辽宁省沈阳市东北育才学校科学高中部2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试卷（原卷版+解析版）

这是一份辽宁省沈阳市东北育才学校科学高中部2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试卷（原卷版+解析版），共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
命题人：来洪臣 总分：150分 时间：120分钟
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知 {第二象限角}，{钝角}，{大于90°的角}，那么关系是（ ）
A. B.
C. D.
2. 角的终边属于第一象限，那么的终边不可能属于的象限是（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3. 已知向量，且，则（ ）
A. 1B. C. D. 0
4. 鲁洛克斯三角形又称“勒洛三角形”（如图1），是一种特殊三角形，指分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形.鲁洛克斯三角形的特点是：在任何方向上都有相同的宽度，机械加工业上利用这个性质，把钻头的横截面做成鲁洛克斯三角形的形状，就能在零件上钻出正方形的孔.今有一个半径为的圆（如图2），，，分别为圆周上的点，其中，，现将扇形，分别剪下来，又在扇形中裁剪下两个弓形分别补到扇形的两条直边上，将扇形补成鲁洛克斯三角形，设此鲁洛克斯三角形的面积为，扇形剩余部分的面积为，若不计损耗，则（ ）

A. B. C. D.
5. 已知为锐角，，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知，则等于（ ）
A. 10B. C. 3D.
7. 若函数在上恰有两个零点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知平面向量，，满足，，则的最大值为（ ）
A. B. 2C. D. 4
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 已知，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知函数的图象关于点中心对称，则下列结论正确的是（ ）
A. 的最小正周期
B.
C. 的图象关于直线对称
D. 图象向左平移个单位长度后关于轴对称
11. 定义两个非零平面向量，的一种新运算：，其中表示向量，的夹角，则对于非零平面向量，，则下列结论一定成立的是（ ）
A.
B.
C. ，则
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知角的终边经过点，则 ______．
13. 化简____________．
14. 窗花是贴在窗子或窗户上剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图l是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，正八边形ABCDEFGH中，若，则的值为______；若正八边形ABCDEFGH的边长为2，P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动点，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. （1）若，求的值；
（2）若，求值.
16. 已知向量.
（1）若向量与垂直，求实数的值；
（2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
17. 已知函数，函数图象关于对称，且函数图象上相邻最高点与最低点之间的距离为4．
（1）求，的值；
（2）求函数单调增区间；
（3）若方程在有两个根，求的取值范围．
18. 已知函数（且）是偶函数.
（1）求实数的值；
（2）若，且对于，不等式恒成立，求整数的取值集合.
19. 如图1“Omniverse雕塑”将数学和物理动力学完美融合，遵循周而复始，成就无限，局部可以抽象成如图2，点P以为起始点，在以O为圆心，半径为2（单位：10米），按顺时针旋转且转速为rad/s（相对于O点转轴的速度）的圆周上，点O到地面的距离为a，且（单位：10米），点Q在以P为圆心，半径为1（单位：10米）的圆周上，且在旋转过程中，点Q恒在点P的正上方，设转动时间为t秒，建立如图3平面直角坐标系．

（1）求经过t秒后，点P到地面的距离PH；
（2）若时，圆周上存在4个不同点P，使得成立，求实数a的取值范围．
东北育才学校科学高中部2023-2024学年度下学期第一次月考
高一年级数学学科试卷
命题人：来洪臣 总分：150分 时间：120分钟
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知 {第二象限角}，{钝角}，{大于90°的角}，那么关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用任意角象限角的概念逐一分析判断得解.
【详解】对A，如在集合里，但是并不是钝角，所以不在集合里，所以选项A错误；
对B，钝角大于90°，小于180°，故，故选项B正确；
对C，错误，如在第二象限，但是并不大于，所以选项C错误；
对D，错误. 如在第二象限，但是并不在集合中，故D错误.
故选：B
2. 角的终边属于第一象限，那么的终边不可能属于的象限是（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】由题意知，，，即可得范围，讨论、、对应的终边位置即可.
【详解】∵角的终边在第一象限，
∴，，则，，
当时，此时的终边落在第一象限，
当时，此时的终边落在第二象限，
当时，此时的终边落在第三象限，
综上，角的终边不可能落在第四象限，
故选：D.
3. 已知向量，且，则（ ）
A. 1B. C. D. 0
【答案】D
【解析】
【分析】利用平面向量数量积的坐标表示计算即可.
【详解】由题意知，所以.
