广东省东莞市东莞外国语学校2024−2025学年高二下学期段考一 数学试题（含解析）

这是一份广东省东莞市东莞外国语学校2024−2025学年高二下学期段考一 数学试题（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．如果函数在处的导数为1，那么（ ）
A．B．1C．2D．
2．（ ）
A．84B．83C．70D．69
3．已知函数的图象如图所示，则下列各式中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．不等式 A8x ＜6 A8x-2 的解集为( )
5．已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
6．已知在区间内存在2个极值点，则实数a的取值范围为（ ）．
A．B．C．D．
7．如图；在的矩形长条中，涂上红、黄、蓝3种颜色，每种颜色限涂2格，并且相邻两格不同色，则不同的涂色方法共有种数为（ ）

A．28B．29C．30D．31
8．曲线与和分别交于两点，设曲线在处的切线斜率为在处的切线斜率为，若，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列求导的运算中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．某单位安排7名员工周一到周日为期一周的值日表，每名员工值日一天且不重复值班，其中甲不排在周一，乙不排在周三，则不同的安排方案种数为（ ）
A．B．C．D．
11．设函数，则（ ）
A．存在，函数仅有一个极值点
B．曲线关于点对称
C．当时，是曲线的切线方程
D．当时，函数有唯一零点
三、填空题（本大题共3小题）
12．函数的最小值为 ．
13．现有男、女乒乓球运动员各6人，将他们配对成男双、女双、混双各2对，每个运动员都只参加一个项目，则不同的配对方法种数为 （用数字作答）．
14．已知的定义域是，且，则不等式的解是 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性.
16．（1）解不等式；
（2）求证：①，
②．
17．某校举行劳动技术比赛，该校高二（1）班的班主任从本班的5名男选手和4名女选手中随机地选出男、女选手各2名参加本次劳动技术比赛中的团体赛，并排好团体赛选手的出场顺序.在下列情形中各有多少种不同的安排方法？
(1)男选手甲必须参加，且第4位出场；
(2)男选手甲和女选手乙都参加，且出场的顺序不相邻；
(3)男选手甲和女选手乙至少有一人参加.
18．已知函数，其中.
(1)当时，求函数的极小值；
(2)若关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围.
19．设函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若是增函数，求a的取值范围；
(3)当时，设为的极小值点，证明：．
参考答案
1．【答案】A
【详解】因为，所以，
所以．
故选A．
2．【答案】D
【详解】依题意，
.
故选D.
3．【答案】C
【分析】根据导数的几何意义及函数图象判断即可.
【详解】设，，，
则表示函数在点处的切线的斜率，
则表示函数在点处的切线的斜率，
表示，两点连线的斜率，
又在上单调递增，且增长趋势越来越快，
则函数在点、的切线与过、的直线的草图如下所示：
由图可知，所以.
故选C.
4．【答案】 D
【详解】 由 A8x ＜6 A8x-2 ，得 8！8-x！ ＜6× 8！10-x！ ，
化简得x2－19x＋84＜0，解得7＜x＜12，①
又 0＜x≤8,0＜x-2≤8, 所以2＜x≤8，②
由①②及x∈N*，得x＝8.
5．【答案】A
【详解】由，得，
所以，得，
所以，，，，
故所求切线方程为，即.
故选A.
6．【答案】B
【详解】因为，可知在内有2个变号零点，
由可得，可知：与在内有2个交点，
又因为，
令，解得；令，解得；
可知在内单调递增，在内单调递减，则，
且，，
结合图象可得，所以实数a的取值范围为.
故选B.
7．【答案】C
【详解】分2类（先涂前3个矩形，再涂后3个矩形．）：
第1类，前3个矩形用3种颜色，后3个矩形也用3种颜色，有种涂法；
第2类，前3个矩形用2种颜色，后3个矩形也用2种颜色，有种涂法．
综上，不同的涂法和数为．
故选C．
8．【答案】A
【详解】因为和互为反函数，其图象关于直线对称，
且反比例函数的图象也关于直线对称，
可知点关于直线对称，设，则，
设，则，
由题意可得，解得或（舍去），
可得，则，所以.
故选A.
9．【答案】ACD
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D正确；
故选：ACD.
