2022-2023学年广东省广州空港实验中学高二上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年广东省广州空港实验中学高二上学期期末数学试题

一、单选题

1．经过点，倾斜角为的直线方程是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据直线倾斜角和斜率关系可求得斜率，再利用直线的点斜式方程即可求得结果.

【详解】由倾斜角为可得，直线斜率为

由直线的点斜式方程得直线方程为；

即.

故选：C.

2．等比数列中，，，则等于（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】C

【分析】利用等比中项直接计算即可.

【详解】因为数列是等比数列，

所以即，解得，

故选：C

3．三棱柱中，为棱的中点，若，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用空间向量的线性运算法则与空间向量基本定理，求解即可．

【详解】．

故选：D．

4．若直线与直线垂直，则（    ）

A． B．6 C． D．

【答案】B

【分析】由两条直线垂直的条件即可得解.

【详解】因为直线与直线垂直，

所以，得，

所以.

故选：B.

5．已知F为抛物线的焦点，P为抛物线上任意一点，O为坐标原点，若，则（    ）

A． B．3 C． D．

【答案】C

【分析】根据抛物线定义结合，求得点P的坐标，即可求得答案.

【详解】由题意F为抛物线的焦点，则,且准线方程为，

设,由可得,代入得，

即,故,

故选：C

6．已知，，，则在上的投影向量为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】直接根据空间向量的投影计算公式求出在上的投影，进行计算在上的投影向量.

【详解】因为，，所以.

因为，所以

故在上的投影向量为

故选：B

7．已知直线经过点，且是的方向向量，则点到的距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由空间向量夹角的坐标表示求，再根据点到直线距离为即可求结果.

【详解】由题设，则，

所以，而，

故到l的距离为.

故选：C

8．设双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，是双曲线上一点，且．若的面积为，则的周长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由三角形面积公式可求，结合余弦定理得

，由离心率可求出，同理结合代入余弦定理可求，进而得解.

【详解】由题可知，，求得，

对由余弦定理可得

，即，

即，因为，解得，

又，

即，解得，，

所以的周长为.

故选：A

二、多选题

9．数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（    ）

A．是递增数列 B．

C．当时， D．当或4时，取得最大值

【答案】CD

【分析】根据表达式及时，的关系，算出数列通项公式，即可判断A、B、C选项的正误. 的最值可视为定义域为正整数的二次函数来求得.

【详解】当时，，又，所以，则是递减数列，故A错误；

，故B错误；

当时，，故C正确；

因为的对称轴为，开口向下，而是正整数，且或距离对称轴一样远，所以当或时，取得最大值，故D正确.

故选：CD.

10．已知直线：和圆：，则（    ）

A．直线恒过定点 B．存在使得直线与直线：垂直

C．直线与圆相离 D．若，直线被圆截得的弦长为

【答案】BD

【分析】A选项，化为点斜式可以看出直线恒过的点，

B选项两直线斜率存在且垂直，斜率乘积为，从而存在满足题意，

C选项直线过的定点在圆的内部，故可以判断C选项；

当时，先求圆心到直线的距离，再根据垂径定理求弦长

【详解】直线，即，则直线恒过定点，故A错误；

当 时，直线与直线垂直，故B正确；

∵定点在圆O：x2+y2=9内部，∴直线l与圆O相交，故C不正确：

当时，直线l化为，即x+y+2=0，

圆心O到直线的距离，

直线l被圆O截得的弦长为，故D正确，

故选：BD.

11．设，，是空间一个基底，下列选项中正确的是（    ）

A．若，，则；

B．则，，两两共面，但，，不可能共面；

C．对空间任一向量，总存在有序实数组，使；

D．则，，一定能构成空间的一个基底

【答案】BC

【分析】所成角不一定为，A错误，，，共面不能构成空间的一个基底，B正确，根据空间向量基本定理得到C正确，，，向量共面，D错误

【详解】，，则所成角不一定为，A错误；

若，，共面，则不能构成空间的一个基底，B正确；

根据空间向量基本定理得到总存在有序实数组，使，C正确；

，故，，向量共面，不能构成空间的基底向量，D错误.

