四川省凉山彝族自治州会东县2024-2025学年高二下学期期中数学检测试题（附答案）

这是一份四川省凉山彝族自治州会东县2024-2025学年高二下学期期中数学检测试题（附答案），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知等差数列的通项公式为，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】由等差数列性质即可得.
【详解】由，则，公差.
故选：D.
2. 已知数列是等比数列，且，，则（ ）
A. 3B. 6
C. 3或D. 6或
【正确答案】B
【分析】利用等比数列的通项公式求解.
【详解】解：设数列的公比为q，
则，
所以，，
所以．
故选：B．
3. 已知函数在处的导数为，则（ ）
A. 3B. C. 6D.
【正确答案】A
【分析】根据条件，利用函数在某点处的导数的定义，即可求解.
【详解】因为，
又函数在处的导数为，所以，
故选：A.
4. 已知，则（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【正确答案】C
【分析】先求导，再令即可得解.
【详解】，所以.
故选：C.
5. 曲线在点处切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【分析】求导，再根据导数的几何意义即可得解.
【详解】求导函数，
当时，，
∴曲线在点处的切线方程为：，
即.
故选：A.
6. 已知数列为等差数列，其前项和为，，则（ ）
A. 110B. 55C. 50D. 45
【正确答案】B
【分析】根据给定条件结合等差数列的性质计算出，再利用前n项和公式结合等差数列的性质计算即得.
【详解】在等差数列中，，于是得，
所以.
故选：B
7. 若函数在区间(,)内存在最小值，则实数的取值范围是（ ）
A. [－5,1)B. (－5,1)
C. [－2,1)D. (－2,1)
【正确答案】C
【分析】先求出函数的极值点，要使函数在区(,)内存在最小值，只需极小值点在该区间内，且在端点处的函数值不能超过极小值．
【详解】由，令，可得或，
由得：或，由得：，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在处取得极小值，
令，解得或，
若函数在(,)内存在最小值，则，得．
故选：C
8. 已知函数在区间上单调递减，则a的值可能为（ ）
A. B. C. D. e
【正确答案】C
【分析】由题意可得在上恒成立，当时，上式恒成立，当时，转化为在上恒成立，构造函数，，利用可求得，从而可求出取值范围.
【详解】因为，所以，
因为在区间上单调递减，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
当时，因为在上恒成立，故上式成立，满足题意；
当时，则在上恒成立，
令，，
所以在上恒成立，所以在上单调递增，
又，故，即，
综上，所以ABD错误，C正确.
故选：C.
关键点点睛：此题考查利用导数解决函数单调性问题，解题的关键是将问题转化为在上恒成立，然后分情况讨论，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题.
二、多选题（每题6分，选全满分，没选全得部分分）
9. 已知是等差数列，是其前项和，则下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若和都为递增数列，则
【正确答案】BC
【分析】若的公差为，利用等差数列通项公式、前n项和公式，结合单调性依次判断各项正误.
【详解】若的公差为，则：
A：由题设，故，则，错；
B：，对；
C：由，即，而，即，对；
D：由题设，又是递增数列，则，
所以，即对，，而的符号无法确定，错.
故选：BC
10. 已知定义域为的函数的导函数为，且的图象如图所示，则（ ）

A. 在上单调递减B. 有极小值
C. 有2个极值点D. 在处取得最大值
【正确答案】AB
【分析】结合图象，利用导数与函数的关系逐一分析判断即可.
【详解】由的图象可知或时，，则单调递减，故A正确；
又或时，，则单调递增，
所以当时，有极小值，故B正确；
由的图象结合单调性可知，2，4时，有极值，所以有3个极值点，故C错误；
当时，，则单调递增，
所以，在处不能取得最大值，故D错误．
故选：AB．
11. 关于函数，下列判断正确的是（ ）
A. 的极大值点是
B. 函数在上有唯一零点
C. 存在实数，使得成立
D. 对任意两个正实数，且，若，则
【正确答案】BD
【分析】对于A，直接求导，由导数与单调性、极值的关系直接判断即可；对于B，求导得单调递减，结合零点存在定理即可求解；对于C，当x且趋于无穷大时，无限接近于0，也无限趋于0，从而也趋于0，由此即可判断；对于D，通过分析得知只需证明，进一步通过换元并构造函数即可得证.
【详解】因为，所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以是的极小值，所以A错误；
B选项中，函数，则，
由于，
即在上恒成立，所以函数在上单调递减，
又当时，，当时，，所以函数在上有唯一零点，
即函数有且只有1个零点，B正确；
C选项中，由，
可得当x且趋于无穷大时，无限接近于0，也无限趋于0，
故不存在实数，使得成立，即不存在实数，使得成立，C错误；
D选项中，由得
要证，只要证，即证，
由于，故令，则，
故在上单调递增，则，即成立，
故成立，所以D正确．
故选：BD．
关键点点睛：判断D选项的关键是适当转换问题为证明在上恒成立，由此即可顺利得解.
三、填空题（每题5分）
12. 已知构成各项为正的等比数列，且则 ________.
【正确答案】4
【分析】利用等比中项，得到，再结合条件，即可求出结果.
【详解】因为构成各项为正等比数列，所以，又，
所以，解得或（舍去），
故答案为.
13. 已知函数，则的极小值为______
【正确答案】
【分析】对求导，得到，再利用极值的定义及求极值的步骤，即可求解.
【详解】易知函数的定义域为，由题知，
令，得到，当时，，当时，，
所以在处取得极小值，极小值为，
故答案为.
14. 若方程有两个不等的实数根，则实数的取值范围是__________.
【正确答案】
【分析】问题转化为函数的图像与直线有 2 个交点，利用导数研究函数单调性，作出函数图像，数形结合求实数的取值范围.
【详解】方程化为 ，令则问题转化为图像与直线有 2 个交点，
因为，
当 时，单调递减，
当 时，，单调递增，
所以函数最小值为，且当正向无限趋近于时， 的取值无限趋近于正无穷大； 当无限趋近于正无穷大时， 的取值无限趋近于正无穷大；