10．【答案】ABD
【详解】直接法：若乙安排在周一，则有种不同的排法；
若乙不安排在周一，则甲、乙可以安排在除周一和周三外的任何位置，有种不同的排法．
故所有符合题意的方法共有种，所以选项D正确．
间接法：（1）不管条件限制共有种不同的排法．
当甲安排在周一或乙安排在周三时，有种不同的排法；
当甲安排在周一且乙安排在周三时，有种排法．
故所有符合题意的方法共有种，所以选项B正确．
（2）从周一到周日的七天位置来看，周一不安排甲共有种不同的排法，
其中周三安排乙共有种排法，是不符合题意的，
故所有符合题意的方法共有种，所以选项A正确.
故选ABD
11．【答案】BC
【详解】对于A，由题意可得，当时，恒成立，
函数在上单调递减，无极值点，当时，令，
即，解得，此时函数有两个极值点，
所以不存在，使函数仅有一个极值点，故A错误；
对于B，设是图像上任意一点，则，
点关于点对称的点为，
将代入函数可得，
而，
所以曲线关于点对称，故B正确；
对于C，当时，，，
若是切线方程，则其斜率为9，
令，解得，
当时，，切线方程为，
化简可得；
当时，，切线方程为，
化简可得；
所以是曲线的切线方程，故C正确；
对于D，由，当时，令，可得，
当或时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
，
，
当时，，当时，，
所以函数在上各有一个零点，
即函数有三个零点，故D错误；
故选BC
12．【答案】
【详解】由函数，可得函数的定义域为，
且，
当时，；当时，；
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以.
13．【答案】4050
【详解】男双的配对方法种数为，同理，女双的配对方法种数为，
剩下的两男两女中混双的配对方法种数为2，则不同的配对方法种数为．
14．【答案】
【详解】依题意，不等式，
令函数，求导得，由，
得，函数在上单调递增，原不等式为，
因此，解得或，
所以原不等式的解集为.
15．【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）当时，，则，
从而，，
故所求切线方程为，即（或）.
（2）由题意可得.
当，即时，由，得或，由，得，
则在和上单调递增，在上单调递减；
当，即时，恒成立，则在上单调递增；
当，即时，由，得或，由，得，则在和上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减.
16．【答案】（1）；（2）①证明见解析；②证明见解析.
【详解】(1)在不等式中，0≤m-1≤8，且0≤m≤8，m∈N，即有1≤m≤8，m∈N，
原不等式化为：，即，解得，则m=7或8，
所以不等式的解集为.
(2)①，
所以成立；
②因，
，
所以成立.
17．【答案】(1)144
(2)144
(3)1008
【详解】（1）完成该件事情可分两步进行：
第一步，选出选手，有种方法；
第二步，排好出场顺序，有种方法，
所以，共有种不同的安排方法.
（2）完成该件事情可分两步进行：
第一步，选出选手，有种方法；
第二步，排好出场顺序，有种方法，
所以，共有种不同的安排方法.
（3）完成该件事情可分两步进行：
第一步，选出选手，“有男选手甲且无女选手乙”的选法种数为；
“无男选手甲且有女选手乙”的选法种数为；
“有男选手甲且有女选手乙”的选法种数为；
第二步，排好出场顺序，有种排法，
所以，共有种不同的安排方法.
18．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题可知：函数的定义域为，
当时，，
所以，
令，解得
则，，的变化情况如下表.
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
故函数的极小值为；
（2）因为，且关于的方程有两个不相等的实数根，
所以有两个不相等的实数根，
当时，显然不成立；
当时，即有两个不相等的实数根，
令，，则，
令，解得，
当时，；当时，；
则函数在上单调递减，在上单调递增，
所以在处可以取到最小值，
又由的零点仅有，且当趋近于0时，趋近于0，
所以，解得，
所以的取值范围为.
19．【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为．
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）当时，，，
因当时，，当时，，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）因，
设，，
当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
故时，取得极小值，
（ⅰ）所以当时，，，所以，单调递增，符合题意；
（ⅱ）当时，，
因为趋近于时，趋近于，趋近于时，趋近于，
所以存在两个零点，
即存在区间使得，所以不恒成立，不合题意；
（ⅲ）当时，若，因为的零点为，且，
则与有唯一相同零点且零点两侧函数值符号相同，
所以，解得，
此时，当时；
当时，则
所以综上a的取值范围为.
（3）当时，，，设为的零点，则，
因为，所以，
当时，，，故，在单调递增，
当时，，，所以，在单调递减，
当时，，，所以，在单调递增，
所以，且，即，
所以，
设，则，在上单调递增，
所以，且，故得．
A．[2,8]
B．[2,6]
C．(7,12)
D．{8}
0
单调递减
单调递增