故选：D
4. 鲁洛克斯三角形又称“勒洛三角形”（如图1），是一种特殊三角形，指分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形.鲁洛克斯三角形的特点是：在任何方向上都有相同的宽度，机械加工业上利用这个性质，把钻头的横截面做成鲁洛克斯三角形的形状，就能在零件上钻出正方形的孔.今有一个半径为的圆（如图2），，，分别为圆周上的点，其中，，现将扇形，分别剪下来，又在扇形中裁剪下两个弓形分别补到扇形的两条直边上，将扇形补成鲁洛克斯三角形，设此鲁洛克斯三角形的面积为，扇形剩余部分的面积为，若不计损耗，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，先由扇形求出弓形面积，再分别计算和，化简即得.
【详解】由题意，先求出弓形的面积为,
则,
,
故.
故选：B.
5. 已知为锐角，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据题意求出及，然后再由从而可求解.
【详解】因为，所以，
所以，又因为，
所以，
所以
，则，
因为，所以，所以，
又因为，所以，
所以
，所以，故C正确.
故选：C.
6. 已知，则等于（ ）
A. 10B. C. 3D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，利用向量的数量积的坐标运算公式，准确计算即可求解.
【详解】由向量，可得，
所以.
故选：B.
7. 若函数在上恰有两个零点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用三角恒等变换先化简函数式，结合三角函数的图象与性质计算即可.
【详解】
，
令，得,
由，,得．
因为恰有两解，
所以．
故选：C
8. 已知平面向量，，满足，，则的最大值为（ ）
A. B. 2C. D. 4
【答案】C
【解析】
分析】
不妨设，，，，则求的最大值，即求的最大值，然后将问题转化为关于的方程有解的问题，最后求出的最值即可.
【详解】根据题意，不妨设，，，，
则，所以求的最大值，即求的最大值，
由可得，
即，
因为关于的方程有解，所以，
令，则，
所以，
令，则，
当时，，
所以，所以，
所以的最大值为，
故选：C.
【点睛】思路点睛：该题考查了平面向量的数量积的问题，解题思路如下：
（1）先根据题意，设出向量的坐标；
（2）根据向量数量积的运算律，将其展开；
（3）利用向量数量积的坐标公式求得等量关系式；
（4）利用方程有解，判别式大于等于零，得到不等关系式，利用换元法求得其最值，在解题的过程中，关键点是注意转化思想的应用，属于难题.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 已知，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据题意，利用三角函数的基本关系式，逐项计算，即可求解.
【详解】因为，平方可得，
解得，
因，所以，所以，所以A正确；
又由，
所以，所以D正确；
联立方程组 ，解得，所以B正确；
由三角函数的基本关系式，可得，所以C错误.
故选：ABD
10. 已知函数的图象关于点中心对称，则下列结论正确的是（ ）
A. 的最小正周期
B.
C. 的图象关于直线对称
D. 的图象向左平移个单位长度后关于轴对称
【答案】BC
【解析】
【分析】利用正弦型函数的对称性结合的取值范围求出的表达式，利用正弦型函数的周期公式可判断A选项；代值计算可判断B选项；利用正弦型函数的对称性可判断C选项；利用三角函数图象变换结合正弦型函数的奇偶性可判断D选项.
【详解】因为函数图象关于点中心对称，
则，可得，
因为，可得，所以，，
对于A选项，的最小正周期为，A错；
对于B选项，，B对；
对于C选项，，
故函数的图象关于直线对称，C对；
对于D选项，将的图象向左平移个单位长度后，
可得到函数，
故的图象向左平移个单位长度后得到的函数为奇函数，D错.
故选：BC.
11. 定义两个非零平面向量，的一种新运算：，其中表示向量，的夹角，则对于非零平面向量，，则下列结论一定成立的是（ ）
A.
B.
C. ，则
D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据的运算法则，逐项化简求解，即可得出答案.
【详解】对于A项，，
，故A项错误；
对于B项，，故B项正确；
对于C项，由已知可得，，
所以.
因为，所以或，所以，故C项正确；
对于D项，因为与相同或互补，所以.
，，故D项错误.
故选：BC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知角的终边经过点，则 ______．
【答案】
【解析】
【分析】利用任意角的三角函数的定义、诱导公式，计算即可．
【详解】的终边经过点，
．
则
.
故答案为：．
13. 化简____________．
【答案】2
【解析】
【分析】运用降幂公式将化成，整理后再用诱导公式将化成，化简即得.
【详解】．
故答案为：2.
