2022-2023学年广东省东莞市东莞外国语学校高二上学期第二次段考数学试题（解析版）

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2022-2023学年广东省东莞市东莞外国语学校高二上学期第二次段考数学试题一、单选题1．圆的一条直径的两个端点是，则此圆的方程是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】用中点坐标公式求出圆心，再求出直径，即可得到圆的方程.【详解】解：因为圆的一条直径的两个端点是，，所以圆心坐标为，直径为，则半径为，所以圆的方程为.故选：B2．已知直线l1：4x+my+2=0和l2：mx+y+1=0平行，则实数m=（    ）A． B．0 C．2 D．±2【答案】A【分析】由两直线平行的条件计算．【详解】由题意，，时，方程是，即，的方程是，两直线重合，舍去，时，方程可化为，方程化为，平行．故选：A.3．已知直线：，：相交于点P，则P到直线l：的距离为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】联立两条直线求解点坐标，利用点到直线距离公式可得解【详解】由题意，联立可得，故则P到直线l：的距离：故选：A4．与双曲线有公共焦点，且短轴长为2的椭圆方程为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】设出椭圆方程，由短轴长求出，求出双曲线的焦点坐标，进而求出，得到椭圆方程.【详解】设椭圆方程为，双曲线的焦点坐标为，又短轴长为2，故，解得：，则，故椭圆方程为.故选：C5．如图，在三棱柱中，为的中点，若，，，则下列向量与相等的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【解析】根据空间向量的运算，用为基底表示出，可得选项.【详解】 故选：D6．已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（    ）A．外离 B．相交 C．内切 D．外切【答案】B【分析】由圆的面积被直线平分，可得圆心在直线上，求出，进而利用圆心距与半径和以及半径差的关系可得圆与圆的位置关系．【详解】因为圆的面积被直线平分，所以圆的圆心在直线上，所以，解得，所以圆的圆心为，半径为．因为圆的圆心为，半径为，所以，故，所以圆与圆的位置关系是相交．故选：B．7．已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题知，，进而利用向量求解异面直线所成角即可.【详解】解：由题知，在直三棱柱中，平面，平面，∵平面，平面，∴，，∵，，∴.∵，，∴，∴异面直线与所成角的余弦值为故选：C.8．如图所示，一隧道内设有双行线公路，其截面由一个长方形的三条边和抛物线的一段构成.为保证安全，要求行驶车辆顶部（假设车顶为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有，已知行车道总宽度，则车辆通过隧道的限制高度为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】设抛物线的方程为，可知点在该抛物线上，求出的值，将代入抛物线方程，求出的值，即可得解.【详解】设抛物线的方程为，可知点在该抛物线上，则，解得，所以，抛物线的方程为，将代入抛物线方程得，解得，因此，车辆通过隧道的限制高度为.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线的实际应用，设出抛物线的方程，分析出抛物线上的点的坐标，求出抛物线的方程是解题的关键，同时要注意车辆限高的意义.二、多选题9．（多选）给出下列命题，其中是真命题的是（    ）A．若直线的方向向量，直线的方向向量，则与垂直B．若直线的方向向量，平面的法向量，则C．若平面，的法向量分别为，，则D．若平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则【答案】AD【分析】根据空间向量数量积的值即可判断A；根据空间向量数量积的值即可判断B；根据两平面法向量之间的关系可判断C；，，利用法向量与上面两向量的数量积可判断D.【详解】对于A，，则，所以直线与垂直，故A是真命题；对于B，，则，所以或，故B是假命题；对于C，，所以不成立，故C是假命题；对于D，易得，，因为向量是平面的法向量，所以，即，得，故D是真命题．故选：AD.10．下列说法不正确的是（    ）A．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件B．直线的一个方向向量C．经过点，倾斜角为的直线方程为D．直线：，为直线上动点，则的最小值为【答案】ABC【分析】根据直线与直线垂直的充要条件判断A选项；根据直线方向向量与斜率的关系判断B选项；根据直线倾斜角与斜率的关系判断C选项；根据的最小值即转化为点到直线距离的平方，即可判断D选项．