故方程有两个不等的实数根时，.
故
四、解答题
15. 已知是等差数列的前n项和，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）为何值时，取得最大值并求其最大值．
【正确答案】（1）；（2）n=4时取得最大值.
【分析】（1）利用公式，进行求解；
（2）对进行配方，然后结合由，可以求出的最大值以及此时的值.
【详解】（1）由题意可知：，当时，，
当时，，
当时，显然成立，∴数列的通项公式；
（2），
由，则时，取得最大值28，
∴当为4时，取得最大值，最大值28．
本题考查了已知求，以及二次函数的最值问题，根据的取值范围求最大值是解题的关键.
16. 已知数列满足，.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）设求的前n项和.
【正确答案】（1）证明见解析
（2）
【分析】（1）根据递推关系化简可得，从而可得结论；
（2）由（1）可知，，则，利用错位相减法，结合等比数列的求和公式可求的前n项和.
【小问1详解】
因为，所以，即，
又因为，所以，，
所以，故数列是以首项为3，公比为3的等比数列.
【小问2详解】
由（1）可知，，即，
所以.
所以，①
，②
由①－②，得，
所以
故的前项和为.
17. 设函数．
（1）求在处的切线方程；
（2）求的极大值点与极小值点；
（3）求在区间上的最大值与最小值．
【正确答案】（1）；
（2）极小值点为，极大值点为；
（3），.
【分析】（1）求导后，利用导数几何意义可求得切线斜率，由此可得切线方程；
（2）根据导数的正负可确定单调性，结合单调性可确定所求极值点；
（3）由（2）可得在上的单调性，由单调性可求得最值.
【小问1详解】
由题意得：，则，
又，
在处的切线方程为，即；
【小问2详解】
令，解得：或，
则变化情况如下表：
的极小值点为，极大值点为；
【小问3详解】
由（2）知：在上单调递减，在上单调递增；
又，，，
，.
18. 已知.
（1）求函数的最小值；
（2）若存在，使成立，求实数a的取值范围；
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）利用导数即可求得的最小值；
（2）由分离常数，利用构造函数法，结合导数即可得解.
【小问1详解】
依题意，的定义域是，，..
所以当时，单调递减；当时，单调递增；
所以当时，取得最小值.
【小问2详解】
因存在，使成立，
即能成立，即能成立，
令，则，
所以当时，单调递减；当时，单调递增，
所以当时，取得最小值，所以.
结论点睛：有解问题：
（1）有解；有解．
（2）有解；有解．
（3）有解；有解．
（4），，．
19. 设函数．
（1）若在点处的切线斜率为，求a的值；
（2）当时，求的单调区间；
（3）若，求证：在时，．
【正确答案】（1）
（2）答案见解析 （3）证明见解析
【分析】（1）通过计算，可求解；（2）由（1）知：，讨论导数的正负即可得到单调性；（3）通过变形，只需证明即可，利用不等式，即可证明.
【小问1详解】
解：函数，则，
因为在点处的切线斜率为，
所以，解得.
【小问2详解】
由（1）知：，
当时，令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增.
【小问3详解】
，
令，则，
因为，所以，
则在上单调递增，又，所以恒成立，即；
令，，时，，时，，所以在上单调递增，在上单调递减，，恒成立，即，
所以，得证.极小值
极大值