四川省达州市万源市万源中学2024−2025学年高二下学期4月期中 数学试题（含解析）

这是一份四川省达州市万源市万源中学2024−2025学年高二下学期4月期中 数学试题（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．猜想数列的一个通项公式为( )
A．B．
C．D．
2．已知复数满足，其中为虚数单位，则的实部是（ ）
A．1B．3C．-1D．-3
3．在等比数列中，若，则（ ）
A．B．C．D．
4．若是函数的导数，且，则（ ）
A．B．C．D．2
5．若斜率为1的直线与椭圆交于两点，则弦的中点坐标可能是（ ）
A．B．C．D．
6．设 Sn 是等比数列 an 的前 n 项和，若 S3=4 ， a4+a5+a6=6 ，则 S9S6= （ ）
7．函数 的大致图象是
A．B．
C．D．
8．已知定义域为R的奇函数的导函数为，当时，.若，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知圆锥曲线：，若三个数1，，7成等差数列，则的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
10．设函数，则（ ）
A．当时，在上单调递增
B．当时，在上单调递增
C．当时，直线不是的切线
D．对，点是的对称中心
11．已知动点在直线上，动点在圆上，过点作圆的两条切线，切点分别为A、，则下列描述正确的有（ ）
A．直线与圆相交B．的最小值为
C．存在点，使得D．直线过定点
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知函数在处有极大值，则 .
13．若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ．
14．若，则 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．设函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若在上的最大值为，求的值．
16．已知等差数列的前项和为，公差，且，,,成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的前项和．
17．已知抛物线C：的焦点是双曲线的一个焦点，且双曲线过点.
(1)求双曲线的方程；
(2)过点的直线与双曲线仅有1个交点，求直线的斜率.
18．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面底面，是边长为6的正三角形，，分别是线段和上的点，.
(1)试确定点的位置，使得平面，并证明；
(2)若直线与平面所成角的正切值为，求平面与平面夹角的余弦值.
19．设数列的前项和为，且，数列满足，数列满足，其中．
(1)证明：为等差数列，求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和；
(3)表示不超过实数的最大整数，求．
参考答案
1．【答案】B
【详解】A项，令，则，故A项错误；
B项，由于数列的前几项可以变形为，被开方数构成了以2为首项，公差为3的等差数列，故可知其通项公式是，故B项正确；
C项，令，则，故C项错误；
D项，令，则，故D项错误，
故选B.
2．【答案】C
【详解】因为，则，所以的实部是.
故选C.
3．【答案】B
【详解】在等比数列中，若，则，
由等比数列的性质可得，故.
故选B.
4．【答案】C
【详解】.
故选C.
5．【答案】A
【详解】设，则，
两式相减得：（*），
设弦的中点坐标为，则，
因直线的斜率为1，即，
分别代入上式（*），整理得：.
将选项逐一代入检验知，A，D满足，但是，点在椭圆外，不合要求.
故选A.
6．【答案】B
【分析】设等比数列 an 的公比为 q ，求得 q3 的值，再利用等比数列的求和公式可求得结果.
【详解】设等比数列 an 的公比为 q ，若 q=1 ，则 a4+a5+a6=3a1=S3 ，矛盾.
所以， q≠1 ，故 a4+a5+a6=a41-q31-q=a1q31-q31-q=q3S3 ，则 q3=32 ，
所以， S6=a11-q61-q=1+q3⋅a11-q31-q=52S3 ，
S9=a11-q91-q=1+q3+q6a11-q31-q=194S3 ，
因此， S9S6=19S34⋅25S3=1910 .
7．【答案】A
【详解】函数y=的导数为，
令y′=0，得x=，
时，y′＜0，时，y′＞0，时，y′＜0．
∴函数在（﹣），（）递减，在（）递增．
且x=0时，y=0，排除B，x=-1时，y=0，x=-2时，y>0,排除C，
故选A．
8．【答案】C
【解析】设，由条件可得出是偶函数且在上单调递增，然后即可比较出的大小
【详解】设，因为是奇函数，所以是偶函数
当时，所以在上单调递增
因为，
所以，即
故选C.
