；
②求出木栈道的长度最小值.
18．在中，现有下列四个条件：①；②；③；④．
(1)①②两个条件可以同时成立吗？请说明理由；
(2)请选择上述四个条件中的三个，使有解，并求的面积．
19．如图，有一景区的平面图是一个半圆形，其中O为圆心，直径的长为，C，D两点在半圆弧上，且，设；
（1）当时，求四边形的面积.
（2）若要在景区内铺设一条由线段，，和组成的观光道路，则当为何值时，观光道路的总长l最长，并求出l的最大值.答案
1．A
【分析】利用诱导公式化简求值
【详解】由诱导公式可知，.
故选：A
2．C
【分析】根据复数的除法运算化简复数，再根据共轭复数的概念可求得结果.
【详解】因为，
所以.
故选：C.
本题考查了复数的除法运算，考查了共轭复数的概念，属于基础题.
3．B
【分析】由并集的定义即可求解.
【详解】由，，
所以.
故选：B
4．D
【分析】结合图形，由向量的加法法则和数量积的运算律计算即可.
【详解】
，，
所以，
故选：D.
5．D
【详解】，当时，不成立，根据对数函数的定义，可知真数必需大于零，故不成立，由于正弦函数具有周期性和再某个区间上为单调函数，故不能比较，故不成立， 根据指数函数的单调性可知，正确，故选D.
6．A
【分析】根据奇函数的定义判断函数的奇偶性，再通过取特殊点确定正确选项.
【详解】有意义可得，所以且，
所以且且，所以的定义域为，
又，所以函数为偶函数，其图象关于轴对称，B，D错误，
又，C错误，
选项A符合函数的解析式，
故选：A.
7．B
【分析】分别为和的中点，平面截四棱锥的内切球O所得的截面为大圆，求出圆的半径，利用圆心到直线距离求点M到直线距离的最小值.
【详解】如图，设四棱锥的内切球的半径为r，取的中点为H，的中点为N，连接，，，

球O为四棱锥的内切球，
底面为矩形，侧面为正三角形且垂直于底面，
则平面截四棱锥的内切球O所得的截面为大圆，
此圆为的内切圆，半径为r，与，分别相切于点E，F，
平面平面，交线为，平面，
为正三角形，有，平面，
平面，，
，，则有，，，
则中，，解得.
所以，四棱锥内切球半径为1，连接.
平面，平面，，
又，平面，，
平面，平面，可得，
所以内切球表面上一点M到直线的距离的最小值即为线段的长减去球的半径，
又.
所以四棱锥内切球表面上的一点M到直线的距离的最小值为.
故选：B.
方法点睛：
四棱锥的内切球，与四棱锥的五个面都相切，由对称性平面截四棱锥的内切球O所得的截面为大圆，问题转化为三角形内切圆，利用面积法求出半径，即内切球的半径，由球心到直线的距离，求点M到直线的距离的最小值.
8．B
【分析】对于A：根据垂直关系锥体的体积分析运算；对于B：根据题意结合二面角分析判断；对于C：根据线面夹角的定义结合垂直关系分析运算；对于D：根据题意结合球的性质分析运算.
【详解】如图，设分别为的中点，则，
对于选项A：当平面平面时，四棱锥的体积最大，
因为为的中点，且为等边三角形，则，
平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
此时体积，故A正确；
对于选项B：因为//，平面，平面，
所以//平面，
设平面平面，且平面，则//BC，
且//，则//，
又因为平面，
所以平面，
则平面，可得，，
即为平面与平面所成的二面角，
由可知，，故B错误；
对于选项C：过作的垂线，垂足为，则，
因为平面，平面，则，
平面，所以平面，
则为直线与平面的所成角．
依题意可知，，
在中，由余弦定理可得，
且，则；
在中，，
从而直线与平面所成角的正弦值为，故C正确；
对于选项D：当时，由，可知，即，
又因为，且，则平面，
且平面，则平面平面．
设四棱锥的外接球球心为，的外心为，如图，
因为，则点为等腰梯形的外心，
则四边形为矩形，且，
可得，
所以所求外接球的表面积为，故D正确．
故选：B．

