广东省东莞市东莞中学2024−2025学年高二下学期第一次段考考试数学试题（含解析）

这是一份广东省东莞市东莞中学2024−2025学年高二下学期第一次段考考试数学试题（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．以下运算正确的个数是（ ）
①；②；③；④．
A．0个B．1个C．2个D．3个
2．在的展开式中，只有第7项的二项式系数最大，则的值为（ ）
A．11B．12C．13D．14
3．函数的单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．
4．已知是函数的极小值点，那么函数的极大值为（ ）
A．B．1C．2D．4
5．如图，一块长方形花圃，计划在A、B、C、D四个区域分别种上3种不同颜色鲜花中的某一种，允许同一种颜色的鲜花使用多次，但相邻区域必须种不同颜色的鲜花，不同的种植方案有（ ）
A．9种B．8种C．7种D．6种
6．若函数在R上单调递增，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方法有（ ）
A．12种B．16种C．24种D．36种
8．已知函数，，若直线与函数，的图象都相切，则的最小值为（ ）
A．2B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列问题属于排列问题的是（ ）
A．从6人中选2人分别去游泳和跳绳B．从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队
C．从10个不同的质数中取2个数求其商D．从5，6，7三个数字中取2个组成一个两位数
10．物体甲、乙在时间到范围内，路程的变化情况如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
B．在到范围内，甲的平均速度等于乙的平均速度
C．在时，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度
D．在时，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度
11．函数，则下列说法正确的是（ ）
A．在处有最小值B．是的一个极值点
C．在上单调递增D．当时，方程有两异根
三、填空题（本大题共3小题）
12．计算： ． （用数字作答）
13．2024年第6届U23亚洲杯将在卡塔尔举行.现将甲､乙，丙､丁四名志愿者分配到3个体育馆参加志愿者活动，每个场馆至少有一名志愿者，共有 种分配方案.（用数字作答）
14．已知两个函数（其中为实数）和，若对，，使成立，则的取值范围为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)求函数在区间中的最大值．
16．已知函数．
(1)若曲线在点处的切线与轴平行，求的值；
(2)若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围．
17．已知在的展开式中，各二项式系数和为．
(1)求展开式中含的项；
(2)求展开式中系数绝对值最大的项．
（参考数据：）
18．已知函数．
(1)若，求函数的极值；
(2)在（1）条件下，若已知方程有两个不同的实根，求实数的取值范围；
(3)求证：．
19．已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)设是函数的两个极值点，证明：．
参考答案
1．【答案】C
【详解】因为；
；
；
.
故②③正确.
故选C
2．【答案】B
【详解】根据题意，只有第7项为二项展开式的中间项，所以二项展开式的总项数为13，
即，解得，
故答案为：12.
3．【答案】B
【详解】因为函数的定义域为，所以，
令可得，所以的单调递减区间是.
故选B.
4．【答案】D
【详解】因为
所以，
又因为是函数的极小值点，
所以，
解得，
所以，，
令，得，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以在处取极大值，在处取极小值，
所以的极大值为.
故选D.
5．【答案】D
【详解】由题意，按区域分四步：第一步A区域有3种颜色可选；第二步B区域有2种颜色可选；
第三步C区域有1种颜色可选；第四步D区域只有1种颜色可选，
由分步计数原理可得，共有种不同的种植方案.
故选D.
6．【答案】A
【详解】因为，
所以.
因为函数在R上单调递增，所以在R上恒成立.
所以恒成立，而，
所以.
故选A
7．【答案】C
【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看作一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；
为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；
注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式.
故安排这5名同学共有：种不同的排列方式.
故选C
8．【答案】B
【详解】设直线与函数，的图象相切的切点分别为，.
由，有，解得，.
又由，有，解得，，可得，当且仅当，时取“=”.
故选B
9．【答案】ACD
【详解】对于A，从6个人中选2人分别去游泳和跳绳，选出的2人有分工的不同，是排列问题；
对于B，从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队，与顺序无关，不是排列问题；
对于C，从10个不同的质数中取2个数求其商，2个数谁作被除数谁作除数结果不同,与顺序有关，是排列问题；
对于D，从数字从5，6，7三个数字中取2个组成一个两位数，各数位上的数字有顺序性，是排列问题．
故选ACD.
10．【答案】BC
【详解】在到范围内，甲、乙的平均速度都为，故A错误，B正确；
因为甲对应的曲线在处的切线的斜率大于乙对应的曲线在处的切线的斜率
故在处，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度，故C正确，D错误．
故选BC.
11．【答案】AC
【详解】，，所以，
令，则恒成立，
所以在上单调递增，又，
所以时，，单调递减；时，，单调递增，
所以在处有最小值，且是的极小值点，故A,C正确，B不正确；
因为，且，
所以当时，方程只有一个根，故D不正确.
故选AC.
12．【答案】35
【详解】方法一：；
方法二：.
13．【答案】36
【详解】根据题意，先将4名志愿者分成3组，有1种分组方法，
即分成1、1、2的三组，有种方法，
再将分好的三组对应3个不同的场馆，有种情况，
则共有种分配方案.
14．【答案】
【详解】由已知，
则二次函数的对称轴为，其图象开口方向向上，
所以在上单调递增，则，
由，则时，或，
则，
所以，
要使对，，使成立，
则只需在上，则，可得.
15．【答案】(1)单调递增区间为和，单调递减区间为．
(2)4
【详解】（1）由题可得：， ·
令，得，，
所以与的情况如下：
所以，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为．
（2）由（1）知：函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．
又，， 所以，·
所以在区间中的最大值为． ·
16．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题可得：，
因为曲线在点处的切线与轴平行，
所以，，解得：.
（2）因为函数在区间上单调递减，
所以，在上恒成立，
即在上恒成立，
令，
则， 则在区间上单调递减，
所以，
所以，，即的取值范围为．
17．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由已知，，所以,
，
由，解得：
所以，含的项为.
（2）由（1）知，的展开式的通项为，
设第项的系数绝对值最大，
则，
即 ，解得： ，
又因为，所以
所以，系数绝对值最大的项为·
18．【答案】(1)极小值1，无极大值
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）若，，
所以，， ·
令，则在上恒成立，
所以在上单调递增，即在上单调递增．
又，
所以，当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
所以，当时，函数的极小值，无极大值
（2）由（1）得在上单调递减，在上单调递增，
设，
则在上单调递减，在上单调递增，
因为方程有两个不同的实根，故在有两个不同的零点，
故即，
此时且，
故在有且只有一个零点.
，而，
因为在上单调递增，
故在上单调递增，故，
故在上单调递增，故，而，
故在有且只有一个零点.
综上，.
（3）的定义域为，
， ·
令，，
所以在上恒成立，
所以在上单调递增，
又，，
所以存在唯一的，使得，
当时，，，在上单调递减，
当时，，，在上单调递增，
当时，取最小值，
因为，所以，，
所以，
,
当且仅当，即时等号成立． 所以成立．
19．【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）由题知： .
，
令得或，
当时，或，，单调递增；
，，单调递减 ；
当时，，单调递增 ；
当时，或，，单调递增.
，，单调递减 .
综上，当时，在区间和上单调递增，在上单调递减；
当时，在区间上单调递增；
当时，在区间和上单调递增，在上单调递减.
（2）由题意可知，，
有两个极值点，是的两正根，
则， 且.
.
，
∴要证，
即证， 即证，
即证， 即证，
令，则证明，
令，则，在上单调递增，
则，即，
所以原不等式成立．
0
2
正
0
负
0
正
增
极大值
减
极小值
增