【详解】解：对于A选项，由直线与直线互相垂直可得：，解得或，所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件，故A不正确；对于B选项，直线的斜率为2，则该直线的一个方向向量，故B不正确；对于C选项，经过点，倾斜角为的直线有可能斜率不存在，即时，无意义，故C不正确；对于D选项，直线：，为直线上动点，则表示到的距离的平方，故的最小值即为到直线距离的平方，即，故D正确.故选：ABC.11．下列结论正确的是（    ）A．过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为B．圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1C．圆被直线截得的最短弦长为D．若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是【答案】BC【分析】A选项：过点且在两坐标轴上的截距相等的直线可能斜率为-1，还可能过原点；B选项：利用点到直线的距离公式求出圆心到直线l的距离为1，结合半径为2，即可判断；C选项：由直线系方程可得直线所过定点P的坐标，求得，再由勾股定理求最短弦长；D选项：将直线化成斜截式，可得直线经过点，将曲线方程化简整理，得该曲线是以为圆心，半径为1的圆位于直线右侧的部分．作出图形，观察直线的斜率的变化，再结合计算即可得到实数的取值范围．【详解】过点且在两坐标轴上的截距相等的直线有两条，一条斜率为-1，方程为，另一条过原点，方程为，故选项A错误；圆，圆心到直线的距离等于1，半径为，平行于且距离为1的两条直线分别过圆心以及和圆相切，所以圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1，故选项B正确；直线过定点，且定点在圆内，圆的圆心，当直线与弦垂直时，弦长最短，，最短弦长为，故选项C正确；直线化成，可得它必定经过点，而曲线，可变形整理为，该曲线是以为圆心，半径为1的圆位于直线右侧的部分，如图所示：设直线在圆下方与圆相切时的斜率为，直线过点与圆有两个交点时的斜率为．可得当直线与曲线有两个不同的交点时，斜率满足．由点到直线的距离，解得，而，由此可得，则实数的取值范围是为，选项D错误．故选：BC12．“脸谱”是戏曲舞台演出时的化妆造型艺术，更是中国传统戏曲文化的重要载体．如图，“脸谱”图形可近似看作由半圆和半椭圆组成的曲线C．半圆的方程为，半椭圆的方程为．则下列说法正确的是（    ）A．点A在半圆上，点B在半椭圆上，O为坐标原点，OA⊥OB，则△OAB面积的最大值为6B．曲线C上任意一点到原点的距离的最大值与最小值之和为7C．若，P是半椭圆上的一个动点，则cos∠APB的最小值为D．画法几何的创始人加斯帕尔·蒙日发现：椭圆中任意两条互相垂直的切线，其交点都在与椭圆同中心的圆上．称该圆为椭圆的蒙日圆，那么半椭圆扩充为整个椭圆：后，椭圆的蒙日圆方程为【答案】ABD【分析】选项A，易得，，从而判断；选项B根据椭圆的性质解决椭圆中两点间距离问题；选项C由椭圆定义可得到|PA|、|PB|之和为定值，由基本不等式可以得到、|PB|乘积的最大值，结合余弦定理即可求出cos∠APB的最小值；选项D中分析蒙日圆的关键信息，圆心是原点，找两条特殊的切线，切线交点在圆上，求得圆半径得圆方程．【详解】解：对于A，因为点A在半圆上，点B在半椭圆上，O为坐标原点，OA⊥OB，则，，则，当位于椭圆的下顶点时取等号，所以△OAB面积的最大值为6，故A正确；对于B，半圆上的点到点的距离都是，半椭圆上的点到点的距离的最小值为，最大值为，所以曲线C上任意一点到原点的距离的最大值与最小值之和为7，故B正确；对于C，是椭圆的两个焦点，在△PAB中，，由余弦定理知：，当且仅当时取等号，所以cos∠APB的最小值为，故C错误；对于D，由题意知：蒙日圆的圆心O坐标为原点(0，0)，在椭圆：中取两条切线：和，它们交点为，该点在蒙日圆上，半径为此时蒙日圆方程为：，故D正确．故选：ABD．三、填空题13．已知双曲线的一条渐近线过点，则此双曲线的离心率为___________．【答案】【分析】根据渐近线过点，得到，从而求出离心率.【详解】的渐近线为，由题意得：，所以，故离心率故答案为：14．到y轴距离等于1的点的轨迹方程为_________．【答案】【分析】设，到y轴距离等于1的点满足，计算得到答案.【详解】设，到y轴距离等于1的点满足，即.故答案为：15．已知，，，，若，，，四点共面，则___________．【答案】2【分析】由四点共面易知，结合题设各点坐标、空间向量线性运算的坐标表示即可求参数.【详解】设，且，∴，∴．故答案为：2四、双空题16．设抛物线的焦点为，准线为，过焦点的直线交抛物线于，两点，分别过，作的垂线，垂足为，，若，则____________；_____________．【答案】     4     【分析】由抛物线的焦点为，求得p=4；过点作，交直线于点，利用直线的斜率为,结合抛物线定义求解即可.【详解】抛物线的焦点为，所以，所以p=4；如图所示，过点作，交直线于点，由抛物线的定义知，，且，所以，，所以，所以直线的斜率为；设直线的方程为，点，，由，消去整理得，所以，所以，所以，所以的面积为.