四川省广元中学2024−2025学年高二下学期第一次阶段性测试数学试卷（含解析）

这是一份四川省广元中学2024−2025学年高二下学期第一次阶段性测试数学试卷（含解析），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．数列， ， ， ，……的通项公式可能是（ ）
A．B．C．D．
2．已知函数，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．已知等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A．7B．9C．81D．3
4．已知，，，则“，，既是等差数列又是等比数列”是“”的（ ）
A．充分且不必要条件B．必要且不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．如果函数在处的导数为1，那么（ ）
A．B．1C．2D．
6．假设你有一笔资金，现有三种投资方案，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．
现打算投资10天，三种投资方案的总收益分别为，，，则
A．B．
C．D．
7．已知数列满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．记数列的前项和为，且，则（ ）
A．B．数列是公差为1的等差数列
C．数列的前项和为D．数列的前2025项的和为
10．已知函数的导函数的图象大致如图所示，下列结论正确的是（ ）

A．在上单调递增B．在上单调递增
C．曲线在处的切线的斜率为0D．曲线在处的切线的斜率为4
11．数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ）
A．已知，则使得成等比数列的充要条件为
B．若为等差数列，且，则当时，的最大值为2022
C．若，则数列前5项的和最大
D．设是等差数列的前项和，若，则
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知函数，则的单调递增区间为 .
13．已知是数列的前n项和，，则 ．
14．已知，直线与曲线相切，则的最小值是 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知等差数列的前n项和为，.
(1)求的通项公式；
(2)若，求前n项和.
16．已知().
（1）若函数的图象在点处的切线平行于直线，求的值；
（2）讨论函数在定义域上的单调性.
17．已知底面是正方形，平面，，，点、分别为线段、的中点．
(1)求证：
平面
；
(2)求直线EF与平面
夹角的正弦值；
(3)求点F到面PAC的距离
18．已知数列中，，.
（1）求证：是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）已知数列满足.
①求数列的前项和；
②若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围.
19．已知椭圆，点，分别是椭圆短轴的端点，椭圆的焦点也是抛物线的焦点，且.过点且斜率不为0的直线交椭圆于，两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)轴上是否存在定点，使得?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由；
(3)若点是定直线上任意一点，求证：三条直线，，的斜率成等差数列.
参考答案
1．【答案】C
【详解】数列的分母形成首项为5，公差为2的等差数列，则通项公式为，
所以.
故选C.
2．【答案】B
【详解】，
所以，
故选B
3．【答案】D
【详解】依题意可得，
又，所以，
所以.
故选D
4．【答案】A
【详解】当时，是等差数列，不是等比数列，
当既是等差数列又是等比数列，则，
故“既是等差数列又是等比数列”是“”的充分不必要条件，
故选A．
5．【答案】A
【详解】因为，所以，
所以．
故选A．
6．【答案】B
【详解】解：设三种方案第天的回报分别为，，，则，
由条件可知为常数列；是首项为10，公差为10的等差数列；
是首项为0.4，公比为2的等比数列．
设投资10天三种投资方案的总收益为，，，
则；；
，
所以．
故选．
7．【答案】C
【详解】因，
则
，
则，
因函数在上单调递减，在上单调递增，
，，故当时的最小值为.
故选C.
8．【答案】D
【详解】函数在区间上单调递增，则在上恒成立，即恒成立，在上单调递增，时，，
故选D
9．【答案】ACD
【详解】数列的前项和，
当时，，
而满足上式，因此.
对于A，，A正确；
对于B，，，
则数列是公差为的等差数列，B错误；
对于C，，
数列的前项和为，C正确；
对于D，，
则数列的前2025项的和为，D正确.
故选ACD.
10．【答案】BD
【详解】由导函数的图象可知当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，A错误；
由图象可知当时，，在上单调递增，B正确；
由于，根据导数的几何意义可知在处的切线的斜率为4，C错误，D正确，
故选BD
11．【答案】CD
【详解】对于A：因为，所以使得成等比数列等价于，即，解得：.故A错误；
对于B：因为为等差数列，且，
所以由等差数列的性质可得：，
所以.故B错误；
对于C：因为，所以，，所以为等差数列.
所以的前项和为.
由二次函数的性质可得：当时，取得最大值.故C正确；
对于D：在等差数列中，设.
因为，所以，且.
由等差数列的分段和性质可知：也构成等差数列，
所以，解得：，所以.故D正确.
故选CD
12．【答案】
【详解】由题意，
由得，
所以单调递增是.
13．【答案】/
【详解】由数列的前项和为，且，
当时，，
两式相减，可得，即，，
令，可得，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，

14．【答案】27
【详解】由得：；当时， ，
直线与曲线相切的切点坐标为，
，又为正实数，
,
（当且仅当，即，即时取等号），
的最小值为27.
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为是等差数列，设其公差为，
由题知，解得，
所以的通项公式为.
（2）由题知，
所以.
16．【答案】（1）；（2）答案见解析.
【详解】（1）因为，.
所以由题意可知，
故
（2）()，
当时，因为，所以，
故在上为增函数；
当时，由，得；
由，得，
所以在上为减函数，在上为增函数.
综上所述，当时在上为增函数；
当时在上为减函数，在上为增函数.
17．【答案】(1)证明见详解；
(2)；
(3).
【详解】（1）根据平面，平面，
所以,
又底面是正方形，则,
可以建立如图所示以A为原点，所在直线对应轴的空间直角坐标系，
则，
所以，
易知是平面的一个法向量，
而，平面，
所以平面；
（2）由（1）知，
设平面的一个法向量为，则有，
所以，令，即，
设直线EF与平面夹角为，所以；
（3）由（1）知，显然是平面的一个法向量，
则点F到面PAC的距离为.
18．【答案】(1)证明见解析；；
(2)①；②
【详解】(1)因为，
所以，所以，
又，
所以是以3为首项，3为公比的等比数列，
故，
即；
(2)①：由(1)知，
所以，
，
两式相减，得
，
所以；
②：由①得，
设，则是递增数列，
当n为偶数时，恒成立，
又，所以；
当n为奇数时，恒成立，
又，所以，所以，
综上诉述，的取值范围是.
19．【答案】(1)；
(2)存在，；
(3)证明见解析.
【详解】（1）∵椭圆的焦点也是抛物线的焦点
∴，又，∴是等腰直角三角形
∴ ，∴
所以椭圆的方程为：.
（2）假设轴上存在定点，使得，
设，，直线的方程为，
将直线与椭圆方程联立，消去整理得到：，
∴，，
由题意，，则直线，的倾斜角互补，所以，
设，则，，
∴，
将，代入上式，整理得：，
∴
将，，代入上式整理得：，
由于上式对任意实数都成立，所以，
即存在点使得.
（3）证明：设，要证直线，，的斜率成等差数列，
只需证，只需证，
只需证
只需证
只需证
只需证，
只需证，只需证
由（2）可知，，，代入上式显然成立，故原命题得证.