故选：BC

12．如图，P是椭圆与双曲线在第一象限的交点，且共焦点的离心率分别为，则下列结论不正确的是（    ）

A． B．若，则

C．若，则的最小值为2 D．

【答案】ACD

【分析】根据给定条件，利用椭圆、双曲线定义计算判断A；由余弦定理计算判断B，C；由余弦定理、二倍角的余弦计算判断D作答.

【详解】依题意，，解得，A不正确；

令，由余弦定理得： ，

当时，，即，因此，B正确；

当时，，即，有，

而，则有，解得，C不正确；

，

，于是得，

解得，而，因此，D不正确.

故选：ACD

三、填空题

13．已知数列满足，，则___________．

【答案】

【分析】首先根据数列的递推公式，确定数列的前几项，由此确定数列的周期，再求.

【详解】因为，所以，，，所以数列是周期为3的数列，.

故答案为：

14．已知点是点关于坐标平面内的对称点，则__________.

【答案】

【分析】按照点关于平面对称的规律求出的坐标，再利用空间两点的距离公式进行求解即可.

【详解】因为点是点关于坐标平面内的对称点，

所以，

所以.

故答案为：.

15．如图，在正四棱柱中，，分别是，的中点，则下列结论不成立的是______ ．

①与垂直；②与垂直；③与异面；④与异面．

【答案】④

【分析】连，，根据三角形中位线可得，再结合正四棱柱的结构特征逐一判断各个命题作答.

【详解】在正四棱柱中，连，，如图，

因为矩形对角线的中点，则是的中点，而是的中点，因此，

因平面，平面，则，即有，①正确；

正方形中，，又，则，②正确；

假若在一个平面上，不妨设为平面， 由于，平面,平面，所以平面，又因为平面,平面平面，因此,这显然不符合，故不在一个平面上，则与是异面直线，③正确；

因正四棱柱的对角面是矩形，即，因此，④不正确，

所以不成立的结论是④.

故答案为：④

16．如图，已知斜率为的直线与双曲线的右支交于A，B两点，点A关于坐标原点O对称的点为C，且，则该双曲线的离心率为______.

【答案】##

【分析】取AB的中点M，连接OM，求得直线OM的斜率，再利用点差法求得，进而求得该双曲线的离心率

【详解】如图，设直线AB与x轴交于点D，取AB的中点M，连接AC，OM，

由双曲线的对称性可知O为线段AC的中点，则，

所以.由直线AB的斜率，得，

则直线OM的斜率.

设，，则

两式相减，得，化简得，

即，

所以该双曲线的离心率.

故答案为：

四、解答题

17．在平面直角坐标系中，曲线上的动点到点的距离是到点的距离的倍．

(1)求曲线的轨迹方程；

(2)若，求过点且与曲线相切的直线的方程．

【答案】(1)

(2)或.

【分析】（1）设，根据已知条件列方程，化简求得曲线的轨迹方程；

（2）设出直线的方程，根据圆心到直线的距离等于半径列方程，求得直线的斜率，进而求得直线的方程.

【详解】（1）设，由题意得，两边平方并整理得，

故曲线的轨迹方程为；

（2）曲线：是以为圆心，半径为的圆.

显然直线的斜率存在，设直线的方程为，

即，所以，解得，

所以直线的方程为或，

即或.

18．在①，；②，；③，这三个条件中任选一个补充在下面的横线上并解答.

已知等差数列满足________.