故答案为：；．五、解答题17．已知点，，.求：(1)BC边上的中线所在直线的方程；(2)三角形ABC的面积.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据，，，求得线段BC的中点坐标求解； （2）写出直线BC的方程，求得点A到直线BC的距离，和，再利用三角形面积公式求解.【详解】（1）解：因为，，，所以线段BC的中点坐标为，所以BC边上的中线所在的直线的斜率不存在，则BC边上的中线所在的直线方程为（2）直线BC的方程为，即，则点A到直线BC的距离，又，故.18．已知圆心为的圆经过，两点，且圆心在直线：上.(1)求圆的标准方程；(2)过点引圆的一条切线，切点为，求线段的长.【答案】(1)(2)【分析】（1）设出圆的圆心坐标，利用圆的半径相等，列出方程求解即可；（2）画出图形，结合图形，利用直角三角形的勾股定理，求解线段的长.【详解】（1）解：圆心在直线上，设圆心坐标为，根据点和在圆上，可得，解得，圆心坐标为，半径，，此圆的标准方程是；（2）解：画出图形，如图所示：连接，，所以线段的长为.19．已知空间四个点，(1)设，求与夹角的余弦值；(2)求点D到平面ABC的距离d．【答案】(1)(2)【分析】（1）求出各向量的坐标，由向量数量积计算夹角的余弦值；（2）求出平面法向量，利用点到直线距离公式求解.【详解】（1）因为点，所以，则，与夹角为，所以，（2）设平面ABC的一个法向量为，则，即，令，则，即，又，所以点D到平面ABC的距离.20．在如图所示的直三棱柱中，为正三角形，且，点P，Q分别为的中点．．(1)求直线与平面所所成角的正弦值；(2)求平面与平面夹角的余弦值．【答案】(1)(2)【分析】（1）分别取的中点，连接，以为原点，分别以和所在直线为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系，由空间向量法求线面角的正弦值；（2）由空间向量法求二面角．【详解】（1）在直三棱柱中，因为为正三角形，分别取的中点，连接，，于是平面，平面，则.如图，以为原点，分别以和所在直线为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系.因为为的中点，所以，.因为点分别为的中点，所以.所以.设为平面的法向量，由得不妨取，可得.则.设直线与平面所成的角为，则.所以直线与平面所成角的正弦值为.（2）因为，所以.设为平面的法向量，由得不妨取，可得，则.由（1）知为平面的一个法向量，所以.由图知二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为.21．某高校的志愿者服务小组决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏，如图，两个信号源相距10米，是的中点，过点的直线与直线的夹角为，机器猫在直线上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足：接收到点的信号比接收到点的信号早秒（注：信号每秒传播米），在时刻时，测得机器鼠距离点为4米.(1)以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系（如图），求时机器鼠所在位置的坐标；(2)游戏设定：机器鼠在距离直线不超过米的区域运动时，有“被抓”风险，如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？【答案】(1)(2)没有“被抓“风险【分析】（1）设机器鼠位置为点，由双曲线的定义和方程可得的轨迹和方程，及时刻时的坐标；（2）设直线的平行线的方程为，联立双曲线方程，由判别式为0，解得，再求平行线的距离，结合题意即可判断．【详解】（1）解：设机器鼠位置为点，由题意可得，即，可得的轨迹为双曲线的右支，且，，即有，，，则的轨迹方程为，时刻时，，即，可得机器鼠所在位置的坐标为；（2）解：设直线的平行线的方程为，联立双曲线方程，可得，即有，且，可得，即与双曲线的右支相切，切点即为双曲线右支上距离最近的点，此时与的距离为，即机器鼠距离最小的距离为，则机器鼠保持目前运动轨迹不变，没有“被抓”的风险．22．如图，椭圆：的离心率是，短轴长为，椭圆的左、右顶点分别为、，过椭圆与抛物线的公共焦点的直线与椭圆相交于两点，与抛物线相交于两点，点为的中点．(1)求椭圆和抛物线的方程；(2)记的面积为，的面积为，若，求直线在轴上截距的范围．【答案】(1)椭圆，拋物线(2)【分析】（1）由题知，进而解方程即可求得答案；（2）设，进而分别与椭圆和抛物线联立计算弦长，，进而计算面积，，再结合已知求得，再求直线在轴上截距的范围即可.【详解】（1）解：根据题意得：，解得，，，所以，抛物线焦点，所以，椭圆，拋物线（2）解：设，联立与椭圆，整理得：，  判别式：弦长公式：点到直线的距离为所以 联立与抛物线，整理得：，判别式：弦长公式：， 点到直线的距离为所以，因为，即，解得： .所以，直线在轴上截距或，所以，直线在轴上截距取值范【点睛】.