四川省巴中市巴州区第四中学2024−2025学年高二下学期3月月考数学试题（含解析）

这是一份四川省巴中市巴州区第四中学2024−2025学年高二下学期3月月考数学试题（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．若公差为的等差数列满足，，则n等于（ ）
A．7B．8C．9D．10
2．曲线在处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
3．在数列中，则“”是“数列为等差数列”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分又不必要
4．若函数在处可导，且，则（ ）
A．B．C．1D．2
5．下列求导错误的是（ ）
A．B．
C．D．
6．已知数列为等比数列，其中，，则（ ）
A．B．C．D．
7．下列结论正确的是（ ）
A．若数列的前项和，则数列为等差数列
B．若数列为等比数列，且前项和，则
C．若数列为单调递增的等比数列，则公比
D．若是不全相等的非零实数，且成等差数列，则能构成等差数列
8．已知，椭圆与双曲线的离心率分别为，，若，则的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知曲线，下列说法正确的有（ ）
A．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则
B．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则
C．若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则
D．若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则
10．下列命题正确的是（ ）
A．
B．已知函数在上可导，若，则
C．已知函数，若，则
D．设函数的导函数为，且，则
11．已知数列是等差数列，为数列的前n项和，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，数列的前10项和或前11项和最大，则等差数列的公差
B．若，，则使成立的最大的n为4039
C．若，则
D．若，则
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知函数，则 .
13．在直三棱柱中，，，D是棱的中点，则点到平面的距离为 .
14．斐波那契数列，又称“兔子数列”，由数学家斐波那契研究兔子繁殖问题时引入．已知斐波那契数列满足，，，若记，则 用，表示
四、解答题（本大题共5小题）
15．如图，在三棱锥中，，，．
(1)证明：平面；
(2)若，E是棱上一点且，求平面与平面的夹角．
16．已知等差数列满足：，且成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)若等差数列的公差不为零，且数列满足：，记数列的前n项和为，求证：；
17．已知函数的图象在原点处的切线的斜率为2.
(1)求的值；
(2)若，求曲线的过点的切线方程.
18．已知椭圆的离心率，其焦点三角形面积的最大值是.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点作直线.
（i）若是椭圆在第一象限的切线，求的方程.
（ii）若直线与椭圆交于两点，是坐标原点，求面积的最大值.
19．人教版选择性必修二第8页中提到：欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数且与互素的正整数的个数，例如：.
(1)求的值；
(2)已知数列满足，求的前项和；
(3)若数列的前项和为，对任意，均有恒成立，求实数的取值范围.
注：两个整数互素是指这两个整数的最大公因数为1.
参考答案
1．【答案】B
【详解】由题意可得，则，解得.
故选B.
2．【答案】D
【详解】，
所以，
所以曲线在点处的切线斜率为，
由点斜式可得，化简可得.
即曲线在处的切线方程为.
故选D.
3．【答案】D
【详解】当数列为等差数列时，不一定有成立；
“”成立也不一定推出“数列为等差数列”；
“”是“数列为等差数列”的既不充分也不必要条件；
故选D.
4．【答案】C
【详解】.
故选C
5．【答案】B
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D正确．
故选B．
6．【答案】B
【详解】根据，a，可得：，；
解得，故.
故选B.
7．【答案】B
【详解】对于A选项，已知数列的前项和.
当时，.
当时，
.
当时，，所以.
由于从第二项起才满足等差数列的通项公式，所以数列不是等差数列，A选项错误.
对于B选项，已知数列为等比数列，且前项和.
等比数列前项和公式为（，），对比可得，解得，B选项正确.
对于C选项，若等比数列的首项，公比时，数列也是单调递增的.例如，公比，此时数列单调递增，但，所以C选项错误.
对于D选项，因为，，成等差数列，则.
假设，，能构成等差数列，则.
把代入上式得，即.
又因为，则，即，所以.
这与，，不全相等矛盾，所以，，不能构成等差数列，D选项错误.
故选B.
8．【答案】C
【详解】由，得，则，整理得，即，
双曲线的渐近线方程为，即.