(1)求数列的通项公式；

(2)求数列的前n项和

如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分

【答案】(1)，

(2)，

【分析】（1）设等差数列公差为d，根据所选条件，利用等差数列通项公式和前n项和公式，列方程求解，可得数列的通项公式；

（2）利用错位相减法求数列前n项和

【详解】（1）若选条件①，设公差为d，

则由题知，所以，解得，

所以，

若选条件②，设公差为d，由题知，所以，

所以，

若选条件③，设公差为d，由题知，所以，

所以，

（2）由题知，

所以，

两式相减得

，

所以，

19．如图，正三棱柱中，D是的中点，．

(1)证明：平面；

(2)求平面与平面夹角的余弦值．

【答案】(1)证明过程见解析；

(2).

【分析】（1）根据三角形中位线定理，结合线面平行的判定定理进行证明即可；

（2）根据正三棱柱的性质建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.

【详解】（1）连接交于，连接，因为正三棱柱的侧面是平行四边形，所以是的中点，而D是的中点，

所以，而平面，平面．

所以平面；

（2）因为D是的中点，三角形是正三角形，

所以，设F是的中点，显然平面，

建立如图所示的空间直角坐标系，

，

设平面与平面的法向量分别为，

，，，

则有，

，

平面与平面夹角的余弦值为.

20．我国某沙漠，曾被称为“死亡之海”，截至2018年年底该地区面积的仍为沙漠，只有为绿洲.计划从2019年开始使用无人机飞播造林，实现快速播种，这样每年原来沙漠面积的将被改为绿洲，但同时原有绿洲面积的还会被沙漠化.记该地区的面积为1个单位，经过一年绿洲面积为，经过年绿洲面积为.

(1)写出，并证明：数列是等比数列；

(2)截止到哪一年年底，才能使该地区绿洲面积超过?

【答案】(1)，证明见解析；

(2)2022年

【分析】（1）根据题意求出，并列出，构造法求出，从而得到为公比为，首项为的等比数列；

（2）在第一问的基础上得到，列出不等式，求出，结合，且，，从而，得到答案.

【详解】（1），

，

设，则，

从而，解得：，

故，

故为公比为，首项为的等比数列；

（2）由（1）得：

故，

令，解得：，

显然单调递减，当时，，，

故，即截止到2022年年底，才能使该地区绿洲面积超过.

21．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，平面平面，，．且

(1)证明：；

(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求点C到平面的距离．

【答案】(1)证明过程见解析；

(2).

【分析】（1）根据面面垂直的性质定理，结合线面垂直的性质进行证明即可；

（2）建立空间直角坐标系，利用空间夹角公式和点到面距离公式进行求解即可.

【详解】（1）因为平面平面，交线为，

且平面中，，

所以平面，

又平面，

所以,因为，平面，

所以平面，而平面，

所以；

（2）由（1）知，平面且，

所以、、两两垂直

因此以原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

因为，，，设

所以，，，，，

因为平面平面，交线为，且平面中，，

所以平面，

所以为平面的法向量且，

，

因为直线与平面所成角的正弦值为

所以，解得：

所以，又，，

平面的法向量分别为：，

所以， 令，则，

，

设点C到平面的距离为，

所以.

22．已知椭圆的短轴的两个端点分别为，离心率为.

(1)求椭圆的方程；

(2)设点，点为椭圆上异于的任意一点，过原点且与直线平行的直线与直线交于点，直线与直线交于点，求证：为定值.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）依题意可得、，再根据、、的关系，求出，即可得解；

（2）设直线的方程为：，，即可求出点坐标，再联立直线与椭圆方程，求出的坐标，同理求出的坐标，再求出，的坐标，最后根据数量积的坐标运算得到，即可得证；

【详解】（1）解：由题意可得，，，

解得，

所以椭圆的方程为：；

（2）解：设直线的方程为：，

则过原点的直线且与直线平行的直线为，

因为是直线与的交点，所以，

因为直线的方程与椭圆方程联立：

，整理可得：，

可得，，

即，因为，

直线的方程为：，

联立，解得：，由题意可得，

所以，，

所以，即，所以，即为定值；