广东省广州市白云区广州空港实验中学2024−2025学年高二下学期3月月考数学试题（含解析）

这是一份广东省广州市白云区广州空港实验中学2024−2025学年高二下学期3月月考数学试题（含解析），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知数列的前几项为：，则该数列的一个通项公式可能为（ ）
A．B．
C．D．
2．已知函数，则的导函数为（ ）
A．B．
C．D．
3．若，则的值为（ ）
A．B．C．D．1
4．已知等比数列满足，且，则（ ）
A．8B．16C．32D．64
5．已知数列为等差数列，其前n项和为，，若，则（ ）
A．0B．2C．4D．8
6．在样本的频率分布直方图中，共有个小长方形，这个小长方形的面积由小到大依次构成等比数列，已知，且样本容量为，则对应小长方形面积最大的一组的频数为（ ）
A．B．C．D．
7．函数的图象如图所示，为函数的导函数，下列排序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．若数列满足，（，且），记，则（ ）
A．-1B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知函数，则能令的区间有（ ）
A．B．C．D．
10．已知数列是等比数列，则下列结论中正确的是（ ）
A．数列是等比数列
B．若，，则
C．若数列的前n项和，则
D．若，则数列是递增数列
11．已知公差不为的等差数列的前项和为，，，则的取值可能是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知等比数列的前项和为，且，则 .
13．在数列中，，，则 .
14．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图，第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列，正方形数构成数列，则 ； .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知等差数列中，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)当为何值时，数列的前项和取得最大值？
16．已知等差数列中的前n项和为，且成等比数列，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列为递增数列，记，求数列的前40项的和.
17．已知曲线，设点坐标为，
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求曲线过点的切线方程．
(3)若曲线在点处的切线与曲线相切，求点的坐标
18．已知等比数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式.
(2)若，令，求数列的前项和
19．已知数列满足，，，.
(1)求证：是等差数列；
(2)记，求数列的前n项和.
参考答案
1．【答案】B
【详解】根据题意，数列的前几项为：…，
即，，，，
故数列的一个通项公式可以为.
故选B.
2．【答案】B
【详解】由可得，
即.
故选B.
3．【答案】B
【详解】函数，求导得，而，
因此，解得，
所以的值为.
故选B
4．【答案】A
【详解】等比数列满足，且，
则，
解得，
，
故选．
5．【答案】C
【详解】因为数列为等差数列，故，
故，则．
故选C．
6．【答案】D
【解析】设等差数列的公比为，利用可得，利用可得
，进而可得长方形面积最大的一组的频数的值.
【详解】设等差数列的公比为，则，所以，
所以这个小长方形的面积由小到大依次为，，，，
所以，解得：，
所以对应小长方形面积最大的一组的频数为，
故选D.
7．【答案】C
【详解】因为、分别是函数在、处的切线斜率，
由图可知，
又，，
所以，
故选C.
8．【答案】C
【详解】由得，
所以，则，
所以数列是以4为周期的数列，
因为，所以，，，则，
所以，
故选C.
9．【答案】AC
【详解】函数的定义域为，
求导得，由，解得或，
所以能令的区间有.
故选AC
10．【答案】AD
【详解】由数列是等比数列，设公比为，
则是常数，故A正确；
由，，则，即，
所以，故B错误；
若数列的前n项和，
则，，
，
成等比数列，，
即，解得，故C错误；
若，则，数列是递增数列；
若，则，数列是递增数列，故D正确.
故选AD.
11．【答案】BC
【详解】设等差数列的公差为，则，其前项和为，，，
则当时，，当时，，只需，可得，
所以，，则，
所以，，
故选BC.
12．【答案】21
【详解】因为为等比数列，其前项和为，
所以为等比数列，故为等比数列，
故，故.
13．【答案】.
【详解】试题分析：由于，
，
因此，，，，
上述四个等式累加得，
因此.
考点：累加法求数列通项
14．【答案】 55
【详解】根据三角形数可知，，则，，…，，
累加得，
所以，经检验也满足上式，
故，则；
根据正方形数可知，
当时，，
则
.
15．【答案】(1)；
(2)
【详解】（1）因为数列为等差数列，则，所以通项公式为
（2）由（1）知，数列的前项和，由二次函数的性质，当时，取最大值，.
16．【答案】(1)或
(2)
【详解】（1）设公差为，则，即
解得或 ，所以或；
（2）因为数列为递增数列，，，，
所以
；
所以.
17．【答案】(1)
(2)或
(3)或.
【详解】（1）由，可得，
所以，
则曲线在点处的切线方程为，即；
（2）设切点为，则，
所以切线方程为，即，
又切线过点，所以，即，
即，即，
即，即，解得或，
则切线方程为或，
所以过点的切线方程为或.
（3）设，则，，
所以曲线在点处的切线为，
又曲线在点处的切线与曲线相切，
由，可得，
则，解得或，
则或，
所以或.
18．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由可得，
两式相减可得，即，
因为数列是等比数列，所以，
因为，所以解得，所以；
（2）因为，
所以 ①，
①，得 ②，
①②，得
，
所以.
19．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：由题意得，当时，，
即，
化简整理，得，
解得或，
，
，
构造数列：令，则，
则，
，
两式相减，可得，
化简整理，得，
，
，
，
数列是以3为首项，2为公差的等差数列，
故数列是以3为首项，2为公差的等差数列，
（2）由（1）可得：，
则，
，
，
……
，
各式相加，可得：，
，
数列的前n项和为：
.