四川省凉山彝族自治州会东县南山实验学校2024−2025学年高二下学期期中考试 数学试题（含解析）

这是一份四川省凉山彝族自治州会东县南山实验学校2024−2025学年高二下学期期中考试 数学试题（含解析），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知等差数列的通项公式为，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知数列是等比数列，且，，则（ ）
A．3B．6
C．3或D．6或
3．已知函数在处的导数为，则（ ）
A．3B．C．6D．
4．已知，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
5．曲线在点处的切线方程为( )
A．B．
C．D．
6．已知数列为等差数列，其前项和为，，则（ ）
A．110B．55C．50D．45
7．若函数在区间(,)内存在最小值，则实数的取值范围是（ ）
A．[－5,1)B．(－5,1)
C．[－2,1)D．(－2,1)
8．已知函数在区间上单调递减，则a的值可能为（ ）
A．B．C．D．e
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知是等差数列，是其前n项和，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若，，则B．若，则
C．若，则 D．若和都为递增数列，则
10．已知定义域为的函数的导函数为，且的图象如图所示，则（ ）

A．在上单调递减B．有极小值
C．有2个极值点D．在处取得最大值
11．关于函数，下列判断正确的是（ ）
A．的极大值点是
B．函数在上有唯一零点
C．存在实数，使得成立
D．对任意两个正实数，且，若，则
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知构成各项为正的等比数列，且则 .
13．已知函数，则的极小值为
14．若方程有两个不等的实数根，则实数的取值范围是 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知是等差数列的前n项和，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）为何值时，取得最大值并求其最大值．
16．已知数列满足，.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)设求的前n项和.
17．设函数．
(1)求在处的切线方程；
(2)求的极大值点与极小值点；
(3)求在区间上的最大值与最小值．
18．已知.
(1)求函数的最小值；
(2)若存在，使成立，求实数a的取值范围；
19．设函数．
(1)若在点处的切线斜率为，求a的值；
(2)当时，求的单调区间；
(3)若，求证：在时，．
参考答案
1．【答案】D
【详解】由，则，公差.
故选D.
2．【答案】B
【详解】解：设数列的公比为q，
则，
所以，，
所以．
故选B．
3．【答案】A
【详解】因为，
又函数在处的导数为，所以，
故选A.
4．【答案】C
【详解】，所以.
故选C.
5．【答案】A
【详解】求导函数，
当时，，
∴曲线在点处的切线方程为，
即.
故选A.
6．【答案】B
【分析】根据给定条件结合等差数列的性质计算出，再利用前n项和公式结合等差数列的性质计算即得.
【详解】在等差数列中，，于是得，
所以.
故选B.
7．【答案】C
【详解】由，令，可得或，
由得：或，由得：，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在处取得极小值，
令，解得或，
若函数在(,)内存在最小值，则，得．
故选C.
8．【答案】C
【详解】因为，所以，
因为在区间上单调递减，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
当时，因为在上恒成立，故上式成立，满足题意；
当时，则在上恒成立，
令，，
所以在上恒成立，所以在上单调递增，
又，故，即，
综上，所以ABD错误，C正确.
故选C.
9．【答案】BC
【分析】根据题意，求得，结合，A错误；根据数列的求和公式和等差数列的性质，可判定B正确；由，求得，C正确；根据题意，求得任意的，结合的正负不确定，D错误．
【详解】对于A中，由，，
可得，所以，
又由，所以A错误；
对于B中，由，所以B正确；
对于C中，由，所以，
又因为，则，所以C正确；
对于D中，因为为递增数列，可得公差，
因为为递增数列，可得，
所以对任意的，但的正负不确定，所以D错误．
故选BC.
10．【答案】AB
【详解】由的图象可知或时，，则单调递减，故A正确；
又或时，，则单调递增，
所以当时，有极小值，故B正确；
由的图象结合单调性可知，2，4时，有极值，所以有3个极值点，故C错误；
当时，，则单调递增，
所以，在处不能取得最大值，故D错误．
故选AB．
11．【答案】BD
【详解】因为，所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以是的极小值，所以A错误；
B选项中，函数，则，
由于，
即在上恒成立，所以函数在上单调递减，
又当时，，当时，，所以函数在上有唯一零点，
即函数有且只有1个零点，B正确；
C选项中，由，
可得当x且趋于无穷大时，无限接近于0，也无限趋于0，
故不存在实数，使得成立，即不存在实数，使得成立，C错误；
D选项中，由得
要证，只要证，即证，
由于，故令，则，
故在上单调递增，则，即成立，
故成立，所以D正确．
故选BD．
12．【答案】4
【详解】因为构成各项为正的等比数列，所以，又，
所以，解得或（舍去）.
13．【答案】
【详解】易知函数的定义域为，由题知，
令，得到，当时，，当时，，
所以在处取得极小值，极小值为.
14．【答案】
【详解】方程化为 ，令则问题转化为的图像与直线有 2 个交点，
因为，
当 时，单调递减，
当 时，，单调递增，
所以函数最小值为，且当正向无限趋近于时， 的取值无限趋近于正无穷大； 当无限趋近于正无穷大时， 的取值无限趋近于正无穷大；

故方程有两个不等的实数根时，.
15．【答案】（1）；（2）n=4时取得最大值.
【分析】（1）利用公式，进行求解；
（2）对进行配方，然后结合由，可以求出的最大值以及此时的值.
【详解】（1）由题意可知：，当时，，
当时，，
当时，显然成立，所以数列的通项公式；
（2），
由，则时，取得最大值28，
所以当为4时，取得最大值，最大值28．
【关键点拨】本题考查了已知求，以及二次函数的最值问题，根据的取值范围求最大值是解题的关键.
16．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为，所以，即，
又因为，所以，，
所以，故数列是以首项为3，公比为3的等比数列.
（2）由（1）可知，，即，
所以.
所以，①
，②
由①－②，得，
所以.
故的前项和为.
17．【答案】(1)；
(2)极小值点为，极大值点为；
(3)，.
【详解】（1）由题意得：，则，
又，
在处的切线方程为，即；
（2）令，解得：或，
则变化情况如下表：
的极小值点为，极大值点为；
（3）由（2）知：在上单调递减，在上单调递增；
又，，，
，.
18．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）依题意，的定义域是，，..
所以当时，单调递减；当时，单调递增；
所以当时，取得最小值.
（2）因为存在，使成立，
即能成立，即能成立，
令，则，
所以当时，单调递减；当时，单调递增，
所以当时，取得最小值，所以.
19．【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）解：函数，则，
因为在点处的切线斜率为，
所以，解得.
（2）由（1）知：，
当时，令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增.
（3），
令，则，
因为，所以，
则在上单调递增，又，所以恒成立，即；
令，，时，，时，，所以在上单调递增，在上单调递减，，恒成立，即，
所以，得证.
极小值
极大值