14. 窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图l是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，正八边形ABCDEFGH中，若，则的值为______；若正八边形ABCDEFGH的边长为2，P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动点，则的取值范围是______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，由，列出方程组，求得，从而得到；设，则，由线性规划可求得的取值范围.
【详解】
，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
正八边形内角和为，则，
不妨设边长为2，所以,
,
因为，则，
所以，解得，
所以；
设，则，则，
令，即，由线性规划知平行移动直线，当此直线经过时有最小值, 当此直线经过时有最大值,
所以， 取值范围 .
故答案为：，.
【点睛】方法点睛：在解决向量数量积、向量的模、向量的夹角等有关问题，以及在求有关最大、最小值问题时，常常会碰到某些难以突破的几何关系.在题目所给出的几何条件、几何关系或所隐藏的几何关系相对较难寻找的情况下，运用数量积的定义、向量的几何意义难以完成解题思路时，可建立直角坐标系、运用坐标法解决问题的意识、运用向量的坐标运算、寻找出变量与变量之间的关系、运用函数与方程求最值的方法、基本不等式等解决问题的方法是一种非常好的思想方法.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. （1）若，求的值；
（2）若，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据诱导公式化简可得，再根据诱导公式化简所求式代入即可；
（2）根据诱导公式可得，再结合诱导公式代入所求式求解即可.
【详解】（1）因为，所以，
则
.
（2）因为，所以，
则
.
16. 已知向量.
（1）若向量与垂直，求实数的值；
（2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）且
【解析】
【分析】（1）由向量垂直可得其数量积为0，即可得解；
（2）利用向量夹角锐角其数量积大于零，且两向量不共线同向，即可得解.
【小问1详解】
因为，
所以，，
因为向量与垂直，所以，
即，解得.
【小问2详解】
因为与的夹角是锐角，则且与不共线同向，
由，得，解得，
由与共线，得,解得，此时与共线同向，故，
所以且.
17. 已知函数，函数图象关于对称，且函数图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为4．
（1）求，的值；
（2）求函数的单调增区间；
（3）若方程在有两个根，求的取值范围．
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据相邻的最高点与最低点的距离为4求得，根据图象关于对称求得.
（2）由解得的单调增区间；
（3）作出时的图象，观察图象得的取值范围．
【小问1详解】
∵图象上相邻的最高点与最低点的距离为4．且，
∴，∴即，∴，
又图象关于对称，
∴，，∴，，
又∵，∴．
【小问2详解】
，
由解得，
∴的单调增区间为．
【小问3详解】
当时，
作出时的图象如下图：
若方程在有两个根，则．
18. 已知函数（且）是偶函数.
（1）求实数的值；
（2）若，且对于，不等式恒成立，求整数的取值集合.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用偶函数的定义计算即可；
（2）先判定函数的奇偶性和单调性，去函数符号结合三角函数与二次函数的性质解不等式即可
【小问1详解】
函数且是偶函数，
，
即
；
【小问2详解】
由（1）知，，定义域，.
易知函数在上单调递增，且为奇函数，
对于恒成立，
即，
对于恒成立.
，
当且仅当时取等号，
，
即，解得，
又为整数，或或，
的取值集合为.
19. 如图1“Omniverse雕塑”将数学和物理动力学完美融合，遵循周而复始，成就无限，局部可以抽象成如图2，点P以为起始点，在以O为圆心，半径为2（单位：10米），按顺时针旋转且转速为rad/s（相对于O点转轴的速度）的圆周上，点O到地面的距离为a，且（单位：10米），点Q在以P为圆心，半径为1（单位：10米）的圆周上，且在旋转过程中，点Q恒在点P的正上方，设转动时间为t秒，建立如图3平面直角坐标系．

（1）求经过t秒后，点P到地面的距离PH；
（2）若时，圆周上存在4个不同点P，使得成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）（单位：10米）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用三角函数的定义与性质计算即可；（2）利用两点的距离公式计算，由可得，化简等式根据三角函数的有界性换元转化为二次函数根的分布计算即可.
【小问1详解】
由题意及三角函数的定义可知，
所以（单位：10米）；
【小问2详解】
根据题意可知，
即，
则，
因为，所以，
即，
令，因为，所以，则，
上式可化为，
设，
因为时，圆周上存在4个不同点P，使得成立，
则在上有两个相异实数根，
即，
解之得.
【点睛】思路点睛：第二问根据三角函数的定义及两点距离公式计算得，展开后得，利用换元法令得，由于一个周期内有四个点满足题意得出函数在上有两个相异实数根，根据一元二次方程根的分布计算即可.