方法点睛：求解平面图形折叠问题的关键和方法
（1）关键：分清翻折前后哪些位置关系和数量关系改变，哪些不变，抓住翻折前后不变的量，充分利用原平面图形的信息是解决问题的突破口．
（2）方法：把平面图形翻折后，经过恰当连线就能得到三棱锥，四棱锥等几何体，从而把问题转化到我们熟悉的几何中解决．
9．AB
【分析】由终边上一点的坐标，根据m与0的大小关系分类讨论坐标所在象限，应用同角三角函数的坐标表示，可得正、余弦及正切函数值，进而判断选项的正误
【详解】由题意知：
(1)若m > 0时，有
∴
(2)若m < 0时，有
∴
综上，知：一定为负值的有、
故AB
本题考查了同角三角函数，根据已知角终边上一点结合分类讨论的方法确定各函数值、应用二倍角余弦公式求值，最后判断由它们组成的三角函数的符号
10．BCD
【分析】设长方体未知的两棱长分别为，，由长方体对角线就是外接球直径得半径，求得体积，并由基本不等式求得体积范围，然后可得正确选项．
【详解】设长方体未知的两棱长分别为，则，，
设外接球半径为，则，
球体积为，，当且仅当时等号成立，
所以．
故选：BCD．
11．ABD
【分析】对于A，过过作垂直于，根据条件，利用几可关系可得，即可求解；对于B，利用几何关系可得，即可求解；对于C，过分别作的垂线，根据题设可得，即可求解；对于D，过作垂直于，从而有的内切圆半径等于该球半径，利用等面积法，即可求解.
【详解】对于选项A，因为，所以在底面的射影在直线的垂直平分线上，
过作垂直于，连接，因为面，面，
则，又面，所以面，又面，
则，又底面是边长为的正方形，则，
所以的面积为，故选项A正确，
对于选项B，由选项A易知，则，所以，故选项B正确，
对于选项C，过分别作的垂线，垂足分别为，由选项A知与面积为定值，
易知，，若在正方形内时，
不妨设，则，则，
因为可看成点到点和点的距离之和，
则，
所以，
此时四棱锥表面积的最小值为，
若在正方形外时，不妨设，，
则，
因为可看成点到点和点的距离之和，
则，
所以，
此时四棱锥表面积的最小值为，
综上，四棱锥表面积的最小值为，故选项C错误；
对于选项D，若四棱锥存在内切球，则该球与平面，平面，
平面均相切，过作垂直于，所以的内切圆半径等于该球半径，
又，，设的内切圆半径为，
则，得到，所以选项D正确，

故选：ABD.
12．/
【分析】由复数的除法运算直接化简可得.
【详解】.
故
13．1
【分析】因式分解（3x﹣3）（3x+2）＝0，从而求得x＝1．
【详解】∵9x﹣3x﹣6＝0，
∴（3x﹣3）（3x+2）＝0，
∴3x＝3，
∴x＝1，
故答案为1．
本题考查了因式分解的应用及指数运算的应用，属于基础题．
14．
【分析】根据题意，需找到一个与直线垂直的面，然后作平面∥平面，则直线垂直面上任意一条直线，即可确定动点的轨迹即为的三条边，最终可得出结果．
【详解】如图：

连接，，
四边形为正方形，．
又正方体中，面，面．
，又因为BD∩=D，BD，平面，
面，．
同理可证平面，即得．
，．
面．
过点作∥交于点，再过点作交于点．
很明显，平面∥平面．
平面．
只在平面上运动才能保持，
又动点在正方体表面，
动点的轨迹即为的三条边．
在中，，
．
动点的轨迹的周长为．
故．
15．(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理直接计算求解即可；
（2）根据正弦定理求得，得到，结合三角形面积公式即可得到答案.
【详解】（1）设外接圆的半径为
在中，由正弦定理得，
因为，所以，所以，
外接圆的面积为
（2）因为，所以，所以
因为，所以或，
因为，所以，所以，
所以，
所以的面积
16．
【分析】首先根据题意得到旋转体的图形，再根据圆锥的体积公式求解即可.
【详解】是直角三角形的直角边为，，，如图所示：
则，设，则，即.
所以旋转体的体积为.
17．（1）平方千米；（2）①；②.
【分析】（1）利用，结合余弦定理，利用基本不等式，求得的最小值，即可求得结果；
（2）①根据角度关系，结合三角函数的应用，即可容易表示；
②由①中所求，结合均值不等式，即可容易求得最小值.
【详解】（1）设三角地带面积为，，，，
三角形内切圆面积，又因为，
所以，
得，①
在中，由余弦定理得
，②
由①和②得，，
修建的木栈道与道路，围成的三角地带面积的最小值为平方千米.

（2）①设直线和圆相切点，，则，
，，，，
；
②
，
当且仅当时等号成立，
故木栈道的长度最小值为.
本题考查利用正余弦定理解决实际问题，涉及均值不等式的使用，属综合中档题.
18．(1)①②不能同时成立，理由见解析
(2)选择①③④，
【分析】（1）由求出得到，然后利用余弦定理求出，最后根据三角形内角和得出①②不能同时成立；
（2）先分析②③④，根据大边对大角显然不成立，再选择①③④，由正弦定理求出，从而得到是以为直角的三角形，最后求出的面积．
【详解】（1）由条件①得，
解得或，
因为，所以；
由条件②得，
因为，所以．
而与矛盾，所以①②不能同时成立．
（2）由（1）知，①②中只能选择其一，
若选择②③④，
由知，
而，显然不成立，
所以只能选择①③④．
有，即，，
因为，所以，
所以，即是以为直角的三角形，
所以的面积．
19．（1）；（2）5
【分析】（1）把四边形分解为三个等腰三角形：，利用三角形的面积公式即得解；
（2）利用表示（1）中三个等腰三角形的顶角，利用正弦定理分别表示，和，令，转化为二次函数的最值问题，即得解.
【详解】（1）连结，则
四边形的面积为
（2）由题意，在中，，由正弦定理
同理在中，，由正弦定理
令
时，即，的最大值为5
本题考查了三角函数和解三角形综合实际应用问题，考查了学生综合分析，数学建模，转化划归，数学运算能力，属于较难题题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
B
D
D
A
B
B
AB
BCD
题号
11









答案
ABD