故选C
9．【答案】ACD
【详解】对于A，曲线表示焦点在轴上的椭圆，则，解得，A正确；
对于B，曲线表示焦点在轴上的椭圆，则，解得，B错误；
对于C，曲线表示焦点在轴上的双曲线，则，且，解得，C正确；
对于D，曲线表示焦点在轴上的双曲线，则，且，解得，D正确.
故选ACD.
10．【答案】BC
【详解】对于A，，A错误；
对于B，由导数定义知，B正确；
对于C，，则，
由，得，解得或(舍去)，C正确；
对于D，由，得，
故，D错误，
故选BC.
11．【答案】BC
【详解】若，数列的前10项或前11项和最大，则，
即，故A错误；
由，得，
即，整理得，
解得或．
当时，，不符题意，所以，
由，得，由，得，
所以n的最大值为4039，故B正确；
解得．
又，故C正确；
因为成等差数列，即10，30，成等差数列，
所以，解得，故D错误．
故选BC.
12．【答案】
【详解】函数，求导得，
所以.
13．【答案】/
【详解】因为，，两两垂直，故可以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，.
设平面的法向量为，
则故可取，
又，故点到平面的距离.
14．【答案】
【详解】因为，所以，
所以，
所以，
同理，
所以，
所以，
，
所以，
.
15．【答案】(1)证明见解析
(2)．
【分析】（1）连接，通过证明得出结合等腰三角形的性质得出线线垂直来证明线面垂直即可；
（2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算面面夹角即可.
【详解】（1）连接，因为，，所以，
因为，，所以，
因为，所以，则，所以，
因为，平面，
所以平面．
（2）易知，O为的中点，所以，
由（1）可知，两两垂直，以O为坐标原点，所在直线
分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，因为，所以为正三角形，
所以，，，
因为，所以，所以，，
设平面的法向量为，则，
令，则，
又平面的一个法向量为，
所以，即平面PAE与平面PAC的夹角为．
16．【答案】(1)或;
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据等比数列结合等差数列的通项公式计算求解即可；
（2）应用裂项相消法求和得出，再结合单调性证明即可.
【详解】（1）设数列的公差为d，依题意：成等比数列，
所以，解得：或
当时，，当时，
所以数列的通项公式为或
（2）因为等差数列的公差不为零，由（1）知
则
所以，故
而随n的增大而增大，则，故成立.
【方法总结】裂项相消法
把数列和式中的各项分别裂开后，可以消去一部分，从而计算和的方法，适用于通项为1an·an+1的前n项和，其中{an}为等差数列，1an·an+1＝1d1an−1an+1.
常见的拆项方法：
①12n−12n+1＝1212n−1−12n+1；
②1nn+1n+2＝12[1nn+1－1n+1n+2]；
③1nn+k＝1k1n−1n+k；
④kanan−1an+1−1＝ka−1(1an−1－1an+1−1)(a>0，a≠1)．
17．【答案】(1)或1
(2)或
【详解】（1）由已知得，
根据题意得，解得或1；
（2）因为，所以由（1）可得，
所以，
设切点坐标为，则切线的斜率，
所以切线方程为，
因为切线过点，所以，
得，解得或，
所以切线方程为或.
18．【答案】(1)
(2)（i）；（ii）
【详解】（1）因为焦点三角形面积的最大值是，
根据题意可得，解得，则椭圆方程为；
（2）（i）设直线为：，
联立，得，
则，即或，
因为是椭圆在第一象限的切线，所以，
所以方程为
（ii）当直线垂直于轴时，三点共线，不能构成三角形，
故直线的斜率存在，则设直线为：，
设，
联立，得，
则，即或，
，则，
点到直线的距离为，
则，
令，则，则，
当且仅当，即时等号成立，面积的最大值为.
19．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为不超过正整数且与互素的正整数只有，所以
因为不超过正整数且与互素的正整数只有，所以
正偶数与不互素，所有正奇数与互素，比小的正奇数有个，所以；
（2）所有不超过正整数的正整数有个，其中与不互素的正整数有，，，，，共个，
所以所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数为个，
即，
两式相减得
（3）由（2）可知
，
得 恒成立，
令 ，
则 ，
可得 ； 当 时，，当时，，
所以的最大值为，
故