9．【答案】BC
【详解】由三个数1，，7成等差数列，得，解得．若，则圆锥曲线：即为椭圆：，可得离心率为；若，则圆锥曲线：即为双曲线：，可得离心率为.
故选BC．
10．【答案】BD
【详解】,
对于A：，时，，单调递减，故A错误；
对于B：恒成立，所以在上单调递增，故B正确；
对于C：，解得，所以切点坐标为，切线方程为，所以直线是的切线，故C错误；
对于D：， 由右移一个单位，上移个单位，又为奇函数，关于原点对称，所以关于对称，
又，所以对，点是的对称中心，故D正确，
故选BD．
11．【答案】BCD
【详解】圆的圆心，半径，连接，
对于A，点到直线的距离，直线l与圆C相离，A错误；
对于B，点在圆上，则，B正确；
对于C，由切线长定理知，，而，
又是锐角，正弦函数在上单调递增，则的最大值为，
当且仅当时取等号，因此的最大值为，C正确；
对于D，设，则以PC为直径的圆的方程为
即，
与已知圆的方程相减可得直线的方程为，
即，由可得
即直线AB过定点，故D正确；
故选BCD.
12．【答案】
【详解】由已知，
可得，
令，解得或，
由可得，，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
不是极大值点，舍去；
由可得，，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
所以是函数的极大值点．
综上．
13．【答案】
【详解】∵，∴，
设切点为,则,切线斜率,
切线方程为：,
∵切线过原点，∴,
整理得：,
∵切线有两条，∴,解得或,
∴的取值范围是,
14．【答案】
【详解】对于函数，对任意的，，即函数的定义域为，
，
所以，，
因此，.
15．【答案】（1）的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）.
【详解】函数的定义域为，
，
（1）当时，，所以的单调递增区间为，单调递减区间为，
（2）当时，
所以在上单调递增，故在上的最大值为，因此．
16．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知条件利用等差数列的前n项和公式和通项公式，以及等比数列的定义，求出首项和公差，由此可求出；
（2）根据等比数列通项公式可得，由此利用错位相减法可求出数列前n项和．
【详解】（1）由题意可得，解得，
所以，即．
（2）由题意可知：，则，
则，
可得，
两式相减可得
，
所以．
17．【答案】(1)；
(2)或.
【详解】（1）抛物线C：的焦点坐标为，
设双曲线：，
则的焦点坐标为，，
则，则，
而，故，
故双曲线的方程为；
（2）显然直线的斜率存在，否则直线与双曲线无交点，
设直线的方程为，
联立则，
故，
若，解得，此时直线与双曲线仅有1个交点，
若，则，解得，
综上所述，直线的斜率为或.
18．【答案】(1)F为三等分点，且，证明见解析；
(2).
【详解】（1）取为三等分点，且，过作，
则，所以为平行四边形，所以，
又因为，，
所以平面.
（2）由题意平面底面，平面底面，，
且平面，所以，
所以直线与平面所成角的平面角为，
在中，由，得.
设中点为，设中点为，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，
则， ，
设平面的一个法向量为m=x,y,z，
由，取，可得，
易求平面法向量，设平面与平面夹角为，
则，
故平面与平面夹角的余弦值为 .
19．【答案】(1)证明见解析，
(2)
(3)
【详解】（1）因为数列的前项和为，且，
当时，，则，
当时，由可得，
上述两个等式作差可得，所以，
等式两边同时除以可得，
所以数列是以为首项，公差为的等差数列，
故，所以.
（2）因为
，
所以，.
故数列的前项和.
（3）因为，
因为，
所以，
，
，
所以，故.
A． 32
B． 1910
C． 53
D． 196