北京市2025年第一次普通高中学业水平合格性考试仿真模拟卷01数学（解析版）

这是一份北京市2025年第一次普通高中学业水平合格性考试仿真模拟卷01数学（解析版），共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共20题，每小题3分，共计60分.每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】集合，，所以，故选B.
2．对数函数的图象经过点（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】令，解得，则其过点，故选A.
3．要得到函数的图象，只需将的图象（ ）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
【答案】D
【解析】由，将向右平移个单位即可得到.故选D.
4．已知向量，，若，则（ ）
A．2B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，所以，可得，解得.故选：A.
5．已知复数（是虚数单位），则复数的虚部为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】A
【解析】由题易知，实部为1，虚部为-2.故选：A.
6．（ ）
A．4B．C．D．2
【答案】D
【解析】.故选：D.
7．圆柱的底面半径和高都是1，则该圆柱的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】圆柱的底面半径和高都是1，则该圆柱的体积.故选：D.
8．已知是函数的零点，则m为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】依题意，，即，所以.故选：C.
9．不等式的解集为（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】A
【解析】因为，所以，解得，故选A.
10．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由，所以，所以.故选:D.
11．已知，则的最小值为（ ）
A．B．0C．4D．8
【答案】B
【解析】因为，所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，故选B.
12．天气预报表明在国庆假期甲地降雨概率是，乙地降雨概率是.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为（ ）
A．0.28B．0.42C．0.46D．0.56
【答案】C
【解析】这两地中恰有一个地方降雨的概率.
故选C.
13．在中，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】在中，，则.故选：C.
14．函数为幂函数，则（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【解析】函数为幂函数,则，则.故选：C.
15．若平面α∥平面β，l⊂α，则l与β的位置关系是（ ）
A．l与β相交B．l与β平行
C．l在β内D．无法判定
【答案】B
【解析】∵α∥β，∴α与β无公共点.∵l⊂α，∴l与β无公共点，∴l∥β.故选：.
16．已知角的终边不在坐标轴上，且，则（ ）
A．B．C．或1D．
【答案】A
【解析】因为，所以，
因为角的终边不在坐标轴上，所以，
则，由二倍角余弦公式可得：故选：A.
17．某生物实验室有3种月季花种子，其中开红色花的种子有200颗，开粉色花的种子有150颗，开橙色花的种子有180颗.从这些种子中任意选取1颗，则这颗种子对应开花的颜色为橙色的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】这颗种子对应开花的颜色为橙色的概率为.故选：A.
18．已知，，，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】当时，，若，则，
所以是的必要不充分条件.故选：B.
19．心理学家有时间用函数测定在时间（单位：min）内能够记忆的量，其中表示需要记忆的量，表示记忆率.假设一个学生需要记忆的量为200个单词，此时表示在时间内该生能够记忆的单词个数.已知该生在5min内能够记忆20个单词，则的值约为（，）（ ）
A．0.021B．0.221C．0.461D．0.661
【答案】A
【解析】由题意得：，即，
则，两边同取对数可得：，
即，解得，
故选：A.
20．若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不相同，则称这些函数为“同值函数”，例如函数与函数即为“同值函数”，给出下面四个函数，其中能够被用来构造“同值函数”的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】对于A,函数在定义域上单调递减，
所以值域确定时定义域也确定且唯一，所以不能构造“同值函数”，故A错误；
对于B，函数在定义域上单调递增，
所以值域确定时定义域也确定且唯一，所以不能构造“同值函数”，故B错误；
对于C，函数在定义域上单调递增，
所以值域确定时定义域也确定且唯一，所以不能构造“同值函数”，故C错误；
对于D，当定义域分别为时，值域都为，故D正确.
故选:D.
二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共计12分）
21．函数的定义域为 .
【答案】
【解析】由题，则函数定义域为.
22．若，则 ， .
【答案】0 3
【解析】，故，
.
23． .
【答案】
【解析】.
24．为了解一路段车辆行驶速度的情况，交警统计了该路段上午7：00至9：00来往车辆的车速（单位：千米/时），并绘制成如图所示的条形统计图，这些车速的众数是 .
【答案】70
【解析】由条形统计图知，70千米/时是出现次数最多的，所以这些车速的众数是70.
三、解答题（本题共4小题，共28分）
25．设函数，且.
(1)求的值；
(2)用定义证明在上单调递增.
解：（1）由题意得，解得.
（2）由（1）知，
任取，，且，有
，
因为，所以，，，
所以，即，
所以在上单调递增.
26．已知函数的部分图象如图所示.
(1)求的解析式；
(2)求在上的值域.
解：（1）由图可得，，所以.
结合，解得，则.
由，结合图象可得，即.
因为，所以，所以.
（2）因为，所以，
所以在上的值域为.
27．如图，在三棱锥中，分别是的中点.
(1)求证：平面；
(2)求证：.
请先写出第（1）问的解答过程，然后阅读下面第（2）问的解答过程.
在第（2）问的解答过程中，设置了①～③三个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个符合逻辑推理.请选出符合逻辑推理的选项，并填写在横线上（只需填写“A”或“B”）.
（1）证明：在中，因为，分别是，的中点，
所以，
因为平面，平面，
所以平面.
（2）解：①A，②A，③B.
28．已知数集含有（）个元素，定义集合．
(1)若，写出；
(2)写出一个集合，使得；
(3)当时，是否存在集合，使得？若存在，写出一个符合条件的集合；若不存在，说明理由．
解：（1）因为，，
所以为中元素，
故.
（2）取，此时，
满足.
（3）当时，不存在集合，使得.
（反证法）
假设时，存在集合，使得，
不妨设，且，
则，
所以为中7个不同的元素，
所以，
由解得.
此时，与矛盾，
所以假设不成立，
故不存在这样的集合.证明：（2）因为是的中点，
所以①_________.
因为，由（1）知，，
所以②_________
所以③_________.
所以.
空格序号
选项
①
（A）
（B）
②
（A）
（B）平面
③
（A）平面
（B）平面